高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)常考題型歸納

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)(理科)?？碱}型歸納題型一:常見概率模型的概率幾何概型、古典概型、相互獨(dú)立事件與互斥事件的概率、條件概率是高考的熱點(diǎn)，幾何概型主要以客觀題考查，求解的關(guān)鍵在于找準(zhǔn)測度(面積，體積或長度)；相互獨(dú)立事件，互斥事件常作為解答題的一問考查，也是進(jìn)一步求分布列，期望與方差的基礎(chǔ)，求解該類問題要正確理解題意，準(zhǔn)確判定概率模型，恰當(dāng)選擇概率公式.【例1】現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇.為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙游戲.(1)

2、求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；(2)求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；(3)用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記|XY|，求隨機(jī)變量的分布列.解依題意，這4個人中，每個人去參加甲游戲的概率為，去參加乙游戲的概率為.設(shè)“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件Ai(i0，1，2，3，4).則P(Ai)C.(1)這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率P(A2)C.(2)設(shè)“這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B，則BA3A4，且A3與A4互斥，P(B)P(A3A4)P(A3)P(A4)C×C.(3)依題設(shè)，的所有可能取

3、值為0，2，4.且A1與A3互斥，A0與A4互斥.則P(0)P(A2)，P(2)P(A1A3)P(A1)P(A3)C·C×，P(4)P(A0A4)P(A0)P(A4)CC.所以的分布列是024P【類題通法】(1)本題4個人中參加甲游戲的人數(shù)服從二項(xiàng)分布，由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，4人中恰有i人參加甲游戲的概率PC，這是本題求解的關(guān)鍵.(2)解題中常見的錯誤是不能分清事件間的關(guān)系，選錯概率模型，特別是在第(3)問中，不能把0，2，4的事件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的互斥事件Ai的概率和.【變式訓(xùn)練】甲、乙兩班進(jìn)行消防安全知識競賽，每班出3人組成甲乙兩支代表隊(duì)，首輪比賽每人一道必答題，答對則為本隊(duì)得1分

4、，答錯或不答都得0分，已知甲隊(duì)3人每人答對的概率分別為，乙隊(duì)每人答對的概率都是，設(shè)每人回答正確與否相互之間沒有影響，用表示甲隊(duì)總得分.(1)求2的概率；(2)求在甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4的條件下，甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高的概率.解(1)2，則甲隊(duì)有兩人答對，一人答錯，故P(2)××××××；(2)設(shè)甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4為事件A，甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高為事件B.設(shè)乙隊(duì)得分為，則B.P(1)××××××，P(3)××，P(1)C··，P(2)C·

5、;·，P(3)C，P(A)P(1)P(3)P(2)P(2)P(3)·P(1)×××，P(AB)P(3)·P(1)×，所求概率為P(B|A).題型二:離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差及應(yīng)用是數(shù)學(xué)高考的一大熱點(diǎn)，每年均有解答題的考查，屬于中檔題.復(fù)習(xí)中應(yīng)強(qiáng)化應(yīng)用題目的理解與掌握，弄清隨機(jī)變量的所有取值是正確列隨機(jī)變量分布列和求均值與方差的關(guān)鍵，對概率模型的確定與轉(zhuǎn)化是解題的基礎(chǔ)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的核心，在備考中強(qiáng)化解答題的規(guī)范性訓(xùn)練.【例2】甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，

6、若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率；(2)記X為比賽決出勝負(fù)時的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).解用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”，則P(Ak)，P(Bk)，k1，2，3，4，5.(1)P(A)P(A1A2)P(B1A2A3)P(A1B2A3A4)P(A1)P(A2)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)·P(A3)P(A4)×××.(2)X的可能取值

7、為2，3，4，5.P(X2)P(A1A2)P(B1B2)P(A1)P(A2)P(B1)·P(B2)，P(X3)P(B1A2A3)P(A1B2B3)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(B3)，P(X4)P(A1B2A3A4)P(B1A2B3B4)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)，P(X5)1P(X2)P(X3)P(X4).故X的分布列為X2345PE(X)2×3×4×5×.【類題通法】求離散型隨機(jī)變量的均值和方差問題的一般步驟第一步：確定隨機(jī)變量的所有可能值；第二步：求每一個可能值

8、所對應(yīng)的概率；第三步：列出離散型隨機(jī)變量的分布列；第四步：求均值和方差；第五步：反思回顧.查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯點(diǎn)和答題規(guī)范.【變式訓(xùn)練】為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1 000位顧客進(jìn)行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標(biāo)的面值為50元，其余3個均為10元.求：顧客所獲的獎勵額為60元的概率；顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)商場對獎勵總額的預(yù)算是60 000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧

9、客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設(shè)計(jì)，并說明理由.解(1)設(shè)顧客所獲的獎勵額為X.依題意，得P(X60)，即顧客所獲的獎勵額為60元的概率為.依題意，得X的所有可能取值為20，60.P(X60)，P(X20)，即X的分布列為X2060P所以顧客所獲的獎勵額的數(shù)學(xué)期望為E(X)20×60×40(元).(2)根據(jù)商場的預(yù)算，每個顧客的平均獎勵額為60元.所以，先尋找期望為60元的可能方案.對于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇(10，10，10，50)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最大值，所以期望不可

10、能為60元；如果選擇(50，50，50，10)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最小值，所以期望也不可能為60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，記為方案1.對于面值由20元和40元組成的情況，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，記為方案2.以下是對兩個方案的分析：對于方案1，即方案(10，10，50，50)，設(shè)顧客所獲的獎勵額為X1，則X1的分布列為X12060100PX1的數(shù)學(xué)期望為E(X1)20×60×100×60(元)，X1的方差為D(X1)(2060)2×

11、(6060)2×(10060)2×.對于方案2，即方案(20，20，40，40)，設(shè)顧客所獲的獎勵額為X2，則X2的分布列為X2406080PX2的數(shù)學(xué)期望為E(X2)40×60×80×60(元)，X2的方差為D(X2)(4060)2×(6060)2×(8060)2×.由于兩種方案的獎勵額的數(shù)學(xué)期望都符合要求，但方案2獎勵額的方差比方案1的小，所以應(yīng)該選擇方案2.題型三:概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用概率與統(tǒng)計(jì)作為考查考生應(yīng)用意識的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點(diǎn)和熱點(diǎn).主要依托點(diǎn)是統(tǒng)計(jì)圖表，正確認(rèn)識和使用這些圖表是解決

12、問題的關(guān)鍵.復(fù)習(xí)時要在這些圖表上下工夫，把這些統(tǒng)計(jì)圖表的含義弄清楚，在此基礎(chǔ)上掌握好樣本特征數(shù)的計(jì)數(shù)方法、各類概率的計(jì)算方法及數(shù)學(xué)均值與方差的運(yùn)算.【例3】2018年6月14日至7月15日，第21屆世界杯足球賽將于俄羅斯舉行，某大學(xué)為世界杯組委會招收志愿者，被招收的志愿者需參加筆試和面試，把參加筆試的40名大學(xué)生的成績分組：第1組75，80)，第2組80，85)，第3組85，90)，第4組90，95)，第5組95，100，得到的頻率分布直方圖如圖所示：(1)分別求出成績在第3，4，5組的人數(shù)；(2)現(xiàn)決定在筆試成績較高的第3，4，5組中用分層抽樣抽取6人進(jìn)行面試.已知甲和乙的成績均在第3組，求

13、甲或乙進(jìn)入面試的概率；若從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受考官D的面試，設(shè)第4組中有X名學(xué)生被考官D面試，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解(1)由頻率分布直方圖知：第3組的人數(shù)為5××4012.第4組的人數(shù)為5××408.第5組的人數(shù)為5××404.(2)利用分層抽樣，在第3組，第4組，第5組中分別抽取3人，2人，1人.設(shè)“甲或乙進(jìn)入第二輪面試”為事件A，則P(A)1，所以甲或乙進(jìn)入第二輪面試的概率為.X的所有可能取值為0，1，2，P(X0)，P(X1)，P(X2).所以X的分布列為X012PE(X)0×1×2×

14、;.【類題通法】本題將傳統(tǒng)的頻率分布直方圖與分布列、數(shù)學(xué)期望相結(jié)合，立意新穎、構(gòu)思巧妙.求解離散型隨機(jī)變量的期望與頻率分布直方圖交匯題的“兩步曲”：一是看圖說話，即看懂頻率分布直方圖中每一個小矩形面積表示這一組的頻率；二是活用公式，本題中X服從超幾何分布.【變式訓(xùn)練】某公司為了解用戶對某產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下：A地區(qū)：62738192958574645376 78869566977888827689B地區(qū)：73836251914653736482 93486581745654766579(1)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖

15、葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可)；(2)根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個等級：滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意記事件C：“A地區(qū)用戶的滿意度等級高于B地區(qū)用戶的滿意度等級”.假設(shè)兩地區(qū)用戶的評價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求C的概率.解(1)兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖如下通過莖葉圖可以看出，A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值；A地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，B地區(qū)用戶滿意度評分比較分散.(2)記CA1表示事件：

16、“A地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意或非常滿意”；CA2表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為非常滿意”；CB1表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”；CB2表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意”，則CA1與CB1獨(dú)立，CA2與CB2獨(dú)立，CB1與CB2互斥，CCB1CA1CB2CA2.P(C)P(CB1CA1CB2CA2)P(CB1CA1)P(CB2CA2)P(CB1)P(CA1)P(CB2)P(CA2).由所給數(shù)據(jù)得CA1，CA2，CB1，CB2發(fā)生的頻率分別為，即P(CA1)，P(CA2)，P(CB1)，P(CB2)，故P(C)××.題型四:統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例能根據(jù)給出

17、的線性回歸方程系數(shù)公式求線性回歸方程，了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、方法，在選擇或填空題中常涉及頻率分布直方圖、莖葉圖及樣本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、方差)的考查，解答題中也有所考查.【例4】從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲蓄yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得xi80，yi20，xiyi184，x720.(1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程x；(2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測該家庭的月儲蓄.附：線性回歸方程x中，y ，其中，為樣本平均值.解(1)由題意知n10，xi8，yi2，又lxxxn 27

18、2010×8280，lxyxiyin18410×8×224，由此得，y2×8，故所求線性回歸方程為.(2)由于變量y的值隨x值的增加而增加(>0)，故x與y之間是正相關(guān).(3)將x7代入回歸方程可以預(yù)測該家庭的月儲蓄為×7(千元).【類題通法】(1)分析兩個變量的線性相關(guān)性，可通過計(jì)算相關(guān)系數(shù)r來確定，r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，r的絕對值越接近于0，表明兩變量線性相關(guān)性越弱.(2)求線性回歸方程的關(guān)鍵是正確運(yùn)用，的公式進(jìn)行準(zhǔn)確的計(jì)算.【變式訓(xùn)練】4月23日是“世界讀書日”，某中學(xué)在此期間開展了一系列的讀書教育活動.為了解本校學(xué)生課外閱讀情況，學(xué)校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生對其課外閱讀時間進(jìn)行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均課外閱讀時間(單位：分鐘)的頻率分布直方圖.若將日均課外閱讀時間不低于60分鐘的學(xué)生稱為“讀書迷”，低于60分鐘的學(xué)生稱為“非讀書迷”.(1)根據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99%的把握認(rèn)為“讀書迷”與性別有關(guān)？非讀書迷讀書迷總計(jì)男15女45總計(jì)(2)將