制磚機生產(chǎn)計劃

1、制磚機生產(chǎn)計劃摘要某重型機械廠給出了其2011年上半年的銷售預(yù)測情況，要求在成本波動的情況下制定出上半年的生產(chǎn)計劃，使利潤最大。本文針對是否對該廠月生產(chǎn)能力進(jìn)行限制，分別構(gòu)建相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)和約束條件，并通過轉(zhuǎn)化為動態(tài)規(guī)劃模型結(jié)合MATLAB編程，求得不同條件下的最優(yōu)生產(chǎn)計劃。問題一：在生產(chǎn)能力沒有限制的情況下，考慮到銷售額、固定成本和銷售費用不隨生產(chǎn)數(shù)量和建材價格的波動而波動，本文將目標(biāo)函數(shù)簡化為最小化變動成本與貯存費之和，并構(gòu)建相應(yīng)約束條件，然后轉(zhuǎn)化為動態(tài)規(guī)劃模型，結(jié)合MATLAB編程進(jìn)行求解，簡化了求解過程。最終該廠每月的生產(chǎn)臺數(shù)分別為：33，34，31，31，29，29。問題二：在問題一

2、的基礎(chǔ)上，對每個月的生產(chǎn)能力進(jìn)行限制。本文在模型一的基礎(chǔ)上，增加了一個約束條件，并相應(yīng)的更改了MATLAB中的M函數(shù)文件，得到添加約束條件后的最優(yōu)生產(chǎn)計劃。最終該廠每月的生產(chǎn)臺數(shù)分別為：33，33，31，32，29，29。關(guān)鍵詞：最小成本 多階段決策 動態(tài)規(guī)劃 MATLAB1、問題提出的背景2010年以來，央行和發(fā)改委出臺了一系列措施平抑建材價格，但由于對建材需求結(jié)構(gòu)而言，總體上求大于供的市場狀況沒有得到根本改善，預(yù)計2011年的建材價格仍會有一定的增長。因此，在需要建材的制造業(yè)中，需要按照建材價格的增長幅度結(jié)合貯存成本等其他費用合理地控制生產(chǎn)計劃，以達(dá)到利潤最大化?，F(xiàn)某重型機械廠通過對歷史資

3、料進(jìn)行回歸分析（即數(shù)據(jù)擬合），并給合今年上半年可能出現(xiàn)的影響制磚機銷售的因素，預(yù)測該廠2011年上半年的銷售情況如表1.1所示：表1.1 2011上半年銷售預(yù)測表月份123456銷售量（臺）423241672529 該廠的制磚機2010年12月的銷售均價為48萬元/臺，今年上半年的售價保持不變。2010年12月末尚有49臺未售出。制磚機從計劃生產(chǎn)到售出會發(fā)生下列費用：（1）生產(chǎn)成本，包括固定成本（主要是指廠房、機器設(shè)備的折舊）和可變成本（鋼材、其他材料和人工成本等，其中人工成本在可變成本中占到大約40%），按照2010年12月份的建材價格計算，可變成本（萬元）與制磚機生產(chǎn)臺數(shù)的平方成正比，比例

4、系數(shù)為0.5。且可變成本與建材價格上漲幅度有關(guān)，例如建材價格上漲10%，則可變成本是按前面方法計算結(jié)果的1.1倍。（2）銷售費用，與當(dāng)月的銷售金額成正比。（3）貯存費，生產(chǎn)出的制磚機未售出的必須貯存，即該廠生產(chǎn)的制磚機平均每臺每月的貯存費為0.1萬元。預(yù)計今年上半年建材的價格仍會有一定的增長。預(yù)計的增長速度（以2010年12月的價格為基準(zhǔn)）見表1.2：表1.2 2011上半年建材價格增長表月份123456增長速度10%10%20%20%30%30%2、問題的重述與分析2.1 問題的重述該重型機械廠打算在上半年將生產(chǎn)的制磚機全部售完，希望制定一個合理的生產(chǎn)計劃在成本波動的情況下得到最大利潤。其中

5、，成本包括生產(chǎn)成本、銷售費用和貯存費，生產(chǎn)成本隨建材價格的波動而起伏。問題一：如果該廠的月生產(chǎn)能力沒有限制，并且允許期貨銷售，如何制定月生產(chǎn)計劃？問題二：如果該廠每月的生產(chǎn)能力限于33臺，并且允許期貨銷售，該如何制定月生產(chǎn)計劃？2.2 問題的分析（1）對問題一的分析為得到該廠最優(yōu)生產(chǎn)計劃，需建立一個以最大利潤為目標(biāo)的模型，由于： （2-1）其中：生產(chǎn)成本為固定成本和可變成本。固定成本為定值，不受制磚機生產(chǎn)臺數(shù)和價格波動的影響，可變成本為關(guān)于制磚機生產(chǎn)臺數(shù)和建材價格上漲幅度的函數(shù)；銷售費用與當(dāng)月銷售額成正比，故也為定值，不受制磚機生產(chǎn)臺數(shù)和價格波動的影響；貯存費與制磚機庫存有關(guān)。由于固定成本、銷

6、售額和銷售費用都為定值，不受制磚機生產(chǎn)臺數(shù)和價格波動的影響，所以最終建立的目標(biāo)函數(shù)為： （2-2）列出的約束條件如下： 月初庫存約束。本月初庫存為上月初庫存量與上月制造量之和，再減去上月銷售量得到的差值。月初庫存允許為負(fù)值，此時的數(shù)值代表上月的期貨交易量； 初始值。第一個月的庫存為2010年12月的庫存量，題目中已知，為49臺； 非負(fù)約束。每月生產(chǎn)的量不為負(fù)數(shù)。在求解該模型時，本文首先將模型轉(zhuǎn)化為動態(tài)規(guī)劃模型，然后用MATLAB編程進(jìn)行求解。（2）對問題二的分析問題二在問題一的基礎(chǔ)上，對每個月的生產(chǎn)能力進(jìn)行限制，本文在模型一基礎(chǔ)上增加了一個生產(chǎn)量的限制條件，相應(yīng)的對動態(tài)模型進(jìn)行改進(jìn)，最終對MA

7、TLAB中的M函數(shù)文件進(jìn)行更改，計算得到最終該廠的生產(chǎn)計劃。3、問題的假設(shè)（1）假設(shè)庫存足夠大，不考慮庫存容量問題；（2）假設(shè)月銷售量預(yù)測準(zhǔn)確，不考慮因?qū)嶋H月銷售量波動導(dǎo)致的制磚機生產(chǎn)計劃波動；（3）假設(shè)不同時段生產(chǎn)的制磚機的實際價值一樣，不考慮庫存制磚機的折舊率；（4）假設(shè)月初開始生產(chǎn)，月末進(jìn)行銷售；（5）假設(shè)該工廠生產(chǎn)能力足夠大；4、符號說明： 上半年月份的編號（其中）；：制磚機的銷售價格（根據(jù)題目所給的信息可知是個常數(shù)）；：第個月的生產(chǎn)計劃；：該廠上半年的固定成本；：第個月建材價格的增長速度；：銷售費用與銷售金額的比例系數(shù)；：第個月月初的庫存量；：第個月的銷售量；5、模型的建立與求解5.

8、1 問題一的模型建立與求解（1）模型一的建立1）建立目標(biāo)函數(shù)通過對問題一的深入分析，我們總結(jié)出問題一是一個最優(yōu)化問題，即在滿足該廠生產(chǎn)能力不受限制、該廠允許期貨銷售和該廠能夠在上半年把生產(chǎn)的制磚機全部銷售完三個條件下，最終使得該廠的利潤最大。根據(jù)“利潤=銷售額-成本”的公式，結(jié)合題目所給的信息可知，該廠上半年的銷售額等于制磚機的銷售價格乘以上半年總的銷售量，即 (5-1)該廠上半年的成本包括生產(chǎn)成本（生產(chǎn)成本又包括固定成本和可變成本）、銷售費用和貯存費，即 (5-2)因此，目標(biāo)函數(shù)可以表示為： (5-3)2）建立約束條件根據(jù)題目所給的信息，結(jié)合實際情況可知，第個月月初的庫存量等于第個月月初的庫

9、存量加上第個月生產(chǎn)的數(shù)量減去第個月的銷售數(shù)量，即 (5-4)此外，1月份月初的庫存量，并且每個月的生產(chǎn)計劃。3）建立非線性優(yōu)化模型根據(jù)題目可知，該廠上半年的銷售額、固定成本和銷售成本都是常數(shù)，因此要使得該廠的利潤最大，也就是使得該廠的成本最低，所以目標(biāo)函數(shù)可以簡化為 (5-5)綜上所述，為使得該廠上半年的利潤最大，即成本最低，制定該廠上半年的生產(chǎn)計劃的非線性優(yōu)化模型如下：目標(biāo)函數(shù)： 約束條件： ； ； ；（2）模型一的轉(zhuǎn)化通過查閱相關(guān)的文獻(xiàn)資料，結(jié)合題目的背景和模型一的特點，我們認(rèn)為該廠的生產(chǎn)計劃問題屬于多階段決策問題，因此該非線性優(yōu)化模型可以通過轉(zhuǎn)化為動態(tài)規(guī)劃模型，然后通過MATLAB軟件編

10、程來進(jìn)行求解。1）動態(tài)規(guī)劃的基本模型在實際應(yīng)用中，要構(gòu)造一個標(biāo)準(zhǔn)的動態(tài)規(guī)劃模型，通常需要采用以下幾個步驟：l 劃分階段：按照問題的時間或空間特征，把問題分為若干個階段，這些階段必須是有序的或者是可排序的(即無后向性)，否則，應(yīng)用無效。l 選擇狀態(tài)：將問題發(fā)展到各個階段時所處的各種客觀情況用不同的狀態(tài)表示，稱為狀態(tài)。狀態(tài)的選擇要滿足無后效性和可知性，即狀態(tài)不僅依賴于狀態(tài)的轉(zhuǎn)移規(guī)律，還依賴于允許決策集合和指標(biāo)函數(shù)結(jié)構(gòu)。l 確定決策變量與狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：當(dāng)過程處于某一階段的某個狀態(tài)時，可以做出不同的決策，描述決策的變量稱為決策變量。在決策過程中，由一個狀態(tài)到另一個狀態(tài)的演變過程稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移。l 寫出動

11、態(tài)規(guī)劃的基本方程：動態(tài)規(guī)劃的基本方程一般根據(jù)實際問題可分為兩種形式，逆序形式和順序形式。動態(tài)規(guī)劃基本方程的逆序形式為：其中第階段的狀態(tài)為，其決策變量表示狀態(tài)處于的決策,狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為，階段的允許決策集合記為，為指標(biāo)函數(shù)。當(dāng)求解時，由邊界條件從開始，由后向前逆推，逐階段求出最優(yōu)決策和過程的最優(yōu)值，直到最后求出，即得到問題的最優(yōu)解。類似地，動態(tài)規(guī)劃基本方程的順序形式為：2）建立動態(tài)規(guī)劃模型綜上，建立該廠的生產(chǎn)計劃的動態(tài)規(guī)劃模型的步驟如下：l 劃分階段：將該廠上半年的生產(chǎn)計劃按照時間進(jìn)行劃分，一個月份為一個階段，因此一共是6個階段。l 選擇狀態(tài)變量：將該廠每個月月初的庫存量設(shè)為狀態(tài)變量。l 確定決策

12、變量與狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：將該廠每個月生產(chǎn)制磚機的數(shù)量設(shè)為決策變量；同時根據(jù)題意可得狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為。l 寫出動態(tài)規(guī)劃的基本方程：本文采用的是逆序法構(gòu)建動態(tài)規(guī)劃模型，其中指標(biāo)方程為，表示第個月的貯存費和變動成本；因此，動態(tài)規(guī)劃的基本方程如下：綜上，最終的轉(zhuǎn)化成的動態(tài)規(guī)劃模型如下：3）基于MATLAB的動態(tài)規(guī)劃模型求解對于構(gòu)建的動態(tài)規(guī)劃模型，若用人工進(jìn)行計算，則非常復(fù)雜，又很繁瑣。如果基于MATLAB的動態(tài)規(guī)劃逆序算法，同時通過MATLAB軟件編程進(jìn)行求解，就可以大大提高計算速度和準(zhǔn)確率。其中，動態(tài)規(guī)劃逆序算法的MATLAB程序詳見附錄8.1。根據(jù)上述建立的動態(tài)規(guī)劃模型，包括階段指標(biāo)函數(shù)、狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和

13、基本方程，本文寫出下面3個M函數(shù)文件，以便在求解時可以進(jìn)行調(diào)用。l decisfun.m文件%decisfun.mfunction u=decisfun(k,s,u)%在階段kk由狀態(tài)變量x的值求出其相應(yīng)的決策變量所有的取值b=42,32,41,67,25,29;if k=6u=b(k)-s;%6月初的庫存量和6月份生產(chǎn)的數(shù)量等于6月份的銷售量elseu=0:236;%u表示某個月的生產(chǎn)數(shù)量，所以不能取負(fù)值；%每個月的生產(chǎn)數(shù)量不超過上半年的銷售總數(shù)量減去1月初的庫存量，即u不大于236endl transfun.m文件%transfun.mfunction s_next=transfun(k,

14、s,u)%狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)b=42,32,41,67,25,29;%銷售數(shù)量矩陣s_next=s+u-b(k);%狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程l subobjfun.m文件%subobjfun.mfunction v=subobjfun(k,s,u)%階段目標(biāo)函數(shù)a=0.1,0.1,0.2,0.2,0.3,0.3;%建材價格增長矩陣if s0%由于該廠可以期貨銷售，因此庫存量可能取負(fù)值，當(dāng)庫存量取負(fù)值時，該廠的貯存費為零v=0.5*u2*(1+a(k)+0.1*s;else v=0.5*u2*(1+a(k);end在MATLAB主窗口輸入每一個階段狀態(tài)變量的所有可能取值，然后直接調(diào)用dynprog.m（詳見附錄8

15、.1）進(jìn)行計算，計算結(jié)果如表5.1所示（詳見附錄8.2）。表5.1 問題1計算結(jié)果階段狀態(tài)變量決策變量階段指標(biāo)14933603.8524034639.834231580.843231579.85-429546.656029546.65由表5.1可知，在生產(chǎn)能力沒有限制的前提下，該廠生產(chǎn)制磚機的月進(jìn)度表即生產(chǎn)計劃如表5.2所示。表5.2 生產(chǎn)計劃表1月份123456生產(chǎn)量（臺）3334313129295.2 問題二的模型建立與求解（1）模型二的建立 在問題一中，我們構(gòu)建的模型是在假設(shè)該廠的生產(chǎn)能力沒有受到限制的前提下，但是結(jié)合實際情況，任何工廠的生產(chǎn)能力都是受到限制的，比如說原材料的短缺等等，因

16、此問題二就是在問題一的基礎(chǔ)上增加了一個約束條件，限制該廠每月的生產(chǎn)能力不大于33臺，即： (5-6)因此，在限制該廠生產(chǎn)能力的條件下，該廠生產(chǎn)計劃的非線性優(yōu)化模型如下：目標(biāo)函數(shù)： 約束條件： ； ； ；同樣，可以將該非線性優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化成動態(tài)規(guī)劃模型，轉(zhuǎn)化的步驟在前面的文本中已給出，因此這邊只給出最終轉(zhuǎn)化后的動態(tài)規(guī)劃模型，如下：（2）模型二的求解由于該動態(tài)規(guī)劃模型只是增加了對決策變量的一個范圍約束，因此階段指標(biāo)函數(shù)、狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和基本方程都沒有發(fā)生改變，只需要改變decisfun.m文件中的取值范圍即可。改變后的decisfun.m（字體加粗且有下劃線的地方即為改變的地方）為：%decisfun

17、.mfunction u=decisfun(k,s,u)%在階段k由狀態(tài)變量x的值求出其相應(yīng)的決策變量所有的取值b=42,32,41,67,25,29;if k=6u=b(k)-s;%6月初的庫存量和6月份生產(chǎn)的數(shù)量等于6月份的銷售量elseu=0:33;%u表示某個月的生產(chǎn)數(shù)量，所以不能取負(fù)值；該廠每個月的生產(chǎn)能力限于33臺end同樣，在MATLAB主窗口輸入每一個階段狀態(tài)變量的所有可能取值，然后直接調(diào)用dynprog.m（詳見附錄8.1）進(jìn)行計算，計算結(jié)果如表5.3所示（詳見附錄8.3）。表5.3 問題2計算結(jié)果階段狀態(tài)變量決策變量階段指標(biāo)14933603.8524033602.95341

18、31580.743132617.55-429546.656029546.65由表5.3可知，在生產(chǎn)能力限于33臺的前提下，該廠生產(chǎn)制磚機的月進(jìn)度表即生產(chǎn)計劃如表5.4所示。表5.4 生產(chǎn)計劃表2月份123456生產(chǎn)量（臺）3333313229295.3結(jié)果分析（1）問題一的結(jié)果分析根據(jù)求得的生產(chǎn)計劃表，如表5.1所示，結(jié)合銷售量、庫存量和價格上漲的具體信息，如表5.5所示，我們對求得的結(jié)果根據(jù)變量的變化趨勢進(jìn)行了分析，如圖5.1所示。表5.5 變量的具體數(shù)據(jù)1月份123456銷售量423241672529生產(chǎn)計劃333431312929庫存量49404232-40價格上漲幅度0.10.10.2

19、0.20.30.3圖5.1 變量變化的趨勢1（注：圖中價格上漲的數(shù)據(jù)是以次坐標(biāo)軸為單位，其余都是以主坐標(biāo)軸為單位）根據(jù)圖5.1中變量變化的趨勢可知，該廠上半年的銷售數(shù)量的波動比較大，而生產(chǎn)計劃比較穩(wěn)定，但是總體呈現(xiàn)下降的趨勢。這是由于建材成本的價格上漲幅度一直處于增長的狀態(tài)，因此為了節(jié)約生產(chǎn)成本，該廠應(yīng)該盡可能多的在建材成本較低的時候進(jìn)行生產(chǎn)，這符合實際情況。由于庫存量受到銷售量和生產(chǎn)計劃的共同作用，因此庫存量的波動也比較大，特別是在5月份，出現(xiàn)了庫存量小于零的狀況，這說此時該廠進(jìn)行了期貨銷售。（2）問題二的結(jié)果分析在該廠的生產(chǎn)能力受到限制后，同樣根據(jù)求得的生產(chǎn)計劃表，如表5.3所示，結(jié)合銷售

20、量、庫存量和價格上漲的具體信息，如表5.6所示，我們對求得的結(jié)果根據(jù)變量的變化趨勢進(jìn)行了分析，如圖5.2所示。表5.6 變量的具體數(shù)據(jù)2月份123456銷售量423241672529生產(chǎn)計劃333331322929庫存量49404131-40價格上漲幅度0.10.10.20.20.30.3圖5.2 變量變化的趨勢2（注：圖中價格上漲的數(shù)據(jù)是以次坐標(biāo)軸為單位，其余都是以主坐標(biāo)軸為單位）圖5.2中變量變化的趨勢和圖5.1中變量變化的趨勢基本一致，有所不同的是圖5.2求出來的結(jié)果是在該廠的生產(chǎn)能力受到限制后求得的，因此該廠的生產(chǎn)計劃不能超過每月33臺。從圖5.2中的可以看出，該廠在第1、2月份生產(chǎn)的

21、制磚機數(shù)量達(dá)到了最大生產(chǎn)能力33臺，主要是因為1、2月份的建材成本最低。由于建材成本呈現(xiàn)上升的趨勢，因此將更多的制磚機在建材成本較低的時候進(jìn)行生產(chǎn)，就可以降低變動成本，最終提高該廠的利潤，因此求得的結(jié)果是符合實際的。6、模型的評價與改進(jìn)6.1 模型的優(yōu)點動態(tài)規(guī)劃是解決多階段決策過程最優(yōu)化問題的一種方法，本文針對制磚機生產(chǎn)計劃多階段決策問題的特點，把多階段過程轉(zhuǎn)化為一系列單階段問題，利用各階段之間的關(guān)系，逐個求解，提出了解決問題的最優(yōu)化原理。動態(tài)規(guī)劃模型可以通過MATLAB編程得到最終最優(yōu)結(jié)果，避免了人工求解時的大量計算，節(jié)省時間且提高計算準(zhǔn)確率。6.2 模型的缺點在模型中，沒有考慮工廠的實際庫

22、存，但是在實際生產(chǎn)中，每個工廠在每階段的生產(chǎn)中都存在最大庫存量；模型是嚴(yán)格基于2011年上半年的銷售預(yù)測的基礎(chǔ)上建立得到的，沒有一定的彈性，如果預(yù)測略有偏差或者每階段的預(yù)測有波動，此模型在一定程度上就不適用了；在模型中，假設(shè)只在月末進(jìn)行銷售，但在實際生產(chǎn)中，每天都存在商品交易6.3 改進(jìn)的方向針對上述模型所存在的缺點，后期的改進(jìn)方向可定為三個方面：（1）在模型中增加一個變量每階段該廠分配給制磚機的庫存量；（2）將銷售預(yù)測改為變動值，用預(yù)測模型代替銷售預(yù)測值；（3）將庫存費用以天為單位進(jìn)行計算，使構(gòu)建的模型更合理。7、參考文獻(xiàn)1 褚洪生，杜增吉等.MATLAB7.2優(yōu)化設(shè)計實例指導(dǎo)教程.機械工業(yè)

23、出版社，2007.2 孫曉君. 基于MATLAB的動態(tài)規(guī)劃逆序算法的實現(xiàn)J.紡織高?；A(chǔ)科學(xué)學(xué)報，2002,15（1），38-41.3 史歷，夏先進(jìn). 基于MATLAB解決生產(chǎn)庫存問題J.制造業(yè)自動化，2010,32（10），51-52.4 于斌,劉姝麗,韓中庚. 動態(tài)規(guī)劃求解方法的MATLAB實現(xiàn)及應(yīng)用J.信息工程大學(xué)學(xué)報，2005,6（3），95-98.5 豐瑋，吳鳳平. 對生產(chǎn)計劃問題DP模型的進(jìn)一步探討J.河海大學(xué)學(xué)報，1998,26（3），46-49.6 孫寶，王希云. 基于MATLAB的動態(tài)規(guī)劃常用算法的實現(xiàn)J.太原師范大學(xué)學(xué)報，2008,7（4），26-30.8、附錄8.1 動態(tài)

24、規(guī)劃逆序算法的MATLAB程序functionp_opt,fval=dynprog(x,DecisFun,SubObjFun,TransFun,ObjFun)k=length(x(1,:); x_isnan=isnan(x);t_vubm=inf*ones(size(x); f_opt=nan*ones(size(x); d_opt=f_opt; tmp1=find(x_isnan(:,k); tmp2=length(tmp1);for i=1:tmp2 u=feval(DecisFun,k,x(i,k); tmp3=length(u); for j=1:tmp3 tmp=feval(SubO

25、bjFun,k,x(tmp1(i),k),u(j); if tmp=t_vubm(i,k) f_opt(tmp1(i),k)=tmp; d_opt(tmp1(i),k)=u(j); t_vubm(i,k)=tmp; end endendfor ii=k-1:-1:1 tmp10=find(x_isnan(:,ii);tmp20=length(tmp10); for i=1:tmp20 u=feval(DecisFun,ii,x(tmp10(i),ii); tmp30=length(u); for j=1:tmp30 tmp00=feval(SubObjFun,ii,x(tmp10(i),ii),u(j); tmp40=feva