全面典型的因式分解例題

1、典型例題一例01 選擇題：對運用分組分解法分解因式，分組正確的是（ ）（A）（B）（C）（D）分析 本組題目用來判斷分組是否適當.（A）的兩組之間沒有公因式可以提取，因而（A）不正確；（B）的兩組，每一組第一次就沒有公因式可提，故（B）不正確；（D）中兩組也無公因式可提，故（D）不正確.（C）中第一組可提取公因式2，剩下因式；第二組可提取，剩下因式，這樣組間可提公因式，故（C）正確. 典型例題二例02 用分組分解法分解因式：（1）；（2）.分析 本題所給多項式為四項多項式，屬于分組分解法的基本題型，通過分組后提公因式或分組后運用公式可以達到分解的目的.解 （合理分組）（組內(nèi)提公因式）（組間提公

2、因式） （注意符號）（組內(nèi)運用公式）（組間運用公式）說明 分組分解法應用較為靈活，分組時要有預見性，可根據(jù)分組后“求同”有公因式或可運用公式的原則來合理分組，達到分解的目的.另外在應用分組分解法時還應注意：運用分組分解法時，可靈活選擇分組方法，通常一個多項式分組方法不只一種，只要能達到分解法時，殊途同歸.分組時要添加帶“”的括號時，各項要注意改變符號，如的第一步.典型例題三例03 分解因式：分析 本題按字母的降冪排列整齊，且沒有缺項，系數(shù)分別為，.系數(shù)比相等的有或，因而可分組為、或、. 解法一 （學會分組的技巧）解法二 說明 根據(jù)“對應系數(shù)成比例”的原則合理分組，可謂分組的一大技巧！典型例題四

3、 例04 分解因式：分析 本例為四項多項式，可考慮用分組分解法來分解.見前例，可用“系數(shù)成比例”的規(guī)律來達到合理分組的目的.解法一 解法二 說明 本例屬于靈活選擇分組方法來進行因式分解的應用題，對于四項式，并不是只要所分組的項數(shù)相等，便可完成因式分解.要使分解成功，需考慮到分組后能否繼續(xù)分解.本小題利用“對應系數(shù)成比例”的規(guī)律進行巧妙分組，可謂思維的獨到之處，這樣避免了盲目性，提高了分解的速度.典型例題五例05 把下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）.分析 此組題項數(shù)較多，考慮用分組法來分解.解法 （1）（2）（3）說明 對于項數(shù)較多的多項式合理分組時，以“交叉項”為突破口，尋找“相應的平

4、方項”進行分組，這使分組有了一定的針對性，省時提速.如中，“交叉項”為，相應的平方項為、；中，“交叉項”為，相應的平方項為、.典型例題六例06 分解因式：（1）；（2）.分析 本題兩例屬于型的二次三項式，可用規(guī)律公式來加以分解.解 （1），（2），.說明 抓住符號變化的規(guī)律，直接運用規(guī)律.典型例題七例07 分解因式：（1）；（2）.分析 對（1），利用整體思想，將看作一個字母，則運用型分解；對（2），將其看作關(guān)于的二次三項式，則一次項系數(shù)為，常數(shù)項為，仍可用型的二次三項式的規(guī)律公式達到分解的目的.解 （1）（2），.典型例題八例08 分解因式：；.分析 本組題有較強的綜合性，且每小題均超過三項

5、，因而可考慮通過分組來分解.解 法一：（可繼續(xù)分解，方法很簡單：，對于方法類似，可以自己探索）法二：法三：（看作型式子分解）說明 中，雖然三法均達到分解目的，但從目前同學們知識范圍來看，方法二較好，分組既要合理又要巧妙，使分組不僅達到分解目的，又能簡化分解過程，降低思維難度.式雖超過四項，但通過分組仍可巧妙分解，只是分組后不是通常的提公因式或運用公式，而是利用了型二次三項式的因式分解.將看做關(guān)于的二次三項式，.式表面看無法分解，既找不到公因式，又不符合公式特點，對待此類題目，應采用“先破后立”的方式來解決.即先做多項式乘法打破原式結(jié)構(gòu)，然后尋找合適的方法.式項數(shù)多，但仔細觀察，項與項之間有著內(nèi)

6、在聯(lián)系，可通過巧妙分組以求突破.但應注意：不可混淆因式分解與整式乘法的意義.如小題中做乘法的目的是為了分解因式，不可在分解中，半路再返回做乘法.善于將外在形式復雜的題目看做熟悉類型，如小題中.典型例題九例09 分解因式：（1）；（2）分析 本組兩個小題既無公因式可提又不符合公式特點，原題本身給出的分組形式無法繼續(xù)進行，達到分解的目的，對此類型題，可采用先去括號，再重新分組來進行因式分解.解 （乘法運算，去括號）（重新分組）（乘法運算去括號）（重新分組）說明 “先破后立，不破不立”.思維的獨創(chuàng)性使表面看來無法分解的多項式找到最佳的分解方式.典型例題十例10分解因式分析 因式分解一般思路是：“一提

7、、二代、三分組、其次考慮規(guī)律式（十字相乘法）” .即：首先考慮是否有公因式可提，若有公因式，先提取公因式；其次考慮可否套用公式，用公式法分解；再考慮是否可以分組分解；對形如二次三項式或準二次三項式可以考慮用“規(guī)律式”（或十字相乘法）分解.按照這樣的思路，本題首應考慮用分組分解來嘗試.解 說明 當時，多項式值為0，因而是的一個因式，因此，可從“湊因子” 的角度考慮，把6拆成，使分組可行，分解成功.運用“湊因子”的技巧還可得出以下分解方法.法二：法三：（湊立方項）法四：（與湊立方項）（套用公式）法五：（拆項）法六：（湊平方差公式變項）法七：令則（為多項式一個因式，做變換）（做乘法展開）（還原回）說

8、明 以上七種方法中，前六種運用了因式分解的一種常用技巧“拆項”（或添項），這種技巧以基本方法為線索，通過湊因式、湊公式等形式達到可分組繼而能分解的目的.“湊”時，需思、需悟、觸發(fā)靈感.第七種運用了變換的方法，通過換元尋找突破點.本題還可以如下變形： 典型例題十一例11若是完全平方式，求的值.分析 原式為完全平方式，由，即知為，展開即得值.解 是完全平方式應為又，故.說明 完全平方式分為完全平方和與完全平方差，確定值時不要漏掉各種情況.此題為因式分解的逆向思維類，運用來求解.典型例題十二例11 把下列各式分解因式： （1）； （2） （3）解：（1）由于16可以看作，于是有 ； （2）由冪的乘方

9、公式，可以看作，可以看作，于是有 ； （3）由積的乘方公式，可以看作，于是有 說明（1）多項式具有如下特征時，可以運用完全平方公式作因式分解：可以看成是關(guān)于某個字母的二次三項式；其中有兩項可以分別看作是兩數(shù)的平方形式，且符號相同；其余的一項恰是這兩數(shù)乘積的2倍，或這兩數(shù)乘積2倍的相反數(shù). 而結(jié)果是“和”的平方還是“差”的平方，取決于它的符號與平方項前的符號是否相同. （2）在運用完全平方公式的過程中，再次體現(xiàn)換元思想的應用，可見換元思想是重要而且常用思想方法，要真正理解，學會運用. 典型例題十三例12求證：對于任意自然數(shù)，一定是10的倍數(shù).分析 欲證是10的倍數(shù)，看原式可否化成含10的因式的積

10、的形式.證明 是10的倍數(shù)，一定是10的倍數(shù).典型例題十四例13 因式分解（1）； （2）解：（1） 或 ； （2） 或 說明：（1）把有公因式的各項歸為一組，并使組之間產(chǎn)生新的公因式，這是正確分組的關(guān)鍵所在。因此，分組分解因式要有預見性； （2）分組的方法不唯一，而合理的選擇分組方案，會使分解過程簡單； （3）分組時要用到添括號法則，注意在添加帶有負號的括號時，括號內(nèi)每項的符號都要改變； （4）實際上，分組只是為實際分解創(chuàng)造了條件，并沒有直接達到分解典型例題十五例14 把下列各式分解因式： （1）； （2）； （3）解：（1） （2） （3） 或 或 說明：（1）要善于觀察多項式中存在的公式形式，以便恰當?shù)胤纸M；同時還要注意統(tǒng)觀全局，不要一看到局部中有公式形式就匆匆分組。如，就會分解不下去了； （2）有公因式時，“首先考慮提取公因式”是因式分解中始終不變的原則，在這里，當提取公因式后更便于觀察分組情況，預測結(jié)果； （3）對于一道題中的多種分組方法，要善于選擇使分解過程簡單的分組方法，如題中前兩種分組顯然優(yōu)于后者。典型例題十六例15 把下列各式分解因式（1）；（2）.分析（1）的二次項系數(shù)是1，常數(shù)項=，一次項系數(shù)1=，故這是一個