東南大學(xué)高等數(shù)學(xué)期中期末試卷

1、學(xué)號(hào) 姓名 密封線東 南 大 學(xué) 考 試 卷（ A 卷）課程名稱高等數(shù)學(xué)（非電）考試學(xué)期04-05-2得分適用專業(yè)非電類各專業(yè)考試形式閉卷考試時(shí)間長度150分鐘題號(hào)一二三四五六七得分一. 填空題（每小題4分，共20分）1函數(shù)的間斷點(diǎn) 是第 類間斷點(diǎn).2. 已知是的一個(gè)原函數(shù),且,則 .3. .4. 設(shè),則 .5. 設(shè)函數(shù),則當(dāng) 時(shí),取得最大值.二. 單項(xiàng)選擇題(每小題4分,共16分)1. 設(shè)當(dāng)時(shí),都是無窮小,則當(dāng)時(shí),下列表達(dá)式中不一定為無窮小的是 (A) (B) (C) (D)2. 曲線的漸近線共有 (A) 1條 (B) 2條 (C) 3條 (D) 4條3. 下列級(jí)數(shù)中收斂的級(jí)數(shù)是 (A) (

2、B) (C) (D) 4. 下列結(jié)論正確的是 (A) 若,則必有.(B) 若在區(qū)間上可積,則在區(qū)間上可積.(C) 若是周期為的連續(xù)函數(shù),則對(duì)任意常數(shù)都有.(D) 若在區(qū)間上可積,則在內(nèi)必有原函數(shù).三. (每小題7分,共35分)1. . 2. 判斷級(jí)數(shù)的斂散性.3. . 4. .5. 求初值問題 的解.四.(8分) 在區(qū)間上求一點(diǎn),使得圖中所示陰影部分繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積最小. 五.(7分) 設(shè) ,求證 .六.(7分) 設(shè)當(dāng)時(shí),可微函數(shù)滿足條件且,試證:當(dāng)時(shí),有 成立.七.(7分) 設(shè)在區(qū)間上連續(xù),且 ,證明在區(qū)間內(nèi)至少存在互異的兩點(diǎn),使.04-05-2高等數(shù)學(xué)(非電)期末試卷答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

3、一. 填空題(每小題4分,共20分)1. 0,一; 2. ; 3. ; 4. 1; 5. .二. 單項(xiàng)選擇題(每小題4分,共16分)1. A; 2.B; 3. D; 4.C.三. (每小題7分,共35分)1. 原式=2. 由比值法知原級(jí)數(shù)收斂. 3. 原式 =4. 原式=5. 對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為 非齊次方程的一個(gè)特解為,非齊次方程的一個(gè)特解為,原方程的通解為 ,利用初值條件可求得 , 原問題的解為四.(8分) 因此是在上的唯一的極小值點(diǎn),再由問題的實(shí)際意義知必存在最小體積,故是最小值點(diǎn).五.(7分) 設(shè),原不等式等價(jià)于, 即等價(jià)于,且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立 因此單增,從而單增,原不等式得證.

4、六.(7分)由題設(shè)知, 所給方程可變形兩端對(duì)求導(dǎo)并整理得 這是一個(gè)可降階的二階微分方程,可用分離變量法求得 由于,得單減,而所以當(dāng)時(shí), ,對(duì) 在上進(jìn)行積分七.(7分) 記,則在上可導(dǎo),且若在內(nèi)無零點(diǎn),不妨設(shè)此矛盾說明在內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)對(duì)在上分別使用Rolle定理知存在,使得即 東 南 大 學(xué) 考 試 卷（A卷）課程名稱工科數(shù)學(xué)分析考試學(xué)期04052（期末）得分學(xué)號(hào) 姓名 適用專業(yè)上課各專業(yè)考試形式閉考試時(shí)間長度150分鐘題號(hào)一二三四五六七得分一 填空題（每小題4分，共20分） 1設(shè)，則（1） 。2設(shè)，則 。3設(shè),則當(dāng) 時(shí),取得最大值。4設(shè)滿足，則 。5已知是的一個(gè)原函數(shù)，且，則 。二 選擇題

5、（每小題4分，共16分）1設(shè)則 (A)有無窮多個(gè)第一類間斷點(diǎn) (B)只有一個(gè)可去間斷點(diǎn)(C )有兩個(gè)跳躍間斷點(diǎn) ( D)有三個(gè)可去間斷點(diǎn)2設(shè)當(dāng)時(shí)，都是無窮小量（），則當(dāng)時(shí)，下列表達(dá)式不一定是無窮小量的是 (A) (B) (C) (D)3下列反常積分發(fā)散的是 (A) (B) (C) (D) 4.下列結(jié)論正確的是 (A) 若,則必有(B) 若在區(qū)間上可積,則在區(qū)間上可積(C)若是周期為的連續(xù)函數(shù),則對(duì)任意常數(shù)都有(D)若在區(qū)間上可積,則在內(nèi)必定有原函數(shù). 三（每小題7分，共35分）1 設(shè)滿足,求曲線在點(diǎn)處的切線方程.2 計(jì)算積分 3計(jì)算積分4.計(jì)算反常積分5.設(shè),求. 四.(7分) 求微分方程初值

6、問題的解.五.(8分)在區(qū)間上求一點(diǎn),使得圖中所示陰影部分繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積最小。 六.(7分)設(shè),求證:.七（7分）求極限東 南 大 學(xué) 考 試 卷（A卷）課程名稱工科數(shù)學(xué)分析考試學(xué)期04053（期末）得分學(xué)號(hào) 姓名 適用專業(yè)上課各專業(yè)考試形式閉考試時(shí)間長度150分鐘題號(hào)一二三四五六七得分一填空題（每小題4分，共20分）1交換積分次序= .2冪級(jí)數(shù)的收斂域是 .3設(shè)，則= 。 4設(shè)函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，在區(qū)間上，則的Fourier級(jí)數(shù)在處收斂于 。5當(dāng)= ，= 時(shí)，向量場為有勢(shì)場。二單項(xiàng)選擇題（每小題4分，共16分）1在下列無窮級(jí)數(shù)中，收斂的級(jí)數(shù)是 (A) (B) (C) (D)

7、2.設(shè)為上半球面，則曲面積分 值為 （A） (B) (C) (D) 3.設(shè)力場，將一質(zhì)點(diǎn)在力場內(nèi)沿平面內(nèi)的橢圓正向運(yùn)動(dòng)一周，場力所做的功為 (A) (B) (C) (D) 4二元函數(shù)在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在是函數(shù)在該點(diǎn)可微的 （A）充分而非必要條件 （B）必要而非充分條件 （C）充分必要條件 （D）既非充分也非必要條件三.計(jì)算下列各題(每小題7分,共35分)1. 計(jì)算積分。 2. 將函數(shù)展開為的冪級(jí)數(shù)。3. 將函數(shù)在上展為正弦級(jí)數(shù)。4. 將函數(shù)分別在圓環(huán)域（1） （2）內(nèi)展成Laurent級(jí)數(shù)。5. 判斷級(jí)數(shù)是否一致收斂？證明你的結(jié)論。四.（8分）面積分其中為錐面的下側(cè).五.(7分)計(jì)算積分，其

8、中是圓柱面與平面的交線，從軸的正向看，為順時(shí)針方向。.六（8分）求級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)，并求級(jí)數(shù)的和.七.(6分)設(shè)，且，試證交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂。學(xué)號(hào) 姓名 密封線東 南 大 學(xué) 考 試 卷課程名稱高等數(shù)學(xué)(下)重修考試日期05-07得分適用專業(yè)電類各專業(yè)考試形式閉卷考試時(shí)間長度150分鐘題號(hào)一二三四五六七得分一。填空題(本題共5小題，每小題4分，滿分2 0分)1 。2改變積分次序： 。3函數(shù)在點(diǎn)處沿著從點(diǎn)指向點(diǎn)的方向的方向?qū)?shù)為 。4冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。5若函數(shù)可微，且，則當(dāng)時(shí)， 二單項(xiàng)選擇題(本題共4小題，每小題4分，滿分1 6分)1.設(shè),則 (A) (B) (C) (D) 2設(shè)級(jí)數(shù)條件收斂，則必有 (A)收斂 (B)收斂 (C)與都收斂 (D)收斂3設(shè)是從點(diǎn)經(jīng)點(diǎn)到點(diǎn)再到點(diǎn)的有向閉折線，則曲線積分的值等于 （A）2 （B）-1 （C）1 （D）-24若是由上半圓周與軸所圍成的區(qū)域，為連續(xù)函數(shù)，則二重積分的值為 （A） （B） （C） （D）三計(jì)算下列各題(本題共5小題，滿分3 3分)1 (本題滿分6分) 將函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù)。2 (本題滿分7分)設(shè)函數(shù),其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求。3 (本題滿分6分)求曲線 在點(diǎn)處的切線方程。4 (本題滿分6分)計(jì)算積分 。5 (本題滿分