實驗五種群數(shù)量的狀態(tài)轉(zhuǎn)移——微分方程數(shù)學建模

1、實驗五 種群數(shù)量的狀態(tài)轉(zhuǎn)移微分方程一、實驗目的及意義1 歸納和學習求解常微分方程(組)的基本原理和方法；2 掌握解析、數(shù)值解法，并學會用圖形觀察解的形態(tài)和進行解的定性分析；3 熟悉MATLAB軟件關于微分方程求解的各種命令；4 通過范例學習建立微分方程方面的數(shù)學模型以及求解全過程； 通過該實驗的學習，使學生掌握微分方程(組)求解方法（解析法、歐拉法、梯度法、改進歐拉法等），對常微分方程的數(shù)值解法有一個初步了解，同時學會使用MATLAB軟件求解微分方程的基本命令，學會建立微分方程方面的數(shù)學模型。這對于學生深入理解微分、積分的數(shù)學概念，掌握數(shù)學的分析思維方法，熟悉處理大量的工程計算問題的方法是十分

2、必要的。二、實驗內(nèi)容1 微分方程及方程組的解析求解法；2 微分方程及方程組的數(shù)值求解法歐拉、歐拉改進算法；3 直接使用MATLAB命令對微分方程(組)進行求解(包括解析解、數(shù)值解)；4 利用圖形對解的特征作定性分析；5 建立微分方程方面的數(shù)學模型，并了解建立數(shù)學模型的全過程。三、實驗步驟1開啟軟件平臺MATLAB，開啟MATLAB編輯窗口； 2根據(jù)微分方程求解步驟編寫M文件3保存文件并運行；4觀察運行結(jié)果(數(shù)值或圖形)；5根據(jù)觀察到的結(jié)果和體會寫出實驗報告。四、實驗要求與任務根據(jù)實驗內(nèi)容和步驟，完成以下實驗，要求寫出實驗報告（實驗目的問題數(shù)學模型算法與編程計算結(jié)果分析、檢驗和結(jié)論）基礎實驗1求

3、微分方程的解析解, 并畫出它們的圖形， y= y + 2x, y(0) = 1, 0x1; 運行程序 y= dsolve(Dy-y-2*x=0,y(0)=1,x)解出方程的解析解為y =3*exp(x) - 2*x 2畫出圖形X=linspace(0,1,100);plot(x,3*exp(x) - 2*x - 2)2用向前歐拉公式和改進的歐拉公式求方程y= y - 2x/y, y(0) = 1 (0x1,h = 0.1) 的數(shù)值解，要求編寫程序，并比較兩種方法的計算結(jié)果，說明了什么問題？dsolve(Dy=y-2*x/y,y(0)=1,x)求得解析解為 y=(2*x+1).(1/2)建立M文

4、件weifen.m：x1(1)=0;y1(1)=1;y2(1)=1;h=0.1;for n=1:10 x1(n+1)=x1(n)+h; y1(n+1)=(1+h)*y1(n)-2*h*x1(n)/y1(n); k1=y2(n)-2*x1(n)/y2(n); k2=y2(n)+h*k1-2*x1(n+1)/(y2(n)+h*k1); y2(n+1)=y2(n)+0.5*h*(k1+k2);endx1;y1;x=0:0.1:1;y=(2*x+1).(1/2);plot(x,y,x1,y1,r,x1,y2,k:)由所作圖形可明顯看出用改進歐拉公式所得的微分曲線明顯更接近微分方程的解析解曲線，所以用改

5、進歐拉方程求得的數(shù)值解更精確3Rossler微分方程組：當固定參數(shù)b=2, c=4時，試討論隨參數(shù)a由小到大變化（如a(0,0.65)而方程解的變化情況，并且畫出空間曲線圖形，觀察空間曲線是否形成混沌狀？function xdot=lorenz(t,x)a=0;0.01;0.65;xdot=-x(2)-x(3);x(1)+a*x(2);2+x(3)*(x(1)-4); endx0=0 0 0.1;t,x=ode45(lorenz,0,10,x0);plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*,t,x(:,3),+)pauseplot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3),grid

6、 on 圖中，x1的圖形為實線(藍），x2的圖形為“*”線（綠），x3的圖形為“+”線（紅）.取t0，tf=0，10。若取t0，tf=0，100。圖像為 4.Apollo衛(wèi)星的運動軌跡的繪制令x(1)=x,x(2)=x,x(3)=y,x(4)=yx=x(2),y=x(3)function f = weixing( t,x)u=1/82.45;u1=1-u;r1=sqrt(x(1)+u)2+x(3)2);r2=sqrt(x(1)-u1)2+x(3)2);f=x(2);2*x(4)+x(1)-u1*(x(1)+u)/(r13)-u*(x(1)-u1)/(r23); x(4);-2*x(2)+x(3

7、)-u1*x(3)/(r13)-u*x(3)/(r23);end x0=1.2,0,0,-1.04935751;t,x=ode45(weixing,0,50,x0);plot(x(:,1),x(:,3)應用實驗 鹽水的混合問題一個圓柱形的容器，內(nèi)裝350升的均勻混合的鹽水溶液。如果純水以每秒14升的速度從容器頂部流入，同時，容器內(nèi)的混合的鹽水以每秒10.5升的速度從容器底部流出。開始時，容器內(nèi)鹽的含量為7千克。求經(jīng)過時間t后容器內(nèi)鹽的含量。記開始的溶液體積為=350 L 在t時刻溶液體積為純水流入速度為 = 14 鹽水流出速度為 = 10.5 開始鹽含量 = 在t時刻含鹽量為 在t時刻含濃度為 在dt 時間內(nèi)，流出容器的鹽分d為可認為在dt時間段內(nèi)濃度不變?yōu)?有 d= 則 =-兩邊求導得 =- 由于 =/ =+ 則 =-k/+Matble 求解：dsolve(Dq=-10.