三次DP曲線的形狀分析

1、三次DP曲線的形狀分析吳 曉 勤，朱秀云，陳福來(lái) （湖南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,湘潭,411201）摘要 基于包絡(luò)理論與拓?fù)溆成涞姆椒▽?duì)三次DP曲線進(jìn)行了形狀分析，得出了曲線上含有奇點(diǎn)、拐點(diǎn)和曲線為局部凸或全局凸的充分必要條件，這些條件完全由控制多邊形的頂點(diǎn)位置所決定。最后，就三次DP曲線和三次Bezier曲線、三次Ball曲線的形狀圖進(jìn)行了對(duì)比。關(guān)鍵詞DP曲線； 奇點(diǎn)；拐點(diǎn)；局部凸；全局凸中圖分類號(hào)：TP391 Shape Analysis of Cubic DP Curve WU Xiao-qin ZHU Xiu-yun CHEN Fu-lai (School of Mathemati

2、cs & Computation Science, Hunan University of Science & Technology, Xiangtan 411201)Abstract: In this paper, we analyzed the shape features of the cubic DP curve by using the method based on the theory of envelop and topological mapping. Necessary and sufficient conditions are derived for th

3、is curve having one or two inflection points, a loop or a cusp, or be locally or globally convex. Those conditions are completely characterized by the vetex of the control polygon. At last, we give the shape diagram of cubic Bézier curve and Ball curve.Key words：DP curve; singular points; infle

4、ction points ; local convexity ; global convexitySubject Classification (CL) TP391 0 引言2003年，Delgado和Pea提出一種新的參數(shù)曲線1-2，新的基函數(shù)被稱之為DP基，由此構(gòu)造的曲線被稱為DP曲線3。DP基是規(guī)范的全正基（簡(jiǎn)稱NTP基），DP曲線的生成算法是割角算法，具有數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性，且算法的計(jì)算復(fù)雜度是線性的；DP曲線同樣具有端點(diǎn)插值的特性。因此，DP曲線在計(jì)算上是優(yōu)于Bézier曲線，有很好的應(yīng)用前途。在實(shí)際應(yīng)用中，往往需要判斷參數(shù)曲線段上有無(wú)奇點(diǎn)和拐點(diǎn)，以及曲線為局部凸還是全局凸，

5、這對(duì)曲線的形狀控制是至關(guān)重要的。Yang和Wang用擺線的仿射變換方法，討論了C-Bézier 曲線的奇點(diǎn)與拐點(diǎn)，給出了該曲線的形狀分布圖4。還通過(guò)構(gòu)造一種特征函數(shù)的方法得到了平面三次H-Bézier曲線的奇拐點(diǎn)分布5；其后葉正麟和吳榮軍利用包絡(luò)理論和拓?fù)溆成涞姆綄?duì)平面三次C-Bézier 曲線和平面三次H-Bézier 曲線進(jìn)行了形狀分析6,7，也得出了曲線的形狀分布圖。Juhász通過(guò)固定三個(gè)控制點(diǎn)，適當(dāng)選擇第四個(gè)控制點(diǎn)的位置來(lái)產(chǎn)生并調(diào)控有理Bézier及C-Bézier曲線的奇點(diǎn)和拐點(diǎn)的方法8.本文基于包絡(luò)理論和拓?fù)溆?/p>

6、射的方法，對(duì)三次DP曲線進(jìn)行形狀分析，討論了相應(yīng)空間曲線的變撓性，再對(duì)平面非退化曲線的奇點(diǎn)、拐點(diǎn)及凸性作了進(jìn)一步討論，揭示局部凸區(qū)域與重結(jié)點(diǎn)區(qū)域的兩條邊界線之間的包絡(luò)關(guān)系，由此得出了平面三次DP曲線的形狀分布圖，圖中既包括奇、拐點(diǎn)分布區(qū)域，還給出了局部凸區(qū)域和全局凸區(qū)域。最后，就三次DP曲線和三次Bézier曲線、三次Ball曲線的形狀圖進(jìn)行了對(duì)比。1. 三次DP曲線簡(jiǎn)介根據(jù)文獻(xiàn)1-2，給出三次DP曲線的定義。 定義1給定4個(gè)控制頂點(diǎn)d (，對(duì)，定義曲線 （1）為三次DP曲線，其中基函數(shù)定義為 （2）2 空間三次DP曲線的形狀分析定理1若4個(gè)控制頂點(diǎn)不共面，則曲線為空間曲線且無(wú)奇點(diǎn)和

7、泛拐點(diǎn)。證明 設(shè)（），將改寫(xiě)為 (3)則有由式(2)得，當(dāng)時(shí)，又由控制頂點(diǎn)不共面可知，邊向量()線性無(wú)關(guān)，故，即不可能有尖點(diǎn)。假設(shè)曲線有重結(jié)點(diǎn)，設(shè)有，使得，則有 (4)因?yàn)?)線性無(wú)關(guān)，所以由式(4)得，顯然是單調(diào)遞增，上式不成立，無(wú)二重點(diǎn)。泛拐點(diǎn)是指空間曲線上撓率變號(hào)的點(diǎn)。設(shè)det ()，則有 其中為邊向量的混合積，。所以曲線無(wú)泛拐點(diǎn)，并且與控制多邊形具有相同的旋轉(zhuǎn)方向。3 平面三次DP曲線的形狀分析 如果、四點(diǎn)共面，為平面曲線，此時(shí)=0。 先考慮不平行，以，為基向量，令，將其代人式(3)得 (5)3.1 尖點(diǎn) 曲線有尖點(diǎn)的必要條件是= 0 (0 << 1) . 由式(5)得 (

8、6)由于與線性無(wú)關(guān)，據(jù)式(6)得參數(shù)曲線 (7)對(duì)式(7)參數(shù)曲線求一階和二階導(dǎo)數(shù)，易知曲線C是單調(diào)遞減和凸的。在曲線C上任取一點(diǎn)，記為，與之對(duì)應(yīng)的參數(shù)值設(shè)為。由的泰勒展開(kāi)為，求導(dǎo)得 (8)式(8)中，若不然，對(duì)式(6)再求一次導(dǎo)，得且，矛盾。 故經(jīng)過(guò)時(shí)方向反變，所以曲線C是尖點(diǎn)條件曲線。3.2 拐點(diǎn)曲線的副法向量為，經(jīng)計(jì)算有 (9)其中+ (10)點(diǎn)是拐點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)經(jīng)過(guò)時(shí)變號(hào)。而在平面，使得有拐點(diǎn)的可能區(qū)域必為直線族=0所覆蓋，而此直線族的包絡(luò)為 (11)對(duì)式(11)計(jì)算，得式(7)，說(shuō)明直線族的包絡(luò)正好是曲線C。當(dāng)時(shí)，設(shè)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，由泰勒展開(kāi)，得 (12)其中?？芍?jīng)過(guò)時(shí)不變號(hào)，故不是拐點(diǎn)

9、。圖1：三次DP曲線的形狀圖當(dāng)時(shí)，其中為第二和第四象限，是由曲線C和u軸和v軸所圍部分。設(shè)過(guò)點(diǎn)與曲線C相切的直線之一為=0，其中為切點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)，則由可知（因若，則由包絡(luò)定義知），從而經(jīng)過(guò)時(shí)變號(hào)，故是拐點(diǎn)。進(jìn)一步，當(dāng)時(shí)，過(guò)此點(diǎn)只能作曲線C的一條切線，對(duì)應(yīng)只有一個(gè)拐點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，過(guò)此點(diǎn)可作曲線C的兩條切線，對(duì)應(yīng)有2個(gè)拐點(diǎn)。3.3 重結(jié)點(diǎn)曲線有重結(jié)點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)存在，使得，這等價(jià)于滿足方程組 (13)其中=.容易驗(yàn)證，式(13)定義了一個(gè)拓?fù)溆成?F：(),因此象域()是平面上單連通區(qū)域，象域的3條邊界線與定義域的3條邊界線和相對(duì)應(yīng)，即分別為曲線C(不屬于)，和(都屬于)。中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)曲線有且僅有一個(gè)二重

10、結(jié)點(diǎn)，其中和的參數(shù)方程分別為 易見(jiàn)，曲線和是關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)閷⒅械姆謩e用t代換，得到中的。所以只需討論曲線和中一條曲線的屬性。和相交于點(diǎn)(-1,-1)，當(dāng)時(shí)，與 軸相交于點(diǎn)(-3,0)； 對(duì)稱地，當(dāng)時(shí)，與 軸相交于點(diǎn)(0,-3)。對(duì)曲線和分析可知，是單調(diào)遞減的、嚴(yán)格凸的曲線。3.4 凸性當(dāng) R時(shí)，曲線無(wú)尖點(diǎn)、重結(jié)點(diǎn)和拐點(diǎn)，并且此時(shí)不發(fā)生方向改變。按照文獻(xiàn)9，考慮，由式(5)計(jì)算得，其中 (14) (15)由式(14)可知，當(dāng)，經(jīng)過(guò)時(shí)方向反變。解不等式得區(qū)域，所以，當(dāng)（由和連接點(diǎn)(-3,0)和(-1,-1)的線段所圍部分），為局部凸，見(jiàn)圖1所示。再由對(duì)稱性知，可得當(dāng)(由和連接點(diǎn)(0,-3)和(-1

11、,-1)的線段所圍部分），為局部凸，見(jiàn)圖1所示。從而當(dāng)時(shí)，為全局凸。最后，當(dāng)，記，以為平面的基向量。據(jù)式(3)，得類似于3.1-3.4節(jié)的討論，可得：曲線無(wú)尖點(diǎn)、二重點(diǎn)；當(dāng)且僅當(dāng)，即與方向相同（不包括4點(diǎn)共線）時(shí)，有且只有一個(gè)拐點(diǎn)；當(dāng)且僅當(dāng)，為全局凸。定理2 當(dāng)，平面三次DP曲線無(wú)尖點(diǎn)、二重點(diǎn)；當(dāng)且僅當(dāng)與方向相同時(shí)，有且只有一個(gè)拐點(diǎn)；當(dāng)且僅當(dāng)與方向相反時(shí)，為全局凸。當(dāng)不平行時(shí)，設(shè)，則i）當(dāng)時(shí)，的形狀特征取決于點(diǎn)在平面的如下分布（如圖1所示），即 4 與三次Bezier、Ball曲線的形狀圖的比較按照上一節(jié)相同的方法，當(dāng)不平行時(shí)，設(shè)有三次Bézier曲線和三次Ball曲線的形狀圖。圖2

12、為三次Bézier曲線的形狀圖，其中曲線C的方程為 的方程為 的方程為 和以u(píng)軸為漸近線，和以v軸為漸近線。圖2：三次Bézier曲線的形狀圖 圖3：三次Ball曲線的形狀圖圖3為三次Ball曲線的形狀圖，其中曲線C的方程為 的方程為 的方程為 和以為漸近線，和以為漸近線。比較3個(gè)形狀圖，有結(jié)論：對(duì)于單拐點(diǎn)區(qū)域，三次Ball曲線最大，三次DP曲線和三次Bezier曲線二者相同；對(duì)于雙拐點(diǎn)區(qū)域，三次Ball曲線最小，三次Bezier曲線次之，三次DP曲線最大，說(shuō)明在相同控制頂點(diǎn)下，三次DP曲線最易出現(xiàn)雙拐點(diǎn)；對(duì)于重結(jié)點(diǎn)區(qū)域，三次Bezier曲線最大，三次DP曲線和三次Ball

13、曲線較??；對(duì)于局部凸區(qū)域，三次DP曲線最小，三次Ball曲線較大，三次Bezier曲線最大；對(duì)于全局凸區(qū)域，三次Bezier曲線最小，三次DP曲線和三次Ball曲線較大，說(shuō)明三次DP曲線和三次Ball曲線保全局凸的能力要強(qiáng)于三次Bezier曲線。參考文獻(xiàn)1Delgado J., Pea J.M., A shape preserving representation with an evaluation algorithm of liner complexityJ. Computer Aided Geometric Design, 2003 , 20 (1) : 1 10.2Delgado J.

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