力學(xué)形心與靜矩

1、B.1 截面的形心和靜矩 Centroid and static moment of section    在桿件的應(yīng)力和變形公式中，遇到一些幾何量，例如面積、靜矩、形心位置、極慣性矩和軸慣性矩等，這些量只與構(gòu)件的橫截面形狀和尺寸有關(guān)，而與構(gòu)件的受力無(wú)關(guān)，稱(chēng)它們?yōu)榻孛娴膸缀涡再|(zhì)     截面幾何性質(zhì)的計(jì)算在分析桿的強(qiáng)度和剛度時(shí)非常重要，首先應(yīng)明確截面幾何性質(zhì)的定義，并熟練地掌握其計(jì)算方法。 1. 形心與靜矩圖B.1-1     圖示任一截面，選任一參考坐標(biāo)系yoz，設(shè)截面形心C的坐標(biāo)為yc和zc，取微截面

2、積dA，由合力矩定理可知，均質(zhì)厚度薄板中面的形心、或該板的重心在yoz坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為， （B.1-1） 式中:，分別定義為截面對(duì)z軸和y軸的靜矩。由公式（B.1-1）可知，當(dāng)y軸和z軸通過(guò)截面形心時(shí)（即yc=zc=0），則Sz=Sy=0；反之，當(dāng)靜矩Sz=0時(shí)，說(shuō)明z軸通過(guò)截面形心；而當(dāng)靜矩Sy=0時(shí)，說(shuō)明y軸通過(guò)截面形心。此概念在確定梁的中性軸時(shí)十分有用。2. 組合截面的形心與靜矩圖B.1-2     在工程實(shí)際中，經(jīng)常遇到形狀較為復(fù)雜的截面，它們由若干簡(jiǎn)單截面或標(biāo)準(zhǔn)型材組合而成，稱(chēng)為組合截面（圖B.1-2）。當(dāng)確定它們的形心時(shí)，可將其分割成n個(gè)部分，形心坐標(biāo)

3、為， （B.1-2） 式中Ai為分割后的各面積，yi和zi為Ai的形心在參考系中的坐標(biāo)。式中；，稱(chēng)為組合截面的靜矩。B.2 極慣性矩 Polar momet of inertia1. 定義圖B.2-1     任意形狀的截面如圖所示，設(shè)其面積為A，在矢徑為處取一微面積dA，定義截面對(duì)原點(diǎn)O的極慣性矩為（B.2-1）極慣性矩的量綱為長(zhǎng)度的4次方（mm4），它恒為正。2. 圓截面的極慣性矩圖B.2-2    圖示圓截面，取微面積為一薄壁環(huán)，即（圖B.2-2）， 讀者自行證明實(shí)心圓、空心圓和薄壁圓截面（圖B.2-3）的極慣性矩分別為： （B

4、.2-2）（B.2-3）（B.2-4）式中，d空心圓內(nèi)徑，D空心圓外徑，R0薄壁圓平均半徑。圖B.2-3 B.3 軸慣性矩 Second Axial moment of area and Parallel Axis Theory1. 定義圖B.3-1     任意形狀的截面如圖所示，設(shè)其面積為A，在坐標(biāo)為（y，z）處取一微面積dA，定義截面對(duì)z和y軸的慣性矩為，（B.3-1）其量綱為長(zhǎng)度的四次方（mm4），恒為正。由于，于是得出極慣性矩和軸慣性矩之間的關(guān)系為（B.3-2）2. 簡(jiǎn)單截面的軸慣性矩圖B.3-2 · 矩形：如圖所示高為h，寬為b的矩形，計(jì)算矩

5、形截面對(duì)形心軸z和y的慣性矩。取dA=bdy，則      （B.3-3）同理得： · 圓形：如計(jì)算圓截面對(duì)形心軸y和z的慣性矩可借助公式（B.3-2）：            對(duì)于圓截面：，代入上式得：           于是，實(shí)心圓、空心圓、薄壁圓截面的軸慣性矩分別為（B.3-4）（B.3-5）（B.3-6）式中，d空心圓內(nèi)徑，D空

6、心圓外徑，R0薄壁圓平均半徑。3.平行軸間慣性矩的移軸公式    對(duì)簡(jiǎn)單截面而言，它們對(duì)自身形心軸的慣性矩很容易計(jì)算，如矩形、圓形、三角形等，并有現(xiàn)成表格可查附錄C，本節(jié)研究截面對(duì)任一根與形心軸平行之軸的慣性矩。如圖B.3-3所示，設(shè)y0、z0為截面的一對(duì)形心軸，如果截面對(duì)形心軸的慣性矩為和，則截面對(duì)任一平行于它的軸y和z的慣性矩為：，        （B.3-7）    上式稱(chēng)為慣性軸的移軸公式或稱(chēng)平行軸定理（Parallel axis  theorem

7、）。式中A為截面面積，a和b分別為坐標(biāo)軸y0和y以及z0和z之間的垂直距離。圖B.3-3  證明如下：根據(jù)面積對(duì)z軸的慣性矩的定義，。圖B.3-3中微面積dA距z軸的垂直距離為y=y0+b，代入上式，得式中，故，同理得  如為組合截面，則上式表示為，（B.3-8）讀者自行計(jì)算下圖各截面對(duì)z軸的靜矩和慣性矩：圖B.3-4 4. 例題    試計(jì)算三角形截面對(duì)形心軸z的慣性矩。圖B.3-5 解：三角形形心位于距底邊1/3h處，取，式中可由如下比例式求出：，得，于是    圖示截面，求對(duì)形心軸z和y的慣性矩。圖

8、B.3-6 解：截面對(duì)形心軸慣性矩應(yīng)為矩形截面對(duì)形心軸慣性矩和圓形截面對(duì)形心軸慣性矩之差，即：，    試求I字形截面對(duì)形心軸z的慣性矩Iz=？     圖B.3-7 B.4 慣性積 Product of inertia1. 定義圖B.4-1     任意形狀的截面如圖所示，設(shè)其面積為A，在坐標(biāo)為（y，z）處取一微面積dA，定義截面對(duì)z和y軸的慣性積為（B.4-1） 顯然，慣性積根據(jù)截面在坐標(biāo)系的不同象限有正負(fù)之別，其量綱是長(zhǎng)度的四次方（mm4)。 圖B.4-2 當(dāng)坐標(biāo)軸之一為截面的對(duì)稱(chēng)軸時(shí)，慣

9、性積Iyz=0 2. 慣性積的移軸公式圖B.4-3 慣性積和慣性矩一樣（圖B.4-3），同樣可以推導(dǎo)出它的移軸公式：（B.4-2） 式中為截面對(duì)形心軸y0z0的慣性矩，a和b分別為坐標(biāo)軸y0和y以及z0和z之間的垂直距離。如為組合截面，則上式表示為（B.4-3） 3. 例題    試計(jì)算圖B.4-4所示截面對(duì)y、z軸的慣性矩。圖B.4-4 解：y0或z0均為對(duì)稱(chēng)軸，故              試求上節(jié)圖B.3-9所示截面對(duì)形心軸y、z軸的慣性積。圖B.4

10、-5 解：形心C的坐標(biāo)已知yc=44.57mm，zc=14.57mm    將截面分割為兩個(gè)矩形，它們的形心分別為C1和C2，通過(guò)形心C1和C2且與y和z相平行之軸為兩個(gè)矩形的對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)軸，故第一個(gè)矩形：，第二個(gè)矩形：，代入公式，得：B.5 轉(zhuǎn)軸公式 Transformation equation1. 轉(zhuǎn)軸公式    圖示任意截面，假設(shè)該截面對(duì)任意軸y1和z1的慣性矩和慣性積分別為、和，本節(jié)研究當(dāng)坐標(biāo)軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角之后，截面對(duì)新坐標(biāo)軸y與z的慣性矩Iy與Iz以及慣性積Iyz。步驟如下: 圖B.5-1 · 先求出兩個(gè)坐標(biāo)系之間

11、的幾何關(guān)系，由圖B.5-1可以看出，任一點(diǎn)K處的兩個(gè)坐標(biāo)系之間的幾何關(guān)系為             · 代入慣性矩和慣性積的定義式中，得       于是，得：（B.5-1） 同理，得：（B.5-2） （B.5-3） 以上三式稱(chēng)為轉(zhuǎn)軸公式。將（B.5-2）與（B.5-3）相加，得出：（B.5-4） 由上式可知，截面對(duì)于通過(guò)同一點(diǎn)的任一對(duì)坐標(biāo)軸的兩個(gè)慣性矩之和恒為常數(shù)。 推論1   由公式（B.5-1）可知，

12、當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，表明當(dāng)坐標(biāo)由旋轉(zhuǎn)至?xí)r，必有一處。 推論2  對(duì)于通過(guò)同一點(diǎn)的所有坐標(biāo)系中，一定存在一對(duì)特殊的坐標(biāo)系，截面對(duì)其中一軸的慣性矩最大，而對(duì)另一軸的慣性矩最小。2. 主軸與主慣性矩圖B.5-2   定義：慣性矩的軸稱(chēng)為主軸(Principal axis)，對(duì)主軸的慣性矩稱(chēng)為主慣性矩(Principal moment of inertia)。設(shè)主軸方位角為，令式（B.5-1）等于零，得：（B.5-5） 上式即可確定主軸的方位。將公式（B.5-5）代入式（B.5-2）和（B.5-3），得主慣性矩： （B.5-6） 用極值條件，求得的之與公式（B.5-5）相同。證明了在上述的兩個(gè)主慣性矩中，一個(gè)為最大值，另一個(gè)為最小值。聯(lián)合式（B.5-6）、（B.5-7）和（B.5-5），可得