42答案專題四數(shù)列2

1、專題四數(shù)列 （ 2）知識提要1. 若數(shù)列 %的通項(xiàng)公式弓滿足。 -an-i = f （），貝U 4=2. 若數(shù)列久2的通項(xiàng)公式勿滿足了=g （），則勿=U3. 自己歸納 求數(shù)列的通項(xiàng)公式、前 K項(xiàng)和的基本方法4. 自己歸納由遞推關(guān)系可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的問題的處理方法5. 單利問題和復(fù)利問題基礎(chǔ)訓(xùn)練1.若關(guān)于X的方程X2-x + a = 0Ax 2-x + b = O （ ,aAb）的四個(gè)根可組成首項(xiàng)為|的等 差數(shù)列，則 a+5=（）2. 現(xiàn)有 200 根相同的鋼管，把它們堆成正三角形垛，要使剩余的鋼管盡可能少，那么剩余鋼管的根數(shù)為（）A. 9 B. 10 C. 19 D. 293. 一

2、套共 7 冊的書計(jì)劃每2 年出一冊，若名冊書的出版年份之和為13979, 則出齊這套書的年份是A. 1997 B. 1999C. 2001D. 20034. Aan=-n2+10n+ll,則數(shù)列。帛從首項(xiàng)至U第 項(xiàng)的和最大5. 已知數(shù)列 a0 對任意的 p,q 頃 V* 滿足 ap+q=ap+aq 且（12=6,那么 a10=.6. 數(shù)列 1,2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5,的第 100 項(xiàng)是.7. 數(shù)歹的通項(xiàng)公式是 an=l-2nA 前 n 項(xiàng)和為 Sn,則數(shù)列學(xué)的前項(xiàng)和為 .8. 等比數(shù)列弱前n項(xiàng)的積為若a3a6a18是一個(gè)確定的常數(shù)，那么 數(shù)列Tio, T13,

3、 T17, T25中也是常數(shù)的項(xiàng)是三 .典型例題例1.已知數(shù)列 aj的通項(xiàng)公式an = 4 -25,求數(shù)列打的前項(xiàng)和7；。an = 4n - 25 > 0, n1 < n < 6, % v 0 Tn = 一(角 +a2 + . + an) = (49 一 4) 2n>7A0 Tn = 一(% +a2 + . + a6)+ (?7 + + an)=2n2 - 23 = 132,o 123 n例 2.求和：S,= + / + / + . + 萬解：Q)a = l 時(shí)，Sn =1 + 2 + . + n =3c 11 ? 1a2 a31 2_1_1_1_1_a2 a3 j_

4、J_2 13a aS 一 D aIs = a")s"=L+- a Jnann-1 nan an+1Jn,+i'a a1 an+1a(a" 1) nci 1)a” (a)2(a = 1)(a o 1)n(n +1)2綜上所述，11_a(ana” (a 1 屮例3.已知數(shù)列0對中，外=1,當(dāng)nN2時(shí)，其前n項(xiàng)和，滿足S,2=a,s n-| k 2(1) 求S”的表達(dá)式；(2) 設(shè)bn =,求bn的前n項(xiàng)和Tn?2 + 1 S,% Sn- a n =Sn - Sn_lf (w>2)S, (Snf)R ?2SzS n=Sz-Sn Si xsq式兩邊同除以SZ

5、 XSn,得=2、數(shù)列，！，是首項(xiàng)為=土=1,公差為2的等差數(shù)列 S J & a.=1+ 2(n-D =2n-l, S n =八S”n 2n-l(2) b ="2n + l (In- 1)(2 +1)V 22n In +1 ?Tn二山+6+九1=21 一丄、A 3丿( 1)U 5)(1 1 12/1 12/z +1 丿1n2( 2n + l J 2 + l例4.已知數(shù)列%J、如滿足：ai=2,bi=l,3 1 z an =八77-1 + 八77-1 + L(nN2).z 1 3 z |bn =八/i-l +An-I +1令Cn=an+bn,求數(shù)列C的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列 %

6、J 的通項(xiàng)公式及前 n 項(xiàng)和公式 s”.解：當(dāng)n22時(shí)4=%+ 如(3 1 )/1 3 )=U%T+N""T+1 +=%_1 + bn_i + 2C=J+Z CnCn-l= 2 ( 心 2)數(shù)列q為等差數(shù)列，首項(xiàng) =角+4 = 3,公差 "=2Cn=3+(n-Dx2 = 2n + l(2)當(dāng)n > 2時(shí)31an =八an-l + 彳如一 1 + 1<13bn = 一。" + 一 如+ 1 n 4 n I 4 n I1an-bn =-a n_x-bn_0 (n>2)?數(shù)列K -bn為等比數(shù)列，i 首項(xiàng)為a - b = 1,公比q =Q +

7、 力 =2 + 1vL1(n-i 2an = (2n + l)+I J( 1 ) 1a = n + + (Sn i + + 2 +?.+n + 2j2)2)(11 1 >+ + +? +u 22n )1 1土一)n(l + )n 2、2",=+ + § 2 2 1 122 1n= + 1例5.某國采用養(yǎng)老儲備金制度.公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲備金，數(shù)目為 ai,以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加d (d>0),因此，歷年所交納的儲備金數(shù)目31, 32,是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列.與此同時(shí)，國家給予優(yōu)惠的計(jì)息政策，不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利.這就是說，如果固定

8、年利率為r(r>0),那么，在第n年末，第一年所交納的儲備金就變?yōu)閍i(l+r)z,第二年所交納的儲備金就變?yōu)閍2(l+r) ” 2, 以Tn表示到第n年末所累計(jì)的儲備金總額(1) 寫岀Tn與TnT(nN2)的遞推關(guān)系式; 求證：Tn=An+Bn,其中 A, 2是一個(gè)等比數(shù)列， B, 2是一個(gè)等差數(shù)列(1)解我們有 T,=T, -i(l+r)+a,(n>2). 證明L=ai,對nN2反復(fù)使用上述關(guān)系式，得T,=T, i(l+r)+a,=Tn-2 (l+r)2+an-i(l+r)+an+a n-i (l+r)+an.=ai (l+r)n-1 +a2(l+r)n-2+在式兩端同乘 1+

9、r,得(l+r)Tn=ai(l+r)n+a2 (1+r) n-1+?+a-i (1+r) +a n(l+r).-,得rTn=ai(l+r) n+d (l+r) n-1+(l+r)n"2 +?+(l+r)卜an=(l+r)n-l-r +ai(l+r) n-an,即 L='T(l+r)r2-In- 色孝.r r如果記 A/Q(l+r)',B -心-n, r2r2 r則 T,=A,+B,其中A是以"(l+r)為首項(xiàng)，以1+r(r>0)為公比的等比數(shù)列；BJ是以-也攔-4為首項(xiàng)，旦r2r為公差的等差數(shù)列.四.課后練習(xí)2"5°1.已知數(shù)列電滿

10、足 +1 =二+ 2"+1 , "1 =2,求數(shù)列前的通項(xiàng)公式2* V勾+ i Ian+lJ Ja, a.an22242門+10/3 0/ 2an an-l11111 1以上（n-1）個(gè)式子相加得7 H H + . H -22 22=T1-22an =T-12. 已知數(shù)列 R的前 n 項(xiàng)和 Sn=an2+bn+c （n N*）,且 SI=3, S2=7, S313,(1) 求數(shù)列 aj的通項(xiàng)公式;求數(shù)列的前n項(xiàng)和L.anan+l Ja + b + c = 3,a = 1,解(1)由已知有V 4a + 2b + c = 7,解得< b = l,9a + 3b + c =

11、 13, c = l,所以 Sn=n2+n+l.當(dāng)nN2時(shí)，an=Sn-Sn-i=n2+n+1 - E (n-l) 2+(n-l) +1 =2n,所以an :3, n = 1,2n, n> 2.令 b,= ,_則 b1= = an ' an+lala2 12當(dāng) nN2 時(shí), bn 二2 ? 2( +1)所以b2+?14n-18( +8( + 1)E (nEN*).24( +nan+i=(n+2)S n (ngn*).1)3. 已知數(shù)列 aj的前n項(xiàng)和為Sn, 01=1,(1) 求證：數(shù)列.斗，為等比數(shù)列；(2) 求數(shù)列 a。的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和&；(3) 若數(shù)列 bj滿足

12、：饑=上，、=心A(作人)，求數(shù)列抵的通項(xiàng)公式2 n + 1n(1 )證明 將 an+l=SJ-Sn 代入已知 g+l 二(fl+2) Sn ；整理得&L=2X戔(nGN*). n + 1 n乂由已知斗=1,所以數(shù)列是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列q解 由的結(jié)論可得工=2辰,.? Sn=n? 2巳n當(dāng)n2時(shí)，an=Sn-Sn-i=n ? 2人'(nI) ? 2n-2 =2n-2 (n+1).由已知，ai=l,又當(dāng) n=l 時(shí)，2"(n+l)=l,? an 二(n+1) 2" (n UN*).解由墮=如+$ “(nGN*),得知_ =3l+2"T, n

13、+1 n n+1 n由此式可得/ =妃+2二n n-1-如-2 +2。-3n-1 n-2'冬二如+22T2 1把以上各等式相加得，虹=2n-2+2n-3+23-2 +22-2 +bi. nAbn=- (2-1) (nUN*).24. 已知Sn是數(shù)列 aj的前n項(xiàng)和，且 an=Sn-1+2 (n2), ai=2.(1) 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；(2) 設(shè)房二一,Tn=bn+l+bn+2+?+b 2n,是否存在最大的正整數(shù)k,使得對于任意10g2 an的正整數(shù)n,有Tn>A恒成立？若存在，求岀 k的值；若不存在，說明理山.12解(1)由已知an=Sn-l+2得an+i-Sn+2-，

14、得 an+l_an-Sn -Sn-l (fl 2 ),? ? an+i2an (nN2).又 ai=2, a2=a 】+2=4=2ai,? an+i 2an (n 1,2, 3, ?,)所以數(shù)列an是一個(gè)以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，.-©=2 - 2"1=21(2) bn 二=二一,10g2 an log2 2n T_, , L _ 1 1 1.? Tn bn+l+bn+2+ ?'?+b2n + +?+-,n + 1 n + 2 2nTn+l 二 bn+2+bn+3+ * * ' +b?(n+1)n + 2 +3 2n 2 + l 2n + 212n +

15、 l 2n + 22( + 1) + (2 + 1)-2(2 + 1)2(2-+1)( ” + 1)-2n + 1477(_l)n? (a/3n+21)=- bn.3 3又 2 a-18,所以 bi 二-(九+18) 乂 0. 由上式知 b,#0,所以也±_ =-2 (nGN*).如3故當(dāng)*18時(shí),數(shù)列 b f是以-("8)為首項(xiàng)，號為公比的等比數(shù)列bn 二一(九 +18) ?(3) 解 當(dāng) 2X8 時(shí)，由(2)得:3于是 Sn- ( A+18)n,都有 Sn>12.當(dāng)2 =-18時(shí)，bn=0,從而Sn=0,上式成立.要使對任意正整數(shù)3即一巳(4+18 ) - 15(

16、7 V爭 FI <1)-1-，則當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，lVf(n)W ;當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，-Af(n)<l, 9所以f(n)的最大值為千二33于是可得九 <20 x - 18二-6.綜上所述，存在實(shí)數(shù)/，使得對任意正整數(shù) n都有Sn>-12, 4的取值范圍 為(-8, -6).2(2 +1)( + 1)?n 是正整數(shù),.? Tn+i-Tn>0,即 T,+ i>T,.數(shù)列(T, 是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，又 T,=b2=-, .?.Tr,NL=L, 2 2要使 L> 恒成立，則有 -> ，即 k<6,12 2 12乂 k 是正整數(shù)，故存在最大正整數(shù) k=5 使 T,> 恒成立5. 已知數(shù)列 M和 6 滿足：ai=i, a n+i=|an+n-4, b n= (-1) (a n-3n+21), 其中人為實(shí)數(shù)， n 為正整數(shù) .(1)