不定積分定積分

1、不定積分例：設是的原函數(shù)，是的原函數(shù)，且，求。由，兩邊求導例：設單調(diào)連續(xù)、可導，是它的原函數(shù)，若，求例：設由方程確定的隱函數(shù)，求注：將用表示，用表示，難！令，代入原式原式=注：這種求隱函數(shù)的不定積分，一般都是通過變量變換將用同一參數(shù)表示出來，然后求解例：設由方程確定的隱函數(shù)，求令例：令，分段函數(shù)的不定積分例：，求。當當，則是連續(xù)函數(shù)，例：已知，在上，求。由，于是。定積分求極限例： 兩邊積分，右邊=，由夾逼定理可知：例：.不能用LHospital法則，求導后極限不存在。當而又 左邊 =則 ，由兩邊夾法則可得，原式例：估計的符號因為而，故，由積分中值定理原式類似地，例：證明令，進行換元積分，有對第

2、二個積分用換元積分，則有原式=由于在上，被積函數(shù)是一個正函數(shù)，從而可得結論。例：設在上連續(xù)，求分析：積分不易，用積分中值定理。設，在上連續(xù)，且不變號，則存在，使得，在相應的區(qū)間；原式。例：設在上連續(xù)，且單調(diào)非負，又，證設單調(diào)增加，由非負，類似可得，由兩邊夾法則，其中右邊用級數(shù)收斂判別法。例：注意：善于利用被積函數(shù)的奇偶性和積分區(qū)間的對稱性例：例：對稱區(qū)間上的積分，作負變換，通常有效。例：上述做法的基本思想是：例：，令 原式 （奇函數(shù)）例：例：求值，使得，其中. 由于，令得。含有參數(shù)的定積分：例：，其中為實數(shù)例：；，總之：例：設 ，求由設 ，又因于是 求定積分得例：設,求。法1、，令，則，法2、

3、令，則由于，則。例：，求。令，原式例：例：設，且，求法1，先求出，然后積分。法2、而，代入上式得，令，得應用分部積分法得：例：，令以上結果是錯誤的，因為是瑕點。，原函數(shù)， 原積分發(fā)散。注：對于積分，由于，其中原積分可化為，后一積分的分子是分母的導數(shù)。例：已知，求當，當當當例：例：已知，求所以，例：設為常數(shù)，且，求，使得右式分部積分，若，發(fā)散。所以，必有，此時，由，所以，則例：設，證：1、，2、1、2、 ，同時加上，有由1、可知上式左邊，而右邊，即得。例：求 所以，于是，例：設，證：用歸納法。，交換積分次序設成立，交換積分次序例：設，求的最值。當當從而，為極小值。由在內(nèi)只有唯一極小值，則必為最小值。當在嚴格增加，又，所以，無最大值。例：設k為任意實數(shù), 證明: .證明: 先證: 令, 得&#