如果上天能再給我一次機(jī)會(huì),我會(huì)選擇看懂麥克斯韋方程組

1、word花了好長(zhǎng)好長(zhǎng)時(shí)間寫(xiě)的，請(qǐng)不要。知乎日?qǐng)?bào)已獲授權(quán)提問(wèn)簡(jiǎn)直坑爹。不講微積分怎么講麥克斯韋方程組？麥克斯韋方程組里面每個(gè)方程都是一個(gè)積分或者微分。既然這樣，我只能躲躲閃閃，不細(xì)談任何具體的推導(dǎo)和數(shù)學(xué)關(guān)系，純粹揮揮手扯扯淡地說(shuō)一說(shuō)電磁學(xué)里的概念和思想。知乎日?qǐng)?bào)注：雖然作者已經(jīng)很努力地用通俗的語(yǔ)言講解，下文仍含大量方程和公式，請(qǐng)理性選擇，按需閱讀 AA1. 力、能、場(chǎng)、勢(shì)經(jīng)典物理研究的一個(gè)重要對(duì)象就是力force。比如牛頓力學(xué)的核心就是F=m a這個(gè)公式，剩下的什么平拋圓周簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)都可以用這貨加上微積分推出來(lái)。但是力有一點(diǎn)不好，它是個(gè)向量vector 既有大小又有方向，所以即便是簡(jiǎn)單的受力分析，

2、想解出運(yùn)動(dòng)方程卻難得 要死。很多時(shí)候，從能量的角度出發(fā)反而問(wèn)題會(huì)變得簡(jiǎn)單很多。能量energy 說(shuō)到底就是力在空間上的積分能量 =功=力x距離，所以和力是有嚴(yán)密聯(lián)系的，而且能量是個(gè)標(biāo)量scalar，加減乘除十分方便。分析力學(xué)中的拉格朗日力學(xué)和哈密頓力學(xué)就繞開(kāi)了力，從能量 出發(fā)，算運(yùn)動(dòng)方程比牛頓力學(xué)要簡(jiǎn)便得多。在電磁學(xué)里，我們通過(guò)力定義出了場(chǎng)field的概念。我們注意到洛侖茲力總有著F=q( E+vXB)的形式，具體不談，單看這個(gè)公式就會(huì)發(fā)現(xiàn)力和電荷或電荷x速度程正比。那么我 們便可以刨去電荷或電荷x速度的局部，僅僅看剩下的這個(gè)“系數(shù)有著怎樣的動(dòng)力學(xué) 性質(zhì)。也就是說(shuō)，場(chǎng)是某種遍布在空間中的東西，

3、當(dāng)電荷置于場(chǎng)中時(shí)便會(huì)受力。具體到兩個(gè)電荷間的庫(kù)侖力的例子，就可以理解為一個(gè)電荷制造了電場(chǎng)，而另一個(gè)電荷在這個(gè)電場(chǎng)中受到了力，反之亦然。類(lèi)似地我們也可以對(duì)能量做一樣的事情，刨去能量中的電荷或電荷x速度，剩下的局部便是勢(shì)potential 一 X圖明確關(guān)系：積分力能II場(chǎng)v勢(shì)微分具體需要指出，這里的電場(chǎng)標(biāo)為E和磁場(chǎng)標(biāo)為 B都是向量場(chǎng)，也就是說(shuō)空間中每一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)向量。如果我們把xyz三個(gè)分量分開(kāi)來(lái)看的話，這就是三個(gè)標(biāo)量場(chǎng)。而能量和勢(shì)是標(biāo)量電磁學(xué)中的勢(shì)其實(shí)并不是標(biāo)量，原因馬上揭曉，放到空間中也就是一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)。在力/場(chǎng)和能量/勢(shì)之間互相轉(zhuǎn)化的時(shí)候， 我們是在31個(gè)標(biāo)量場(chǎng)之間轉(zhuǎn)化，必 然有一些信息

4、是丟掉了的。怎么辦？一個(gè)顯而易見(jiàn)的答案是 保守力場(chǎng)con servative force field。在這樣一個(gè)場(chǎng)中，能量做功不取決于你選擇什么樣的路徑。打個(gè)比方，你爬一座山，無(wú)論選擇什么路徑，只要起點(diǎn) 和終點(diǎn)一樣，那么垂直方向上的差異都是一樣的，做的功也一樣多。在這種情況下，我們對(duì)力場(chǎng)有了諸多限制，也就是說(shuō)，我假設(shè)知道了一個(gè)保守力場(chǎng)的x 一個(gè)分量，那么另兩個(gè)分量yz就隨之確定了，我沒(méi)得選自由度其實(shí)只有一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)。有了保守力場(chǎng)這樣的額外限制，向量場(chǎng)F3個(gè)標(biāo)量場(chǎng)和1個(gè)標(biāo)量場(chǎng) V之間的轉(zhuǎn)化便不會(huì)失去信息了。具體 而言，二者關(guān)系可以寫(xiě)作 F=- ?V。這里不說(shuō)具體細(xì)節(jié)，你只要知道？是一種固定的、把一

5、個(gè)標(biāo)量場(chǎng)變成三個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的算法就可以了叫做算符operator丨。那么我們想問(wèn)，電場(chǎng)和磁場(chǎng)是不是保守力場(chǎng)呢？很不幸，不是。在靜電學(xué)中，靜止的電場(chǎng)是保守的，但在電動(dòng)力學(xué)中，只要有變化的電場(chǎng)和磁場(chǎng)，電場(chǎng)就不是一個(gè)保守力場(chǎng)了；而磁場(chǎng)因?yàn)樗粡膩?lái)都不是保守力場(chǎng)。這也就是說(shuō)明，在電磁學(xué)中，我們很少涉與能量這個(gè)概念, 能完整地描述一個(gè)電磁場(chǎng)。我們更多時(shí)候只關(guān)注“場(chǎng)這個(gè)概念，盡管因此我們不得不涉足 很多向量微積分，但我們沒(méi)有方法，這是不讓信息丟掉的唯一方法。 那么，既然勢(shì)也是標(biāo)量,向量勢(shì)它是否也是一個(gè)沒(méi)什么用的概念呢？恰恰相反，在電動(dòng)力學(xué)中我們定義出了vector pote ntial，以保存額外的自由度。后

6、面我會(huì)更具體地談到這一點(diǎn)?？偠灾蚁胝f(shuō)明一點(diǎn)，那就是電磁學(xué)的主要研究對(duì)象是電場(chǎng)和磁場(chǎng)，而麥克斯韋方程組就是描述電場(chǎng)和磁場(chǎng)的方程。勢(shì) 包括電勢(shì)和磁向量勢(shì) 也是有用的概念， 而且不像引力勢(shì) 是一個(gè)標(biāo)量，在電磁學(xué)中勢(shì)不得不變成一個(gè)向量。2. 麥克斯韋方程組前邊說(shuō)到，麥克斯韋方程組 Maxwell equatio ns是描述電場(chǎng)和磁場(chǎng)的方程 。前邊也說(shuō)到，因?yàn)殡姶艌?chǎng)不是保守力場(chǎng)，它們有三個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的自由度，所以我們必須用向量微積分來(lái)描述 電磁場(chǎng)。因此，麥克斯韋方程組每個(gè)式子都出現(xiàn)了向量微積分，而整個(gè)方程組也有積分形式和微分形式 兩種。這兩種形式是完全等價(jià)的，只是兩種不同的寫(xiě)法。這里我先全部寫(xiě)出。積分

7、形式：(1-2)E * t/1 = - I B * rZa.3 / 19word# / 19wordi 1-3) (ft) B -= 0,# / 19word# / 19word微分形式:(2一2) VxE = -AD(2-3) V B = 0.7(2-4)可天 B = “oJ E.這里E表示電場(chǎng)，B表示磁場(chǎng)，& 0和卩0只是兩個(gè)常數(shù)暫時(shí)可以忽略。積分形式中Q是電荷，I是電流，V表示一塊體積，？ V表示它的外表，而 S表示一塊曲面，？ S表示它的 邊緣。微分形式中P是電荷密度電荷/體積，J是電流密度電流/面積，？ 和？ X是兩個(gè)不同的算符，根本可以理解為對(duì)向量的某種微分。先不說(shuō)任何細(xì)節(jié)，我們可

8、以觀察一下等式的左邊。四個(gè)方程中，兩個(gè)是關(guān)于電場(chǎng)E的，兩個(gè)是關(guān)于磁場(chǎng) B的；兩個(gè)是曲面積分 /da或者散度？ ，兩個(gè)是曲線積分 /dl或者旋度？ X。不要管這些術(shù)語(yǔ)都是什么意思，我后面會(huì)講到。但光看等式左邊，我們就能看出四個(gè)式 子分別描述電場(chǎng)和磁場(chǎng)的兩個(gè)東西，非常對(duì)稱。3. 電荷- 電場(chǎng)，電流- 磁場(chǎng)這一局部和下一局部中，我來(lái)簡(jiǎn)單講解四個(gè)式子分別代表什么意思，而不涉與任何定量和具體的計(jì)算。我們從兩個(gè)電荷之間的庫(kù)侖力講起。庫(kù)侖定律 Coulombs Law是電學(xué)中大家接觸到的最早的定律，有如下形式：3) F = r-其中Q是電荷，r是電荷之間的距離，r是表示方向的單位向量。像我之前說(shuō)的，把其中一

9、個(gè)電荷當(dāng)作來(lái)源，然后刨去另一個(gè)電荷，就可以得到電場(chǎng)的表達(dá)式。高中里應(yīng)該還學(xué)過(guò)安培定律Amperes Law ，也就是電流產(chǎn)生磁場(chǎng)的定律。雖然沒(méi)有學(xué)過(guò) 具體表達(dá)式，但我們已經(jīng)能看出它與庫(kù)侖定律之間的區(qū)別。庫(kù)侖定律描述了 “兩個(gè)微小來(lái)源電荷之間的“力，而安培定律是描述了“一個(gè)來(lái)源電流產(chǎn)生的“場(chǎng)。事實(shí)上，電磁學(xué)中也有磁場(chǎng)版本的庫(kù)侖定律，描述了兩個(gè)微小電流之間的力，叫做畢奧-薩伐爾定律Biot-Savart Law ;反之，也有電場(chǎng)版本的安培定律，描述了一個(gè)電荷產(chǎn)生的磁場(chǎng)，叫做高斯定律Gausss Law 。這四個(gè)定律之間有如下關(guān)系：電場(chǎng)磁場(chǎng)兩個(gè)微小來(lái)源之間的力庫(kù)侖定律畢奧-薩伐爾定律單個(gè)來(lái)源產(chǎn)生的場(chǎng)

10、高斯定律安培定律數(shù)學(xué)上可以證明庫(kù)侖定律畢奧-薩伐爾定律和高斯定律安培定律在靜電學(xué)靜磁學(xué)中是完全等價(jià)的，也就是說(shuō)我們可以任意假設(shè)一個(gè)定律，從而推導(dǎo)出另一個(gè)定律。然而如果我們想從靜止的靜電學(xué)和靜磁學(xué)推廣到電動(dòng)力學(xué)，前者是非常不便的而后者很卻容易，所以盡管庫(kù)侖定律在中學(xué)中常常提到，麥克斯韋方程組中卻沒(méi)有它，有的是高斯定律和安培定律。這兩個(gè)定律分別是麥克斯韋方程組里的(1)和(4)的第一項(xiàng)，即：高斯定律積分、微分形式：(4-1) (fb E 7a = .(4-2) V E = -印安培定律積分、微分形式：(5-1 0 B - tZl =(5-2) V x B =我們繼續(xù)推遲講解數(shù)學(xué)關(guān)系，單看這幾個(gè)式子本身，就能看到等式的左邊有電場(chǎng)E磁場(chǎng)B，而右邊有電荷 Q電流I丨或電荷密度p電流密度 J。看，電荷產(chǎn)生電場(chǎng)，電流產(chǎn)生磁 場(chǎng)！4. 變化磁場(chǎng)- 電場(chǎng)，變化磁場(chǎng)- 電場(chǎng)然而這不是故事的全部，因?yàn)槭聦?shí)上電磁場(chǎng)是可以互相轉(zhuǎn)化的。法拉第發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)，也就是說(shuō)變化的磁場(chǎng)是可以產(chǎn)生電場(chǎng)的，這就是 法拉第定律 Faradays Law 。類(lèi)似地，麥克 斯韋發(fā)現(xiàn)安培定律的描述并不完善，除了電流以外，變化的電場(chǎng)也可以產(chǎn)生磁場(chǎng)，這被稱為安培-麥克斯韋定律 Ampere-Maxwell Law。這兩個(gè)定律分別是麥克斯韋方程組里的和