定積分的概念與性質(zhì)

1、第五章 定積分第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)教學(xué)目的：理解定積分的定義，掌握定積分的性質(zhì)，特別是中值定理.教學(xué)重點(diǎn)：連續(xù)變量的累積，熟練運(yùn)用性質(zhì).教學(xué)難點(diǎn)：連續(xù)變量的累積，中值定理.教學(xué)內(nèi)容：一、定積分的定義曲邊梯形的面積設(shè)在上非負(fù)，連續(xù)，由直線，及曲線所圍成的圖形，稱為曲邊梯形求面積：在區(qū)間中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)，把分成個(gè)小區(qū)間, ，它們的長度依次為：經(jīng)過每一個(gè)分點(diǎn)作平行于軸的直線段，把曲邊梯形分成個(gè)窄曲邊梯形，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，以為底，為高的窄邊矩形近似替代第個(gè)窄邊梯形，把這樣得到的個(gè)窄矩形面積之和作為所求曲邊梯形面積的近似值，即=設(shè)時(shí)，可得曲邊梯形的面積2變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)某物體作直線

2、運(yùn)動(dòng)，已知速度是時(shí)間間隔上的連續(xù)函數(shù)，且，計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程在內(nèi)任意插入若干個(gè)分點(diǎn)，把分成個(gè)小段， ，各小段時(shí)間長依次為：相應(yīng)各段的路程為：，在上任取一個(gè)時(shí)刻，以時(shí)的速度來代替上各個(gè)時(shí)刻的速度，則得：，進(jìn)一步得到：=設(shè)時(shí)，得：.3定積分的定義由上述兩例可見，雖然所計(jì)算的量不同，但它們都決定于一個(gè)函數(shù)及其自變量的變化區(qū)間，其次它們的計(jì)算方法與步驟都相同，即歸納為一種和式極限，即面積，路程.將這種方法加以精確敘述得到定積分的定義定義設(shè)函數(shù)上有界，在中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)，把區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間各個(gè)小區(qū)間的長度依次為.在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)),作函數(shù)值與小區(qū)間長度的乘積并作出和.記,如果不論

3、對(duì)怎樣分法,也不論在小區(qū)間上點(diǎn)怎樣取法,只要當(dāng)時(shí),和總趨于確定的極限,這時(shí)我們稱這個(gè)極限為函數(shù)在區(qū)間上的定積分(簡稱積分)，記作即=,其中叫做被積函數(shù)，叫做被積表達(dá)式，叫做積分變量，叫做積分下限，叫做積分上限，叫做積分區(qū)間.注意 積分與積分變量無關(guān)，即： .函數(shù)可積的兩個(gè)充分條件：定理1設(shè)上連續(xù)，則在上可積定理2設(shè)上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則上可積例 利用定積分定義計(jì)算.解的連續(xù)函數(shù)，故可積，因此為方便計(jì)算，我們可以對(duì)等分，分點(diǎn)取相應(yīng)小區(qū)間的右端點(diǎn)，故=,（即），由定積分的定義得：=.二、定積分的性質(zhì)：為方便定積分計(jì)算及應(yīng)用，作如下補(bǔ)充規(guī)定：(1) 當(dāng)時(shí)，,(2) 當(dāng)時(shí)，.性質(zhì)1 函數(shù)和（差

4、）的定積分等于它們的定積分的和（差），即.證明 = =.性質(zhì)2 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面，即 (是常數(shù)).性質(zhì)3如果將積分區(qū)間分成兩部分，則在整個(gè)區(qū)間上的定積分等于這兩個(gè)區(qū)間上定積分之和，即設(shè),則注意我們規(guī)定無論的相對(duì)位置如何，總有上述等式成立.性質(zhì)4 如果在區(qū)間上，.性質(zhì)5 如果在區(qū)間上，證明：因故，又因，故，設(shè)時(shí)，便得欲證的不等式.推論1 如果在上，.推論2.性質(zhì)6設(shè)與分別是函數(shù)上的最大值及最小值，則性質(zhì)7（定積分中值定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在積分區(qū)間上至少存在一點(diǎn)，使下式成立： （）.證明：利用性質(zhì)6，；再由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理，知在上至少存在一點(diǎn)，使，故得此性

5、質(zhì).顯然無論，還是，上述等式恒成立.做本節(jié)后面練習(xí)，熟悉上面各性質(zhì).積分中值定理的幾何釋意如下：在區(qū)間上至少存在一個(gè)，使得以區(qū)間為底邊, 以曲線為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為的一個(gè)矩形的面積，見下圖（在下面做p286圖5-4）小結(jié)：簡捷綜述上面各性質(zhì)第二節(jié) 微積分基本公式教學(xué)目的：掌握微積分基本公式及其應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn)：公式的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：公式的應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容：一、變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系設(shè)一物體在一直線上運(yùn)動(dòng)，在這直線上取定原點(diǎn)，正方向，單位長度，使其成為一數(shù)軸，時(shí)刻時(shí)物體所處的位置，速度.物體在時(shí)間間隔內(nèi)經(jīng)過的路程可以用速度函數(shù)在上的定積分來表達(dá)，即另一方面，這段路程

6、可以通過位置函數(shù)在區(qū)間的增量來表示，即故=.注意到，即是的原函數(shù).二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)設(shè)在上連續(xù)，并且設(shè)為上任一點(diǎn)，設(shè).則函數(shù)具有如下性質(zhì)：定理1 如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則積分上限函數(shù)在上具有導(dǎo)數(shù)，并且它的導(dǎo)數(shù)是 （）.證明：（1）時(shí)，=,在之間時(shí)，有.（2）其單側(cè)導(dǎo)數(shù)，可得，由定理1可得下面結(jié)論定理2 如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)是的一個(gè)原函數(shù)Newton的積分上限函數(shù)的幾何意義如下：（P209圖55放在下面）.三、Newton Leibniz 公式定理3 如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則證明 因與均是原函數(shù)，故= （）,又因,故.為方便起見，把記作.上述公式就是Newton

7、 Leibniz公式，也稱作微積分基本公式例1 例 計(jì)算 .解=.例3 計(jì)算.解.例4 計(jì)算在上與軸所圍成平面圖形的面積.解.上例的幾何釋義如下：（書圖P292， 5-4）.例5 汽車以每小時(shí)36km的速度行駛，到某處需要減速停車，設(shè)汽車以等加速度剎車，問從開始剎車到停車，汽車走了多少路程？解時(shí)，,故.即剎車后，汽車需要走10m才能停住.例6 設(shè)在內(nèi)連續(xù)且，證明函數(shù)在內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)證明，故=.故在內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù).例7 求.解 =,利用Hospital 法則得=.小結(jié)：Newton Leibniz 公式.第三節(jié) 定積分的換元法與分部積分法教學(xué)目的：掌握換元積分法和分部積分法.教學(xué)重點(diǎn)：熟練運(yùn)

8、用換元積分法和分步積分法.教學(xué)難點(diǎn)：靈活運(yùn)用換元法和分部積分法.教學(xué)內(nèi)容：一、換元積分定理假設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，函數(shù)滿足條件：（1）（2）在（或）上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且其值不越出,則有.例1 計(jì)算 （）.解 設(shè)則且時(shí)；,故=.換元公式也可以反過來使用，即.例2 計(jì)算.解 設(shè)，則-=.例3 計(jì)算.解= =.例4 計(jì)算 .解 設(shè)，則,；故 =.例5 證明 1)若在上連續(xù)且為偶函數(shù)，則=2）若在上連續(xù)且為奇函數(shù)，則=0.證明=+=+=+=.1）為偶函數(shù)時(shí)，+=，故=2）為奇函數(shù)時(shí)，+=0，故=0例6 若在上連續(xù)，證明（1）；（2），由此計(jì)算.證明（1）設(shè)且當(dāng)時(shí)，；當(dāng),故 =.（2）設(shè)，則= =所以.利用此公

9、式可得：.例7 設(shè)函數(shù)，計(jì)算解 設(shè).二、分部積分法設(shè)在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有故，這就是定積分的分部積分公式例1 解 設(shè)u=arcsin,則arcsin+.例2 計(jì)算.解 設(shè)，則=.例3 證明定積分公式證明 設(shè)，由分部積分公式可得：故 .由此遞推公式可得所證明等式.小結(jié)：分部積分公式.第四節(jié) 廣義積分教學(xué)目的：理解無窮限廣義積分和無界函數(shù)廣義積分和定義及計(jì)算.教學(xué)重點(diǎn)：利用廣義積分的定義計(jì)算.教學(xué)難點(diǎn)：概念產(chǎn)生的背景.教學(xué)內(nèi)容：一、無窮限廣義積分定義1設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，取.如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在無窮區(qū)間上的廣義積分,記作,即=這時(shí)也稱廣義積分收斂；如果上述極限不存在，函數(shù)在無窮區(qū)間上的

10、廣義積分就沒有意義，習(xí)慣上稱為廣義積分發(fā)散，這時(shí)記號(hào)不再表示數(shù)值了類似地，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),取，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在無窮區(qū)間上的廣義積分，記作，即=這時(shí)也稱廣義積分收斂；如果上述極限不存在，就稱廣義積分發(fā)散設(shè)函數(shù)在區(qū)間（）上連續(xù)，如果廣義積分 和 都收斂，則稱上述兩廣義積分之和為函數(shù)在無窮區(qū)間（）上的廣義積分，記作，即+這時(shí)也稱廣義積分收斂；否則就稱廣義積分發(fā)散例1 計(jì)算廣義積分解+.上述廣義積分的幾何釋義如下：（書圖P316 5-12）.例2 計(jì)算廣義積分 （是常數(shù)，且）解=例3 證明廣義積分當(dāng)時(shí)收斂；當(dāng)時(shí)發(fā)散.證明 當(dāng)時(shí)，=;當(dāng)，,故命題得證.無界函數(shù)的廣義積分定義2 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，而在點(diǎn)的右鄰域內(nèi)無界，取，如果存在，則稱此極限為函數(shù)在上的廣義積分，仍然記作，即=這時(shí)也稱廣義積分收斂如果上述極限不存在，就稱廣義積分發(fā)散類似地，設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，而在點(diǎn)的左鄰域內(nèi)無界，取0,如果極限存在，則