知識點(diǎn)33圓的基本性質(zhì)2017(解答題)

1、三、解答題1., (2017四川成都，20, 10分)如圖，在 ABC中，AB AC,以AB為直徑作圓O,分別交BC于點(diǎn)D, 交CA的延長線于點(diǎn) E ,過點(diǎn)D作DH AC于點(diǎn)H ,連接DE交線段OA于點(diǎn)F .(1)求證：DH是圓。的切線；(2)若A為EH的中點(diǎn)，求-EF的值；FD(3)若EA EF 1 ,求e O的半徑.OD ,得證，或者思路分析：(1)連接OD,因?yàn)镈H AC于點(diǎn)H ,只需證明OD/AC,即可得到DH再連接AD,利用直徑所對的圓周角為直角，證明/(2)通過證明 AEFs ODF，可得到EFFDODA+ / ADH= 90°也可；AE AE，再利用OD是祥BC的中位線

2、，等腰4DEC的性質(zhì)，求出 ODAC的比值，進(jìn)而求得 空 的值；FD(3)由EA= EF, OD/ EC,可得ODF和4BDF都是等腰三角形，設(shè) e O半徑為r ,則DF= OD= r,所以BF= BD = DC= DE= DF+ EF= r+1, AF= ABBF= 2r(r+1)= r1.通過 BFDs EFA,即可求出 r.解：(1)連接OD ,. OB OD,， OBD是等腰三角形，OBD ODB ,又 AB AC，一 ABC ACB ，ODB OBD ACB , OD /AC , . DH AC, . DH OD , DH是e O的切線；(2)E B, E B C, . EDC是等腰

3、三角形，AC,點(diǎn)A是EH中點(diǎn)，設(shè)AEx, EC 4x ,貝U AC 3x,連接 AD ,由 ADB 900 ,即 AD BD ,又 ABC是等腰三角形，D是BC中點(diǎn),13 OD/-AC,OD -x, =22. OD/AC, E ODF,E ODFOD是ABC中位線,在AEF和ODF中,OFD AFEAEFs ODF.EF AE AE x 2 . EF 2 fd od,od 3- 3' TD 3 x2(3)設(shè)e O半徑為r ,即OD OB r, EF EA, EFA EAF ,又OD/EC, FOD EAF,則 FODEAF EFA OFD , ：. DF OD r ,DE DF EF

4、r 1, BD CD DE r 1, BDE EAB, BFD EFA EAB BDE , BF BD , BDF 是等腰三角形，BF BD 1 r , AF AB BF 2OB BF 2r 1 r r 1,在 BFD 與 EFA 中 BFD EFA，: BFDs EFA, B EEF BF 1 r 11；51.5 人 , ，解得r ,2 (舍)FA DF r 1 r22 .綜上，eO的半徑為5.22. （2017安徽中考20. 10分）如圖，在四邊形 ABCD中，AD= BC, / B= / D, AD不平彳T于BC,過點(diǎn)C作CE/ AD交 ABC的外接圓 O于點(diǎn)E,連接AE.（1）求證：四

5、邊形 AECD為平行四邊形；（2）連接 CO,求證：CO平分/ BCE思路分析：（1）由于CE/ AD,通過證AE/ DC得到四邊形 AECD為平行四邊形；（2）連接OB, OE,通過證 OCE OCB 得至ij/ ECO= / BCO,得證.解：（1）根據(jù)圓周角定理知/ E=/ B,又.一/ B=/ D,E=/D,又.AD/CE,，/D+/DCE= 180°,/ E+ / DCE= 180°,AE/ DC, 四邊形 AECD為平行四邊形.（2）連接 OE, OB,由（1）得四邊形 AECD為平行四邊形，AD= EC, = AD= BC,EC= BC, / OC= OC,O

6、B= OE, .OCE OCB (SSS, . / ECO= Z BCO,即 OC平分/ ECB3. （2017四川內(nèi)江，27, 12分）如圖，在。O中，直徑CD垂直于不過圓心 O的弦AB,垂足為點(diǎn)N,連接AC, 點(diǎn)E在AB上，且AE= CE（1）求證：AC2= AE - AB;（2）過點(diǎn)B作。的切線交EC的延長線于點(diǎn)P,試判斷PB與PE是否相等，并說明理由；（3）設(shè)。O半徑為4,點(diǎn)N為OC中點(diǎn)，點(diǎn)Q在。0上，求線段PQ的最小值.A思路分析：（1）要證AG=AEAB,可連接CB,通過證明 CAE-BAC即可；（2）先根據(jù)已知判斷出 PB與PE 可能相等，欲證明 PB= PE,可通過證明/ PB

7、E= / PEB即可；（3）根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可得當(dāng) Q運(yùn)動到 PO與。O的交點(diǎn)時，線段 PQ能取得最小值，再根據(jù)勾股定理等知識點(diǎn)可求得其最小值.解：（1）如圖，連接 BC, CD，AB,CB= CA,/ CAB= / CBA.又 AE= CE,/ CAE= / ACE ./ ACE=Z ABC. / CAE=/BAC, CAES BAC.ACABAEc _,即 AC2 = AE- AB.AC(2) PB= PE理由如下：如圖，連接 BC, BD, OB. CD是直徑， ./ CBD=90° .BP 是。O 的切線，/ OBP= 90° . ./ BCD+/D=/P

8、BG/OBC= 90° . . OB=OC, Z OBC= / OCB. ./ PBC= / D. . / A=Z D, .PBC= / A. / ACE= / ABC, . /PEB= /A+/ACE / PBN= /PBG/ABC, ./ PEB= / PBN.PE= PB.（3）如圖，連接 PO交。O于點(diǎn)Q,則此時線段PQ有最小值.N 是 OC的中點(diǎn)，ON=2. OB=4, . OBN= 30° , .PBE= 60°PE= PB,. PEN是等邊三角形. ./ PEB= 60° , PB= BE.22 =2<3 .在 rbon中，bn= J

9、ob2on2 =J42.CN 22在 RtCEN 中，EN= = 一= - Mtan 6033BE= BN+EN= 843 .38 PB= BE=3 .3o oo 8 4. .PQ=PO OQ= OB2 PB2 OQ . 42 ( 3)2 4.21 4.4. (2017山東臨沂，23, 9分)如圖,BAC的平分線交VABC的外接圓于點(diǎn) D, ABC的平分線交 AD于點(diǎn)E.(1)求證：DE DB ;(2)若/ BAC= 90°, BD= 4,求那BC的外接圓半徑思路分析：(1)利用角平分線的定義和圓周角的性質(zhì)通過判定/EBD- /BED,得出結(jié)論；(2)根據(jù)等弧得出 CD的長，根據(jù)/

10、BAC= 90°得出BC為直徑，進(jìn)而利用勾股定理求得 BC的長度，進(jìn)而得出那BC 外接圓半徑的長度.證明：連接BD, CD. AD 平分/ BAC ./ BAD= / CAD又. / CBD= / CAD ./ BAD= / CBD BE平分/ ABC ./ CBE= / ABE/ DBE= / CBE+ / CBD= / ABE+ / BAD又. / BED= / ABE+ / BAD ./ DBE= / BEDBD= DE. / BAC= 90°BC是直徑BDC= 90°. AD 平分/ BAC, BD= 4BD= CD= 4BC= VBD2+CD2 =4V2

11、半徑為225.23. （2017四川德陽，23, 11分）如圖，已知 AB、CD為。的兩條直徑，DF為切線，過 AO上一點(diǎn)N作NM，DF于M,連接DN并延長交。于點(diǎn)E,連接CE(1)求證： DMNA CED（2）設(shè)G為點(diǎn)E關(guān)于AB的對稱點(diǎn)，連接 GD GN,如果/DNO = 45° ,。的半徑為3,求DN2 GN2的值.思路分析：圓中直徑和圓周角，垂徑定理，勾股定理，三角形相似綜合題.（1）證明兩組角相等即可（2）構(gòu)建等腰直角 HNO.由勾股定理求解.解：(1) . DF 為。的切線，D0± DF.又 NMLDF, . NM/ DO,，/MND = /NDC, CD 為。的

12、直 徑，CED= 90° ,而/ NMD = 90° ,DMNA CED(2) G, E關(guān)于AB對稱，. GN= EN,，DN 2 GN 2 DN 2 NE2 ,過O作OH垂直DE于點(diǎn)H,則由垂徑 定理可得：HD=HE,由/ DNO= 45° ,可得 NHO為等腰直角三角形，設(shè) NH= OH= M , NE= N,貝U HD= HE= M+N,在 RM HDO 中，(m n)2 m2 9 , . DN2 GN2 (2m n)2 m222DN2 GN2 29186. (2017江蘇蘇州，27, 10分)如圖，已知 ABC內(nèi)接于e O, AB是直徑，點(diǎn) D在e O上，

13、OD/ BC,過點(diǎn)D 作DEL AB,垂足為E,連接CD交OE邊于點(diǎn)F.(1)求證： DOK ABC;(2)求證：/ ODF=/BDE;S 2(3)連接OC,設(shè) DOE的面積為S,四邊形BCOD的面積為S2,若* 求sinA的值.S27fW 27 If)思路分析：（1）利用兩角對應(yīng)相等，證明兩三角形相似；（2）相似三角形對應(yīng)角相等，同弧所對的圓周角相等；（3）轉(zhuǎn)化角度，放在直角三角形 ODE中，即可求/ A的正弦值.解：（1） Q AB是。O的直徑,ACB 90OQDE AB, DEO 90ODEO ACBQOD/BC, DOEDOE s ABC .(2) QDOEsABCODEA.Q A 和

14、BDC是Bc所對的圓周角,BDC,ODEBDC.ODFBDE .(3) QDOEsABC,DOES ABCODAB即 S ABC4s DOE4S1 ,QOAOBS BOCSABC即 S BOC2Si.QS27 , S2S BOCSDOBDBE 2s S S DBES DBE即OE2s3OB1-BE -OE ,22 ,-OD, sin A sin ODE 3,OE 2OD 37. 21. (2017湖北宜昌)(本小題滿分8分)已知，四邊形 ABCD中，E是對角線AC上一點(diǎn)，ED=EC ,以AE為 直徑的OO與邊CD相切于D, B點(diǎn)在OO上，連接OB.(1)求證：DE=OE ;(2)若AB/ CD

15、,求證：四邊形 ABCD是菱形.思路分析：(1)利用切線的性質(zhì)構(gòu)建直角三角形，進(jìn)而運(yùn)用等角的余角相等求證相等的邊;(2)先證一組對邊相等，借助平行得到平行四邊形，再根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形求證解：(1)證明：連接OD,.CD是。O 的切線，OD± CD .2+/3=/ 1 + /COD=90°又 DE=EC / 2=/ 1 ,，/3=/COD,DE=EO(2) OD=OEOD=ED=OE ./ 3=ZCOD=ZDEO=60° / 2=/ 1=30°, ,. OA=OB=OE 而 OE=DE=ECOA=OB=DE=EC又 AB/ CD,Z 4= Z

16、12=Z 1=/4=/OBA=30 . ABO。 CDEAB=CD四邊形ABCD是平行四邊形/ DAE= 1 / DOE=3021 = / DAECD=AD四邊形ABCD是菱形.8. (2017 湖南株洲，25, 12分)如圖，AB為。的一條弦，點(diǎn)C是劣弧AB的中點(diǎn)，E是優(yōu)弧AB上一點(diǎn)，點(diǎn) F在AE的延長線上，且 BE= EF,線段CE交弦AB于點(diǎn)D.(1)求證：CE/ BF;(2)若線段BD的長為2,且EA： EB： EC= 3 ： 1 ： 75 ,求 BCD的面積.(注：根據(jù)圓的對稱性可知 OC，AB)解：(1) C為溫的中點(diǎn)，1 = /3, BE= EF,/ F= / 4,/ F+ /

17、4+/ BEF= / 1 + Z 3+BEF= 180° , /1 = /3, /F= /4,Z 1 = / F,CE/ BF;(2) / 1 = / CBA Z 1 = 7 3, .3 = / CBA,.CBgACEE .里=也，即空=更，CE BE BD BEBD= 2, CE： BE=/：1,CB-= J5,即 CB= 2遙.21 = / 3, Z 2=Z C, .ADEsACBEL,. AD = AE ,3 一,即 AD= 6,5CB CECB= 2 J5 , AE： CE= 3 ： 回 -AD2,5 . AB=AD+ BD= 8. c為AB的中點(diǎn)， OCX AM, .BM=

18、1ab=42， RtACMB, / CMB= 90° , C= 2,5, BM=4,CM= 2,-11、， SkbcBD - CM= - X 2 X 2= 2.9.13. (2017安徽中考5分)如圖，已知等邊 那BC的邊長為6,以AB為直徑的。O與邊AC, BC分別交于D, E兩點(diǎn)，則劣弧 De錯誤！未定義書簽。的長為答案:解析：連接OD, OE,易證 ODE是等邊三角形，/ DOE= 60。，又OD=3AB=3,根據(jù)弧長公式劣弧 De錯2誤!未定義書簽。的長為60一318010. 20. (2017安徽中考10分)如圖，在四邊形 ABCD中，AD= BC, /B=/D, AD不平

19、行于BC，過點(diǎn)C作CE/AD交祥BC的外接圓。于點(diǎn)E,連接 AE.(1)求證：四邊形 AECD為平行四邊形；(2)連接 CO,求證：CO平分/ BCE思路分析：（1）由于CE/ AD,通過證AE/ DC得到四邊形 AECD為平行四邊形；（2）連接OB, OE,通過證 OC白 OCB得至ij/ ECO= / BCO,得證.解：(1)根據(jù)圓周角定理知/ E=/ B,又.一/ B=/ D,E=/D,又.AD/CE,，/D+/DCE= 180°,/ E+ Z DCE= 180°, AE/ DC, 四邊形 AECD為平行四邊形.(2)連接OE,OB,由(1)得四邊形 AECD為平行四

20、邊形，AD= EC,= AD= BC,.EC= BC,/OC= OC,OB= OE, .OCE OCB (SSS, . / ECO= Z BCO,即 OC平分/ ECB11. 23. (2017 寧夏，9 分)將一副三角板 RtA ABD與 RtAC目其中 / ABD=90°，/D=60°，/ACB=90°，/ABC=45° )如圖擺放，RtABD中/D所對直角邊與 RtACB斜邊恰好重合.以 AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn) C,且與AD相交于點(diǎn)E,分別連接EB, EC.（1）求證：EC平分/ AEB;(2)求SVACE的值. SVBEC思路分析：（1）在等腰直角

21、三角形 ABC中，易知AOBC;在圓中，利用圓心角定理和圓周角定理得出“在同圓中，相等的弦所對的圓周角相等”，故可以推得“/ AEG/BEC; （2）根據(jù)“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等“，4ACE與 BEC的面積比值問題可以轉(zhuǎn)化成AE與BE的兩底邊之比；另一方面，在R4AEB中，利用特殊角/ EAB是30°,它的正切函數(shù)值 而得出BE與AE的比值.3(1)證明： /ACB=90°, Z ABC=45°, 4ACB是等腰直角三角形,AC=BC / AEC=Z BEC,EC平分/ AEB,得證；(2)解： 如圖所示，作 CMXAE, CN± BE,垂足分

22、別為點(diǎn) M,點(diǎn)N, /ACB=90°,AB是直徑，/AEB=90°,即 EB± AD;在 R4ADB 中，/ ABD=90 °, / D=60 °,Z DAB=30 °,在 RAEB 中，/ AEB=90 °, / DAB=30 °,EB .3tan Z DAB=tan30 = ,AE 3 EC 平分/ AEB,又 CM LEA, CNI± EB,CM=CN,1 八AE MC 匚9,3Wace2 AESVBEC1BE CN BE212. (2017四川涼山，25, 5分)如右圖，已知四邊形 ABCD內(nèi)接于

23、半徑為4的eO中，且 C 2 A,則 BD _.D （第25題圖）【答案】4 . 3【解析】連接 OD、OB,過點(diǎn)O作OFBD,垂足為F,，DF= BF, / DOF= / BOF,二四邊形 ABCD內(nèi)接于。O,/A+/C= 180° , ./C=2/A, .-/ A= 60° , / BOD= 120° , / BOF= 60° , OB= 4, ，BF= OB - sin/BOF= 4Xsin60° = 2 雜，BD= 2BF= 4、/3 .也可以用正弦定理得到：四邊形ABCD內(nèi)接于。O,A+/C= 180° , 1. / C=2

24、/A, . /A=60°BD= 2Rsin60° = 4 313. (2017廣西百色，25, 10分)已知ABC的內(nèi)切圓。與A® BC AC分別相切于點(diǎn) D、E、F,若Ef = De ,如題1(1)判斷4ABC的形狀，并證明你的結(jié)論；(2)設(shè)AE與DF相較于點(diǎn)M,如圖2, AF=2FC=4求AM的長.【解析】(1)等腰三角形.證明：.AC AB> BC是切線，AF=AD, CF=CE BE=BD, / CFO=Z CEO=90.°連接 CO, BO,則 CFe ACEQ/ COF=Z COE同理 / BOE之 BOD,弧 EF哪 DE,/ EOF

25、=/ EOD,/ COE=Z BOE,又/COE=/ BOE, OE=OEACOE BOE,CE=BE CF=CE BE=BDCF=BQ AF=AD, AC=AB,即 ABC是等腰三角形.(2)AC=AD, CE=BEAE± BC, /FAO=/ DAO, AF=AD,. FM=DM, FMXDM,. AE過圓心 O, DF/ BC,6=DF: 4,. AF: AC=DF: BC,即 4:DF=8 ,3FM=4 ,3 AM AF2 FM 214. 21. （2017年武漢，21, 8分）（本題8分）如圖， ABC內(nèi)接于。O, AB= AC, CO的延長線交 AB于點(diǎn)D. （1）求證：

26、AO平分/ BAC;（2）若 BC= 6, sin/BAC= 3 ,求 AC和 CD 的長.5思路分析：（1）根據(jù)等腰三角形和圓的對稱性，這里證明手段比較多， 比如連接OB,構(gòu)造三角形全等；（2）由sin/BAC= sin/COH= 3,可考慮延長 AO構(gòu)造直角三角形，結(jié)合三角函數(shù)及勾股定理OG AC的長，進(jìn)而過5D作AO垂線利用三角形相似或三角函數(shù)值求出OD的長即可.(1)證明：連接 OB,.”。二人。，B0= CO, AB= AC.AOBZ AOC, ./ BAO= / CAO),即 AO 平分/ BAC(2):如圖，過點(diǎn) D作DK,AO于K.由(1)知 AO>± BC,

27、OB=OC, BC= 6BH = CH= - BC= 3, Z COH= - / BOC,22/ BAC= 1 / BOC, / COk / BAC2在 RtCOH 中，/ OHC= 90°HC 3,sin/COH= = _, . CH= 3,4 , ，AH=AO+ OH=4+5=9,.CO= AO=5，CH= 3, OH3tan / COH= tan / DOK= 4在 RtAACH 中，/ AHC= 90° ,AH = 9, CH= 3，tan/CAH=CH 1AH 3,A C 310 由(1)知/ COH= / BOH,DK= 3a,1tan / BAH= tan /

28、 CAH= 一 設(shè)3,1在 RtA ADK 中 tan / BAH= -3在 RtA DOK 中 tan / DOK=OK= 4a,. .a=包, 13AC = 3 v10DO=5a, AK= 9aDO= 5a =,CD= 9013A0= OK+ AK= 13a=5CD=OC+ OD=5+ H15.（2017貴州六盤水,25, 10分）如圖,MN是。的直徑，MN=4,點(diǎn) A 在 OO ±, /AMN = 30° , B/An的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動點(diǎn).（1）利用尺規(guī)作圖，確定當(dāng) PA+ PB最小時P點(diǎn)的位置（不寫作法，但要彳留作圖痕跡 ）.思路分析：（1）畫出點(diǎn)A關(guān)于MN的對稱點(diǎn)A',連接A' B,與MN的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.(2)利用/ AMN = 30°得/ AON=Z A' ON = 6