三維隨機(jī)變量的分布與性質(zhì)

1、三維隨機(jī)變量的分布與性質(zhì)摘要：由所學(xué)的二維隨機(jī)變量的分布和性質(zhì)來研究三維隨機(jī)變量的分布和性質(zhì)，將概率分布的問題由平面擴(kuò)展到空間。具體探討了三維隨機(jī)變量的分布函數(shù)、分布列、密度函數(shù)等概念及其主要性質(zhì)。關(guān)鍵詞：三維隨機(jī)變量；分布函數(shù)；分布列；密度函數(shù)1、三維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布函數(shù)1.1 三維隨機(jī)變量的定義 定義1：如果是定義在同一個(gè)樣本空間=上的三個(gè)隨機(jī)變量，則稱為三維（三元）隨機(jī)變量或隨機(jī)向量。1.2 聯(lián)合分布函數(shù)定義2：對(duì)任意的三個(gè)實(shí)數(shù)，稱為三維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)。 類似二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)，有如下的性質(zhì)：定理1：設(shè)為三維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)，則具有以下四條基本性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性：分別對(duì)，

2、或是單調(diào)不減的，即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.有界性：對(duì)任意的，,有，且；.右連續(xù)性：對(duì)每個(gè)變量都是右連續(xù)的，即；.非負(fù)性：對(duì)任意的，有圖 1.1注：如圖1.1所示，表示隨機(jī)變量在空間域內(nèi)取值的概率。1.3. 聯(lián)合分布列和聯(lián)合密度函數(shù) 三維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列定義3：如果三維隨機(jī)變量只取有限個(gè)或可列個(gè)數(shù)對(duì)，則稱為三維離散型隨機(jī)變量，并稱為的聯(lián)合分布列。注：三維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列具有性質(zhì)非負(fù)性：； 正則性： . 三維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)定義4：如果存在三元非負(fù)可積函數(shù)，使得三維隨機(jī)變量的分布函數(shù)可表示為則稱為三維連續(xù)隨機(jī)變量，并稱為的聯(lián)合密度函數(shù)。注：在偏導(dǎo)數(shù)存在的點(diǎn)上有 . 且的聯(lián)合密度函數(shù)具

3、有下面的基本性質(zhì)：非負(fù)性：；正則性：.2、三維隨機(jī)變量的邊際分布2.1 邊際分布函數(shù)在三維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)中，令,可得=,稱之為的邊際分布函數(shù),記為 . 類似的，在中令,可得的邊際分布函數(shù) 在中令,可得的邊際分布函數(shù) 2.2 邊際分布列和邊際密度函數(shù) 邊際分布列在三維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列中,對(duì)于求和得到 =稱之為的邊際分布列。類似地,對(duì)求和得到的邊際分布列 =；稱之為的邊際分布列。 =稱為的邊際分布列。 邊際密度函數(shù) 如果三維連續(xù)隨機(jī)變量的聯(lián)合密度為,由 ，得到 ；即為三維隨機(jī)變量關(guān)于的邊際密度函數(shù)。同樣有 ； .分別為三維隨機(jī)變量關(guān)于（或）的邊際密度函數(shù)。 .三維隨機(jī)變量的獨(dú)立性定義

4、5 設(shè)三維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為,如果對(duì)任意三個(gè)實(shí)數(shù)有，則稱隨機(jī)變量相互獨(dú)立。定理2 對(duì)三維離散型隨機(jī)變量,如果對(duì)其任意三個(gè)實(shí)數(shù)，有 ， 則相互獨(dú)立。對(duì)三維連續(xù)型隨機(jī)變量,如果對(duì)其任意三個(gè)實(shí)數(shù)，有，則相互獨(dú)立。注：利用聯(lián)合分布與邊際分布的關(guān)系及獨(dú)立性的定義易證，略。例1：設(shè)是三維離散隨機(jī)變量，的邊際分布列如下：1/41/21/41/21/21/32/3如果,試問: 是否獨(dú)立?解：，.由所以，不是相互獨(dú)立的。3、三維隨機(jī)變量函數(shù)的分布 3.1 三維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)為三維離散型隨機(jī)變量，則某一函數(shù)是一維隨機(jī)變量,當(dāng)取值較少時(shí),可將的取值一一列出，并可求出其分布列。例2 設(shè)的聯(lián)合分布列如

5、下所示： -1011/201/203/204/201/203/202/201/201/201/202/200試求: 的分布列。解:易見的可能取值有，且；.從而，的分布列為3.2.三維連續(xù)型隨機(jī)變量的分布對(duì)于三維連續(xù)型隨機(jī)變量，其和的分布有如下結(jié)論：定理3：設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為，則的密度函數(shù)可以表示為； 或 ；或 .特別地，若相互獨(dú)立，則有；或 ；或 .證明： 其他類似可以得證。4、三維隨機(jī)變量的數(shù)字特征值4.1 三維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理4：（1）若三維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列為則的數(shù)學(xué)期望為；（2）若三維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為，則的數(shù)學(xué)期望為. 例3 從數(shù)字0,1,5中任意取3個(gè)

6、不同的數(shù),求這三個(gè)數(shù)之和的數(shù)學(xué)期望。解：設(shè)這三個(gè)數(shù)字分別為,其取值方法有種，的分布列為34567891011121/201/202/203/203/203/203/202/201/201/20 .特別地，取時(shí),可得的數(shù)學(xué)期望為 .4.2 數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)是三維隨機(jī)變量,則有 .證明:不妨設(shè)為連續(xù)隨機(jī)變量，(離散隨機(jī)變量可類似證明)其聯(lián)合密度函數(shù)為. 若令,則由定理4可得： 性質(zhì)2 若三個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,則有. 證明:不妨設(shè)為連續(xù)隨機(jī)變量,(離散隨機(jī)變量可類似證明)其聯(lián)合密度函數(shù)為. 若令,則由定理2和定理4可得 .性質(zhì)3 若三個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,則有 說明：利用兩個(gè)隨機(jī)變量獨(dú)立的結(jié)論易證。例4.已知隨機(jī)變量相互獨(dú)立,且求的數(shù)學(xué)期望、方差、和標(biāo)準(zhǔn)差。 解：； ； . 說明：對(duì)于三維隨機(jī)變量的性質(zhì)問題，主要討論了獨(dú)立條件下的期望和方差性質(zhì)，這里沒有作更進(jìn)一步深入的探討。參考文獻(xiàn):