曲線經(jīng)典例題

1、例1 已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為（0，2）求的值例2 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例3 的底邊，和兩邊上中線長(zhǎng)之和為30，求此三角形重心的軌跡和頂點(diǎn)的軌跡例4 已知點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為和，過(guò)點(diǎn)作焦點(diǎn)所在軸的垂線，它恰好過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓方程例5 已知橢圓方程，長(zhǎng)軸端點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，是橢圓上一點(diǎn)，求：的面積（用、表示）例6 已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程例7 已知橢圓，（1）求過(guò)點(diǎn)且被平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；（3）過(guò)引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；（4）橢圓上有兩點(diǎn)

2、、，為原點(diǎn)，且有直線、斜率滿足，求線段中點(diǎn)的軌跡方程 例8 已知橢圓及直線（1）當(dāng)為何值時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn)？（2）若直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程例9 以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，過(guò)直線上一點(diǎn)作橢圓，要使所作橢圓的長(zhǎng)軸最短，點(diǎn)應(yīng)在何處？并求出此時(shí)的橢圓方程例10 已知方程表示橢圓，求的取值范圍例11 已知表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求的取值范圍例12求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)的橢圓方程例13 知圓，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)向軸作垂線段，求線段中點(diǎn)的軌跡例14 已知長(zhǎng)軸為12，短軸長(zhǎng)為6，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，過(guò)它對(duì)的左焦點(diǎn)作傾斜解為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)例15橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為

3、2，為的中點(diǎn)，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的值為A4B2 C8 D例16 已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對(duì)于直線，橢圓上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱例17 在面積為1的中，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出以、為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的橢圓方程例18 已知是直線被橢圓所截得的線段的中點(diǎn)，求直線的方程【例1】若橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，P是兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則|PF1|·|PF2|的值是 （ ）A. B. C. D. 【例2】已知雙曲線與點(diǎn)M（5，3），F(xiàn)為右焦點(diǎn)，若雙曲線上有一點(diǎn)P，使最小，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2）漸近線雙曲線與直線相約天涯對(duì)于二次曲線，漸近線為雙曲線所獨(dú)有. 雙曲線的許多特性圍繞著漸近線而展開

4、.雙曲線的左、右兩支都無(wú)限接近其漸近線而又不能與其相交，這一特有的幾何性質(zhì)不僅很好地界定了雙曲線的范圍.由于處理直線問(wèn)題比處理曲線問(wèn)題容易得多，所以這一性質(zhì)被廣泛應(yīng)用于有關(guān)解題之中.【例3】過(guò)點(diǎn)（1，3）且漸近線為的雙曲線方程是（3）共軛雙曲線 虛、實(shí)易位的孿生弟兄將雙曲線的實(shí)、虛軸互易，所得雙曲線方程為：.這兩個(gè)雙曲線就是互相共軛的雙曲線.它們有相同的焦距而焦點(diǎn)的位置不同；它們又有共同的漸近線而為漸近線所界定的范圍不一樣；它們的許多奇妙性質(zhì)在解題中都有廣泛的應(yīng)用.【例4】?jī)晒曹楇p曲線的離心率分別為，證明：=1.（4）等軸雙曲線和諧對(duì)稱 與圓同美實(shí)、虛軸相等的雙曲線稱為等軸雙曲線，等軸雙曲線的

5、對(duì)稱性可以與圓為伴.【例5】設(shè)CD是等軸雙曲線的平行于實(shí)軸的任一弦，求證它的兩端點(diǎn)與實(shí)軸任一頂點(diǎn)的連線成直角. 通法 特法 妙法（1）方程法為解析幾何正名解析法的指導(dǎo)思想是函數(shù)方程思想，其主要手段是列、解方程、方程組或不等式.【例6】如圖，和分別是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（ ）（A） （B） （C） （D）（2）轉(zhuǎn)換法為解題化歸立意【例7】直線過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，斜率k=2.若與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)分別在左右兩支上，則雙曲線的離心率e的范圍是 （ ） A.e> B.1<e< C.1<e< D

6、.e>（3）幾何法使數(shù)形結(jié)合帶上靈性【例8】設(shè)為雙曲線上的一點(diǎn)，是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則的面積為（ ）A B C. D（4）設(shè)而不求與借舟棄舟同理減少解析幾何計(jì)算量的有效方法之一便是設(shè)而不求.請(qǐng)看下例：【例9】雙曲線的一弦中點(diǎn)為（2，1），則此弦所在的直線方程為 （ ）A. B. C. D. 【例10】在雙曲線上，是否存在被點(diǎn)M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直線方程；如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（5）設(shè)參消參換元自如 地闊天寬一道難度較大的解析幾何綜合題，往往牽涉到多個(gè)變量.要從中理出頭緒，不能不恰當(dāng)?shù)靥幚砟切┓侵饕淖兞?，這就要用到參數(shù)法，先設(shè)參，再消參.【例11】如圖，點(diǎn)為雙

7、曲線的左焦點(diǎn)，左準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)P是上的一點(diǎn)，已知，且線段PF的中點(diǎn)在雙曲線的左支上.（）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的左右兩支分別交于、兩點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，求直線的斜率的取值范圍. 雙曲線1已知中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)A1、A2在x軸上，離心率e=的雙曲線過(guò)點(diǎn)P(6，6) (1)求雙曲線方程 (2)動(dòng)直線l經(jīng)過(guò)A1PA2的重心G，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)M、N，問(wèn) 是否存在直線l,使G平分線段MN，證明你的結(jié)論 l 2已知雙曲線,問(wèn)過(guò)點(diǎn)A（1，1）能否作直線,使與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，并且A為線段PQ的中點(diǎn)？若存在，求出直線的方程，若不存在，說(shuō)明理由。3已知點(diǎn)N（1，2），過(guò)點(diǎn)N的直線交雙

8、曲線于A、B兩點(diǎn)，且（1）求直線AB的方程；（2）若過(guò)N的直線l交雙曲線于C、D兩點(diǎn)，且，那么A、B、C、D四點(diǎn)是否共圓？為什么？例1：點(diǎn)M與點(diǎn)F (4，0)的距離比它到直線l：x6=0的距離4.2，求點(diǎn)M的軌跡方程例2：斜率為1的直線l經(jīng)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，與拋物線相交于點(diǎn)A、B，求線段A、B的長(zhǎng)例3:(1) 已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=10x，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2) 已知拋物線的焦點(diǎn)是F (0，3)求它的標(biāo)準(zhǔn)方程；(3) 已知拋物線方程為y=mx2 (m>0)求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(4) 求經(jīng)過(guò)P (4，2)點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；例4 求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)

9、方程，并求對(duì)應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程：（1）過(guò)點(diǎn)（3，2）；（2）焦點(diǎn)在直線x2y4=0上常用結(jié)論 過(guò)拋物線y22px的焦點(diǎn)F的弦AB長(zhǎng)的最小值為2p 設(shè)A(x1，y)， 1B(x2，y2)是拋物線y22px上的兩點(diǎn)， 則AB過(guò)F的充要條件是y1y2p2 設(shè)A， B是拋物線y22px上的兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)， 則OAOB的充要條件是直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(2p，0)例5：過(guò)拋物線y2=2px (p>0)的頂點(diǎn)O作弦OAOB，與拋物線分別交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，求證：y1y2=4p2弦的問(wèn)題例1 A,B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點(diǎn)，滿足OAOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))求證：(1)

10、A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積為定值；(2)直線AB經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)(3)作OMAB于M，求點(diǎn)M的軌跡方程例2 定長(zhǎng)為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線y2=x上移動(dòng)，AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)例3設(shè)一動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)A(2, 0)且與拋物線相交于B、C兩點(diǎn),點(diǎn)B、C在軸上的射影分別為, P是線段BC上的點(diǎn),且適合,求的重心Q的軌跡方程,并說(shuō)明該軌跡是什么圖形例4 已知拋物線,焦點(diǎn)為F,一直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn),且,且AB的垂直平分線恒過(guò)定點(diǎn)S(6, 0) 求拋物線方程; 求面積的最大值例5 定長(zhǎng)為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線y2=x上移動(dòng)，AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M

11、到y(tǒng)軸的最短距離，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)綜合類(幾何)例1 過(guò)拋物線焦點(diǎn)的一條直線與它交于兩點(diǎn)P、Q，通過(guò)點(diǎn)P和拋物線頂點(diǎn)的直線交準(zhǔn)線于點(diǎn)M，如何證明直線MQ平行于拋物線的對(duì)稱軸？例2 已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)R是含拋物線頂點(diǎn)O的弧AB上一點(diǎn)，求RAB的最大面積例3 直線過(guò)點(diǎn)，與拋物線交于、兩點(diǎn)，P是線段的中點(diǎn)，直線過(guò)P和拋物線的焦點(diǎn)F，設(shè)直線的斜率為k（1）將直線的斜率與直線的斜率之比表示為k的函數(shù)；（2）求出的定義域及單調(diào)區(qū)間例4 如圖所示：直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，并且與這拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，求證：對(duì)于這拋物線的任何給定的一條弦CD，直線l不是CD的垂直平分

12、線例5 設(shè)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)O的兩弦OA、OB互相垂直，求拋物線頂點(diǎn)O在AB上射影N的軌跡方程例6如圖所示，直線和相交于點(diǎn)M，點(diǎn)，以A、B為端點(diǎn)的曲線段C上的任一點(diǎn)到的距離與到點(diǎn)N的距離相等，若AMN為銳角三角形，且，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段C的方程例7如圖所示，設(shè)拋物線與圓在x軸上方的交點(diǎn)為A、B，與圓在x由上方的交點(diǎn)為C、D，P為AB中點(diǎn)，Q為CD的中點(diǎn)（1）求（2）求ABQ面積的最大值例8已知直線過(guò)原點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的正半軸上，且點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)都在上，求直線和拋物線的方程例9如圖，正方形的邊在直線上，、兩點(diǎn)在拋物線上，求正方形的面積例10設(shè)有一顆彗星圍繞地球沿一拋物線軌道運(yùn)行，地球恰好位于拋物線軌道的焦點(diǎn)處，當(dāng)此彗星離地球?yàn)闀r(shí)，經(jīng)過(guò)地球與彗星的直線與拋物線的軸的夾角為，求這彗星與地球的最短距離例11如圖，拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，圓的圓心是拋物線的焦點(diǎn)，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且斜率為2，直線交拋物線與圓依次為、四點(diǎn)，求的值12.已知拋物線y2=2px(p>0)的一條焦點(diǎn)弦AB被焦點(diǎn)F分成m、n兩部分，求證：為定值，本題若推廣到橢圓、雙曲線，你