初等變換在線(xiàn)性代數(shù)中的應(yīng)用

1、題目初等變換在線(xiàn)性代數(shù)中的應(yīng)用學(xué)生姓名馬晨光學(xué)號(hào)1109014100所在學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院專(zhuān)業(yè)班級(jí)數(shù)應(yīng)1102指導(dǎo)教師王樹(shù)勛完成地點(diǎn)陜西理工學(xué)院2015年5月30日初等變換在線(xiàn)性代數(shù)中的應(yīng)用馬晨光（陜西理工學(xué)院數(shù)計(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)1102班，陜西 漢中，72300x）指導(dǎo)老師：王樹(shù)勛摘要：本文介紹它在求矩陣的逆，求解線(xiàn)性方程組，矩陣方程，求解向量組的秩和極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)二次型中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：線(xiàn)性代數(shù) 初等變換 逆矩陣 二次型1 引言 線(xiàn)性代數(shù)是高等高職院校理工類(lèi)和經(jīng)管類(lèi)的重要的一門(mén)基礎(chǔ)課，而且矩陣?yán)碚撌蔷€(xiàn)性代數(shù)的主要內(nèi)容.矩陣的初等變換在線(xiàn)性代數(shù)中有著非常重要的作

2、用.初等變換包括：線(xiàn)性方程組的初等變換、行列式的初等變換、矩陣的初等變換.線(xiàn)性方程組可以寫(xiě)成系數(shù)矩陣和未知數(shù)矩陣的乘積.所以線(xiàn)性方程組的初等變換也可以用矩陣的初等變換來(lái)表示.本文歸納了前人對(duì)初等變換在線(xiàn)性代數(shù)中的應(yīng)用進(jìn)行了討論，初等變換在線(xiàn)性代數(shù)中是一個(gè)核心的概念，在線(xiàn)性代數(shù)有許多知識(shí)需要運(yùn)用初等變換的方法.所以說(shuō)矩陣的初等變換是初等變換的主要內(nèi)容.在線(xiàn)性代數(shù)中，矩陣的初等變換是指如下定義：（1） 交換矩陣的兩行（列）；（2） 用一個(gè)非零的數(shù)K乘矩陣的某行（列）；（3） 矩陣的某行（列）乘K 倍加到另一行（列）；矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的初等變換.初等變換在線(xiàn)性代數(shù)中主要具有以下

3、作用：求矩陣的逆，求解線(xiàn)性方程組，求解矩陣方程，求解向量組的秩和極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型等.下面我們就根據(jù)這幾個(gè)方面談?wù)劤醯茸儞Q在線(xiàn)性代數(shù)中的應(yīng)用.2 初等變換的應(yīng)用1.1求矩陣的逆定義1 是數(shù)域中上的階方陣，如果在上存在階方陣，使得,則稱(chēng)為的可逆矩陣，為的可逆矩陣.關(guān)于這個(gè)定義要注意兩點(diǎn)：1.1，滿(mǎn)足定義的矩陣是唯一確定的（如果存在的話(huà)）。1.2，如果矩陣滿(mǎn)足,那么，一定也滿(mǎn)足.(由于矩陣的乘法一般是沒(méi)有乘法交換律的)1.11 矩陣可逆的充要條件（1） 必須是滿(mǎn)秩（2） 可經(jīng)過(guò)行，列初等變換化為單位矩陣（3） 的特征值的乘積不為0（4） 的行（列）向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān).1.1.2 初等變

4、換求逆由于求矩陣的逆需具備矩陣是方陣。若可逆矩陣是方陣進(jìn)行若干次初等變換可以轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)型，簡(jiǎn)單地說(shuō)利用初等變換求逆一般的方法就是 或例2 設(shè)矩陣= ,求.解 利用初等行變換。故=1.2求解線(xiàn)性方程組：給一個(gè)線(xiàn)性方程組很難看出它是否有解，有幾個(gè)解，一般我們解決線(xiàn)性方程組問(wèn)題時(shí)有兩種方法：消元法和初等變換法.所謂消元法和我們初中所學(xué)的解決一元二次方程的方法一樣，只不過(guò)將其擴(kuò)展了.而初等變換法是將矩陣的理論運(yùn)用到解方程組的問(wèn)題上，方便簡(jiǎn)單.線(xiàn)性方程組的解一般有三種情況：有唯一解，有無(wú)窮解，無(wú)解.給一個(gè)線(xiàn)性方程組（2）把系數(shù)按原來(lái)的位置寫(xiě)成一個(gè)矩陣A=,稱(chēng)為（2）的系數(shù)矩陣.若把常數(shù)項(xiàng)也添成一列，則得

5、到一個(gè)（+1）矩陣=,稱(chēng)為（2）的增廣矩陣. 顯然如果知道一個(gè)線(xiàn)性方程組的全部系數(shù)矩陣和常數(shù)項(xiàng)，那么就可以確定這個(gè)線(xiàn)性方 程組,而判斷線(xiàn)性方程組解得情況就是看系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩是否相等.若有一個(gè)矩陣每一行元素的第一個(gè)是非零元素，那么我們就說(shuō)這個(gè)非零元素就是該矩陣的首元，若的前行為非零，其余行全為零，且該首元所在列的其他元素都為0，那么我們就說(shuō)該矩陣的秩就是.如果在階梯型矩陣中每個(gè)首元都等于1，并且每個(gè)首元所在的列其他元素都為零，則稱(chēng)是一個(gè)單位階梯型矩陣.線(xiàn)性方程組可以經(jīng)過(guò)初等變換化為同解的方程組，而對(duì)線(xiàn)性方程組作初等變換就相當(dāng)于對(duì)它的增廣矩陣作相應(yīng)的初等變換.由于每個(gè)矩陣都可以通過(guò)初等

6、變換化為階梯型矩陣，所以每個(gè)線(xiàn)性方程組都可以利用初等變換化為同解的階梯型方程組.因?yàn)榫€(xiàn)性方程組分為非齊次線(xiàn)性方程組和齊次線(xiàn)性方程組：非齊次線(xiàn)性方程組解的情況(1) 線(xiàn)性方程組有解的充分必要條件：線(xiàn)性方程組有解的充分必要條件是。且當(dāng)時(shí)有唯一解；當(dāng)時(shí)有無(wú)窮多解.（2） 利用增廣矩陣的初等變換求解線(xiàn)性方程組的三種情形：增廣矩陣經(jīng)過(guò)一系列的初等行變換，最后將增廣矩陣轉(zhuǎn)化成階梯型矩陣，觀察增廣矩陣的非零行個(gè)數(shù)是否等于系數(shù)矩陣的非零行個(gè)數(shù)。若（）則方程組有唯一解；若（）,方程組有無(wú)窮多解。若出現(xiàn)一行最后一個(gè)元素不為零而其他元素都為零時(shí)（），方程組無(wú)解.齊次線(xiàn)性方程組齊次線(xiàn)性方程組解的情況（1） 齊次線(xiàn)性方

7、程組有非零解得充分必要條件是.（2） 齊次線(xiàn)性方程組的方程個(gè)數(shù)小于未知量個(gè)數(shù)時(shí)（）必有非零解.（3） 齊次線(xiàn)性方程組系數(shù)矩陣的秩等于未知量的個(gè)數(shù)時(shí)（）只有零解.注 若線(xiàn)性方程組有無(wú)窮多解，則通解的表達(dá)式是不唯一的，因?yàn)樽杂晌粗康倪x取可以不同（但自由未知量的個(gè)數(shù)是相同的）.當(dāng)時(shí)，齊次線(xiàn)性方程組有個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量，個(gè)無(wú)關(guān)解向量是它的基礎(chǔ)解系，而且齊次線(xiàn)性方程組的所有解都可以用它的基礎(chǔ)解系來(lái)表示.所以解決線(xiàn)性方程組問(wèn)題就是利用它的基礎(chǔ)解系來(lái)表示所有解的情況.非齊次線(xiàn)性方程組與其所對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組（導(dǎo)出組）解的關(guān)系：（1）非齊次線(xiàn)性方程組有唯一解可以推出齊次線(xiàn)性方程組有唯一零解，反之不對(duì)（因?yàn)?/p>

8、齊次線(xiàn)性方程組有唯一零解可以得出非齊次線(xiàn)性方程組有唯一解或無(wú)窮多解）；（2）非齊次線(xiàn)性方程組有無(wú)窮多解可以推出齊次線(xiàn)性方程組有非零解.例 1 解方程組的全部解.解 用初等變換把增廣矩陣化為階梯型：所以方程的解為，其中，是數(shù)域中任意數(shù). 1.3矩陣方程含有未知矩陣的方程稱(chēng)為矩陣方程。求解矩陣方程的原理是根據(jù)矩陣的逆和矩陣的乘法來(lái)求得。一般矩陣方程可以通過(guò)化簡(jiǎn)，可以簡(jiǎn)寫(xiě)成下面三種形式：(1) ;(2) ;(3) ;如果矩陣可逆則可以左乘或右乘逆矩陣的方法求解未知矩陣.則(1)解為(2)解為（3）解為.這里的可以推廣到矩陣的情形，即：如果是一個(gè)階可逆陣，是一個(gè)矩陣，那么方程有唯一解=.且解也是一個(gè)矩

9、陣.如果矩陣不可逆，則利用待定元素法來(lái)求解矩陣方程。將未知元素設(shè)出來(lái)，然后根據(jù)矩陣的乘法將其寫(xiě)成方程組形式，然后解方程組.如何利用初等變換來(lái)解決矩陣方程，我們知道矩陣的逆對(duì)的求法，所以我們根據(jù)矩陣的逆的性質(zhì)對(duì)其進(jìn)行擴(kuò)展.構(gòu)造矩陣對(duì)這個(gè)矩陣進(jìn)行初等行變換將矩陣化為單位陣,對(duì)矩陣也進(jìn)行初等行變換將矩陣化成.即同理，求解矩陣方程，構(gòu)造矩陣對(duì)這個(gè)矩陣進(jìn)行初等列變換將矩陣化為單位矩陣，對(duì)矩陣也進(jìn)行初等列變換將矩陣化為即例1求使 解 用矩陣的初等變換來(lái)求解 故= .1.4 求解向量組的秩和極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組1 極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組和向量組的秩定義2 向量組中的部分向量滿(mǎn)足（1）線(xiàn)性無(wú)關(guān)；（2）向量組的任何向量可由線(xiàn)

10、性表出；則稱(chēng)是向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組.一個(gè)向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組一般不是唯一的，但是任兩個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組所包含的向量個(gè)數(shù)是相同的；如果只有一個(gè)零向量組成的向量組是不存在極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，一個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)組的想向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組就是這個(gè)向量本身.向量組的秩：一個(gè)向量組中的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組中向量的個(gè)數(shù)就是該向量組的秩.向量組的秩等于向量組的行秩等于向量組的列秩，所以要求向量組的秩，可以只求向量組的行秩或列秩.1向量組的秩與極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組的求法初等變換法首先以向量組中的各向量為列作成矩陣；然后對(duì)進(jìn)行初等行變換，將矩陣化為階梯型矩陣（或行最簡(jiǎn)形）；這時(shí)中非零行向量的個(gè)數(shù)為矩陣的秩，即向量組的秩；由于或的前

11、個(gè)非零行的首元所在的行共列，此列所對(duì)應(yīng)的矩陣的個(gè)列向量就是最大無(wú)關(guān)組. 注1 若將向量寫(xiě)成行向量組形式，則要采用初等列變換，化為列的階梯型（最簡(jiǎn)形式），也可以得向量組的秩及最大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組. 2 以向量的分量為列（或行）作矩陣A，則對(duì)A必須采用初等行（列）變換，絕對(duì)不能寫(xiě)成行（列）矩陣，又做初等行（列）變換.例 求向量組=（1,2，-1,1），=（2,0，t，0），=（0，-4,5，-2），=（3，-2，t+4，-1）的秩和一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組.解 以向量為行向量排成矩陣，做列初等變換：所以，肯定線(xiàn)性無(wú)關(guān)，兩種情況：情況1 ：t=3.則，是極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，而=2+和=3+2情況2： t3，則是極大

12、線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，而=.向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充要條件是它的秩等于它所含向量的個(gè)數(shù).1.5合同矩陣 定義3 兩個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)陣和，如果存在可逆矩陣使得,就稱(chēng)由到的變換為合同變換.如果存在一個(gè)可逆矩陣使得就相當(dāng)于對(duì)于二次型的矩陣來(lái)說(shuō)，做一次非退化的線(xiàn)性替換相當(dāng)于將二次型的矩陣變換成與其合同的矩陣.合同是矩陣之間的一種關(guān)系自反性：任何矩陣與自身都是合同的；對(duì)稱(chēng)性：如果與合同，那么與也合同；傳遞性：如果與合同，與合同，那么與也合同.一個(gè)二次型經(jīng)過(guò)非退化線(xiàn)性替換后，新的二次型與原來(lái)的二次型是合同的.新的二次型與原來(lái)的二次型都是可逆或不可逆，而且他們的秩也相同.1.6將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)二次型設(shè)P是一個(gè)數(shù)域，以P中的數(shù)作系數(shù)

13、的的二次齊次多項(xiàng)式稱(chēng)為數(shù)域P上的一個(gè)n元二次型，簡(jiǎn)稱(chēng)二次型.在討論二次型時(shí)矩陣是一個(gè)有力的工具我們可以將二次型寫(xiě)成矩陣形式，令因?yàn)樗远涡涂梢詫?xiě)成=其系數(shù)就可以寫(xiě)成矩陣形式A=。因?yàn)锳是對(duì)稱(chēng)陣所以二次型的矩陣都是對(duì)稱(chēng)矩陣.令X=。這樣就可以把二次型寫(xiě)成矩陣乘積的形式.可以看到A的對(duì)角元素是的系數(shù)，而也是的系數(shù)的一半和的系數(shù)分別位于對(duì)角線(xiàn)的兩側(cè)。因此二次型與它的矩陣是相互唯一確定的.定義4 設(shè)；是兩組變量，系數(shù)在數(shù)域P中的一組關(guān)系 （2）稱(chēng)為由到的一個(gè)線(xiàn)性替換如果系數(shù)是矩陣是滿(mǎn)秩的的，就稱(chēng)線(xiàn)性替換是非退化的或可逆的.線(xiàn)性替換可以用他的系數(shù)矩陣來(lái)表示令，根據(jù)矩陣的乘法可以替換成X=CY。將X=C

14、Y帶入方程中因?yàn)镃是可逆的，所以，所以令X=CY就可以將化為平方和。就是標(biāo)準(zhǔn)二次型。我們知道任何一個(gè)二次型都可以經(jīng)過(guò)非退化線(xiàn)替換后仍是二次型的.化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型一般有三種方法：（配方法 正交變換法 初等變換法）主要講初等變換法例 利用初等變換將二次型化為二次型解 二次型的系數(shù)矩陣為A=將其初等變換經(jīng)過(guò)變換X=CY化為標(biāo)準(zhǔn)型3 結(jié)論矩陣的初等變換是線(xiàn)性代數(shù)中一個(gè)重要的工具，因此我認(rèn)為矩陣的初等變換在線(xiàn)性代數(shù)的重要性是不言而喻的，本文在介紹利用初等變換求矩陣的逆時(shí)若沒(méi)有初等變換就沒(méi)有一般的求逆矩陣的方法，這是初等變換的重要作用之一.重要作用之二是在求解線(xiàn)性方程組是將線(xiàn)性方程組寫(xiě)成矩陣乘積的形式，然

15、后利用初等變換的方法將方程的所有解的情況都能表示出來(lái)也能解出來(lái)，所以初等變換在求解線(xiàn)性方程組時(shí)的作用是非常方便的.重要作用之三是利用初等變換求解向量的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組和無(wú)關(guān)向量.重要作用四是利用初等變換這一工具是運(yùn)用合同矩陣的定義將二次型轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的二次型.利用初等變換在線(xiàn)性代數(shù)中可以解決很多問(wèn)題，也可以為解決很多問(wèn)題提供方便，初等變換在線(xiàn)性代數(shù)中都有求矩陣的秩，矩陣的逆，解線(xiàn)性方程組和向量的極大無(wú)關(guān)線(xiàn)性組，矩陣方程這些作用等等.初等變換在線(xiàn)性代數(shù)中具有很大的作用，難道只有這些作用嗎？值得我們進(jìn)一步去探索.參考文獻(xiàn)【1】 王文省.高等代數(shù)，濟(jì)南：山東大學(xué)出版社，2004.5.【2】 北京大學(xué)數(shù)學(xué)

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