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1、B.1 截面的形心和靜矩 Centroid and static moment of section 在桿件的應(yīng)力和變形公式中,遇到一些幾何量,例如面積、靜矩、形心位置、極慣性矩和軸慣性矩等,這些量只與構(gòu)件的橫截面形狀和尺寸有關(guān),而與構(gòu)件的受力無關(guān),稱它們?yōu)榻孛娴膸缀涡再|(zhì) 截面幾何性質(zhì)的計(jì)算在分析桿的強(qiáng)度和剛度時(shí)非常重要,首先應(yīng)明確截面幾何性質(zhì)的定義,并熟練地掌握其計(jì)算方法。 1. 形心與靜矩圖B.1-1 圖示任一截面,選任一參考坐標(biāo)系yoz,設(shè)截面形心C的坐標(biāo)為yc和zc,取微截面
2、積dA,由合力矩定理可知,均質(zhì)厚度薄板中面的形心、或該板的重心在yoz坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為, (B.1-1) 式中:,分別定義為截面對(duì)z軸和y軸的靜矩。由公式(B.1-1)可知,當(dāng)y軸和z軸通過截面形心時(shí)(即yc=zc=0),則Sz=Sy=0;反之,當(dāng)靜矩Sz=0時(shí),說明z軸通過截面形心;而當(dāng)靜矩Sy=0時(shí),說明y軸通過截面形心。此概念在確定梁的中性軸時(shí)十分有用。2. 組合截面的形心與靜矩圖B.1-2 在工程實(shí)際中,經(jīng)常遇到形狀較為復(fù)雜的截面,它們由若干簡(jiǎn)單截面或標(biāo)準(zhǔn)型材組合而成,稱為組合截面(圖B.1-2)。當(dāng)確定它們的形心時(shí),可將其分割成n個(gè)部分,形心坐標(biāo)
3、為, (B.1-2) 式中Ai為分割后的各面積,yi和zi為Ai的形心在參考系中的坐標(biāo)。式中;,稱為組合截面的靜矩。B.2 極慣性矩 Polar momet of inertia1. 定義圖B.2-1 任意形狀的截面如圖所示,設(shè)其面積為A,在矢徑為處取一微面積dA,定義截面對(duì)原點(diǎn)O的極慣性矩為(B.2-1)極慣性矩的量綱為長(zhǎng)度的4次方(mm4),它恒為正。2. 圓截面的極慣性矩圖B.2-2 圖示圓截面,取微面積為一薄壁環(huán),即(圖B.2-2), 讀者自行證明實(shí)心圓、空心圓和薄壁圓截面(圖B.2-3)的極慣性矩分別為: (B
4、.2-2)(B.2-3)(B.2-4)式中,d空心圓內(nèi)徑,D空心圓外徑,R0薄壁圓平均半徑。圖B.2-3 B.3 軸慣性矩 Second Axial moment of area and Parallel Axis Theory1. 定義圖B.3-1 任意形狀的截面如圖所示,設(shè)其面積為A,在坐標(biāo)為(y,z)處取一微面積dA,定義截面對(duì)z和y軸的慣性矩為,(B.3-1)其量綱為長(zhǎng)度的四次方(mm4),恒為正。由于,于是得出極慣性矩和軸慣性矩之間的關(guān)系為(B.3-2)2. 簡(jiǎn)單截面的軸慣性矩圖B.3-2 · 矩形:如圖所示高為h,寬為b的矩形,計(jì)算矩
5、形截面對(duì)形心軸z和y的慣性矩。取dA=bdy,則 (B.3-3)同理得: · 圓形:如計(jì)算圓截面對(duì)形心軸y和z的慣性矩可借助公式(B.3-2): 對(duì)于圓截面:,代入上式得: 于是,實(shí)心圓、空心圓、薄壁圓截面的軸慣性矩分別為(B.3-4)(B.3-5)(B.3-6)式中,d空心圓內(nèi)徑,D空
6、心圓外徑,R0薄壁圓平均半徑。3.平行軸間慣性矩的移軸公式 對(duì)簡(jiǎn)單截面而言,它們對(duì)自身形心軸的慣性矩很容易計(jì)算,如矩形、圓形、三角形等,并有現(xiàn)成表格可查附錄C,本節(jié)研究截面對(duì)任一根與形心軸平行之軸的慣性矩。如圖B.3-3所示,設(shè)y0、z0為截面的一對(duì)形心軸,如果截面對(duì)形心軸的慣性矩為和,則截面對(duì)任一平行于它的軸y和z的慣性矩為:, (B.3-7) 上式稱為慣性軸的移軸公式或稱平行軸定理(Parallel axis theorem
7、)。式中A為截面面積,a和b分別為坐標(biāo)軸y0和y以及z0和z之間的垂直距離。圖B.3-3 證明如下:根據(jù)面積對(duì)z軸的慣性矩的定義,。圖B.3-3中微面積dA距z軸的垂直距離為y=y0+b,代入上式,得式中,故,同理得 如為組合截面,則上式表示為,(B.3-8)讀者自行計(jì)算下圖各截面對(duì)z軸的靜矩和慣性矩:圖B.3-4 4. 例題 試計(jì)算三角形截面對(duì)形心軸z的慣性矩。圖B.3-5 解:三角形形心位于距底邊1/3h處,取,式中可由如下比例式求出:,得,于是 圖示截面,求對(duì)形心軸z和y的慣性矩。圖
8、B.3-6 解:截面對(duì)形心軸慣性矩應(yīng)為矩形截面對(duì)形心軸慣性矩和圓形截面對(duì)形心軸慣性矩之差,即:, 試求I字形截面對(duì)形心軸z的慣性矩Iz=? 圖B.3-7 B.4 慣性積 Product of inertia1. 定義圖B.4-1 任意形狀的截面如圖所示,設(shè)其面積為A,在坐標(biāo)為(y,z)處取一微面積dA,定義截面對(duì)z和y軸的慣性積為(B.4-1) 顯然,慣性積根據(jù)截面在坐標(biāo)系的不同象限有正負(fù)之別,其量綱是長(zhǎng)度的四次方(mm4)。 圖B.4-2 當(dāng)坐標(biāo)軸之一為截面的對(duì)稱軸時(shí),慣
9、性積Iyz=0 2. 慣性積的移軸公式圖B.4-3 慣性積和慣性矩一樣(圖B.4-3),同樣可以推導(dǎo)出它的移軸公式:(B.4-2) 式中為截面對(duì)形心軸y0z0的慣性矩,a和b分別為坐標(biāo)軸y0和y以及z0和z之間的垂直距離。如為組合截面,則上式表示為(B.4-3) 3. 例題 試計(jì)算圖B.4-4所示截面對(duì)y、z軸的慣性矩。圖B.4-4 解:y0或z0均為對(duì)稱軸,故 試求上節(jié)圖B.3-9所示截面對(duì)形心軸y、z軸的慣性積。圖B.4
10、-5 解:形心C的坐標(biāo)已知yc=44.57mm,zc=14.57mm 將截面分割為兩個(gè)矩形,它們的形心分別為C1和C2,通過形心C1和C2且與y和z相平行之軸為兩個(gè)矩形的對(duì)稱的對(duì)稱軸,故第一個(gè)矩形:,第二個(gè)矩形:,代入公式,得:B.5 轉(zhuǎn)軸公式 Transformation equation1. 轉(zhuǎn)軸公式 圖示任意截面,假設(shè)該截面對(duì)任意軸y1和z1的慣性矩和慣性積分別為、和,本節(jié)研究當(dāng)坐標(biāo)軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角之后,截面對(duì)新坐標(biāo)軸y與z的慣性矩Iy與Iz以及慣性積Iyz。步驟如下: 圖B.5-1 · 先求出兩個(gè)坐標(biāo)系之間
11、的幾何關(guān)系,由圖B.5-1可以看出,任一點(diǎn)K處的兩個(gè)坐標(biāo)系之間的幾何關(guān)系為 · 代入慣性矩和慣性積的定義式中,得 于是,得:(B.5-1) 同理,得:(B.5-2) (B.5-3) 以上三式稱為轉(zhuǎn)軸公式。將(B.5-2)與(B.5-3)相加,得出:(B.5-4) 由上式可知,截面對(duì)于通過同一點(diǎn)的任一對(duì)坐標(biāo)軸的兩個(gè)慣性矩之和恒為常數(shù)。 推論1 由公式(B.5-1)可知,
12、當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),表明當(dāng)坐標(biāo)由旋轉(zhuǎn)至?xí)r,必有一處。 推論2 對(duì)于通過同一點(diǎn)的所有坐標(biāo)系中,一定存在一對(duì)特殊的坐標(biāo)系,截面對(duì)其中一軸的慣性矩最大,而對(duì)另一軸的慣性矩最小。2. 主軸與主慣性矩圖B.5-2 定義:慣性矩的軸稱為主軸(Principal axis),對(duì)主軸的慣性矩稱為主慣性矩(Principal moment of inertia)。設(shè)主軸方位角為,令式(B.5-1)等于零,得:(B.5-5) 上式即可確定主軸的方位。將公式(B.5-5)代入式(B.5-2)和(B.5-3),得主慣性矩: (B.5-6) 用極值條件,求得的之與公式(B.5-5)相同。證明了在上述的兩個(gè)主慣性矩中,一個(gè)為最大值,另一個(gè)為最小值。聯(lián)合式(B.5-6)、(B.5-7)和(B.5-5),可得
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