電磁場(chǎng)與電磁波第四版課后答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上電磁場(chǎng)與電磁波第四版課后答案 謝處方 共138頁(yè)專心-專注-專業(yè)電磁場(chǎng)與電磁波第四版課后答案 謝處方 共138頁(yè)共138頁(yè)電磁場(chǎng)與電磁波（第四版）課后答案第一章習(xí)題解答1.1 給定三個(gè)矢量、和如下： 求：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）在上的分量；（6）；（7）和；（8）和。解 （1）（2）（3）11（4）由 ，得 （5）在上的分量 （6）（7）由于所以 （8） 1.2 三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為、和。 （1）判斷是否為一直角三角形； （2）求三角形的面積。解 （1）三個(gè)頂點(diǎn)、和的位置矢量分別為 ，則 ， ，由此可見故為一直角三角形。 （2）三角形的面積 1.3 求點(diǎn)到

2、點(diǎn)的距離矢量及的方向。解 ，則 且與、軸的夾角分別為1.4 給定兩矢量和，求它們之間的夾角和在上的分量。解 與之間的夾角為 在上的分量為 1.5 給定兩矢量和，求在上的分量。解 所以在上的分量為 1.6 證明：如果和，則；解 由，則有，即由于，于是得到 故 1.7 如果給定一未知矢量與一已知矢量的標(biāo)量積和矢量積，那么便可以確定該未知矢量。設(shè)為一已知矢量，而，和已知，試求。解 由，有故得 1.8 在圓柱坐標(biāo)中，一點(diǎn)的位置由定出，求該點(diǎn)在：（1）直角坐標(biāo)中的坐標(biāo)；（2）球坐標(biāo)中的坐標(biāo)。解 （1）在直角坐標(biāo)系中 、故該點(diǎn)的直角坐標(biāo)為。（2）在球坐標(biāo)系中 、故該點(diǎn)的球坐標(biāo)為1.9 用球坐標(biāo)表示的場(chǎng)，（

3、1）求在直角坐標(biāo)中點(diǎn)處的和；（2）求在直角坐標(biāo)中點(diǎn)處與矢量構(gòu)成的夾角。解 （1）在直角坐標(biāo)中點(diǎn)處，故（2）在直角坐標(biāo)中點(diǎn)處，所以故與構(gòu)成的夾角為 1.10 球坐標(biāo)中兩個(gè)點(diǎn)和定出兩個(gè)位置矢量和。證明和間夾角的余弦為解 由 得到 1.11 一球面的半徑為，球心在原點(diǎn)上，計(jì)算： 的值。解 1.12 在由、和圍成的圓柱形區(qū)域，對(duì)矢量驗(yàn)證散度定理。解 在圓柱坐標(biāo)系中 所以 又 故有 1.13 求（1）矢量的散度；（2）求對(duì)中心在原點(diǎn)的一個(gè)單位立方體的積分；（3）求對(duì)此立方體表面的積分，驗(yàn)證散度定理。解 （1）（2）對(duì)中心在原點(diǎn)的一個(gè)單位立方體的積分為 （3）對(duì)此立方體表面的積分 故有 1.14 計(jì)算矢量

4、對(duì)一個(gè)球心在原點(diǎn)、半徑為的球表面的積分，并求對(duì)球體積的積分。解 又在球坐標(biāo)系中，所以1.15 求矢量沿平面上的一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形回路的線積分，此正方形的兩邊分別與軸和軸相重合。再求對(duì)此回路所包圍的曲面積分，驗(yàn)證斯托克斯定理。解 又 所以 故有 1.16 求矢量沿圓周的線積分，再計(jì)算對(duì)此圓面積的積分。解 1.17 證明：（1）；（2）；（3）。其中，為一常矢量。解 （1）（2） （3）設(shè)，則，故1.18 一徑向矢量場(chǎng)表示，如果，那么函數(shù)會(huì)有什么特點(diǎn)呢？ 解 在圓柱坐標(biāo)系中，由 可得到 為任意常數(shù)。在球坐標(biāo)系中，由 可得到 1.19 給定矢量函數(shù)，試求從點(diǎn)到點(diǎn)的線積分：（1）沿拋物線；（2）沿連接

5、該兩點(diǎn)的直線。這個(gè)是保守場(chǎng)嗎？ 解 （1） （2）連接點(diǎn)到點(diǎn)直線方程為 即 故 由此可見積分與路徑無關(guān)，故是保守場(chǎng)。1.20 求標(biāo)量函數(shù)的梯度及在一個(gè)指定方向的方向?qū)?shù)，此方向由單位矢量定出；求點(diǎn)的方向?qū)?shù)值。 解 題1.21圖故沿方向的方向?qū)?shù)為 點(diǎn)處沿的方向?qū)?shù)值為1.21 試采用與推導(dǎo)直角坐標(biāo)中相似的方法推導(dǎo)圓柱坐標(biāo)下的公式。解 在圓柱坐標(biāo)中，取小體積元如題1.21圖所示。矢量場(chǎng)沿方向穿出該六面體的表面的通量為同理因此，矢量場(chǎng)穿出該六面體的表面的通量為故得到圓柱坐標(biāo)下的散度表達(dá)式 1.22 方程給出一橢球族。求橢球表面上任意點(diǎn)的單位法向矢量。解 由于 故橢球表面上任意點(diǎn)的單位法向矢量為1

6、.23 現(xiàn)有三個(gè)矢量、為 （1）哪些矢量可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示？哪些矢量可以由一個(gè)矢量函數(shù)的旋度表示？（2）求出這些矢量的源分布。解（1）在球坐標(biāo)系中 故矢量既可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示，也可以由一個(gè)矢量函數(shù)的旋度表示；在圓柱坐標(biāo)系中 故矢量可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示；直角在坐標(biāo)系中 故矢量可以由一個(gè)矢量函數(shù)的旋度表示。 （2）這些矢量的源分布為 ，；，；，1.24 利用直角坐標(biāo)，證明解 在直角坐標(biāo)中1.25 證明解 根據(jù)算子的微分運(yùn)算性質(zhì)，有式中表示只對(duì)矢量作微分運(yùn)算，表示只對(duì)矢量作微分運(yùn)算。由，可得同理 故有 1.26 利用直角坐標(biāo)，證明解 在直角坐標(biāo)中所以1.27 利用散度定理

7、及斯托克斯定理可以在更普遍的意義下證明及，試證明之。解 （1）對(duì)于任意閉合曲線為邊界的任意曲面，由斯托克斯定理有題1.27圖由于曲面是任意的，故有（2）對(duì)于任意閉合曲面為邊界的體積，由散度定理有其中和如題1.27圖所示。由斯托克斯定理，有， 由題1.27圖可知和是方向相反的同一回路，則有 所以得到 由于體積是任意的，故有  第二章習(xí)題解答 2.1 一個(gè)平行板真空二極管內(nèi)的電荷體密度為，式中陰極板位于，陽極板位于，極間電壓為。如果、橫截面，求：（1）和區(qū)域內(nèi)的總電荷量；（2）和區(qū)域內(nèi)的總電荷量。 解 （1） （2） 2.2 一個(gè)體密度為的質(zhì)子束，通過的電壓加速后形成等速的質(zhì)子束，質(zhì)子束

8、內(nèi)的電荷均勻分布，束直徑為，束外沒有電荷分布，試求電流密度和電流。解 質(zhì)子的質(zhì)量、電量。由得 故 2.3 一個(gè)半徑為的球體內(nèi)均勻分布總電荷量為的電荷，球體以勻角速度繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)，求球內(nèi)的電流密度。解 以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，轉(zhuǎn)軸（一直徑）為軸。設(shè)球內(nèi)任一點(diǎn)的位置矢量為，且與軸的夾角為，則點(diǎn)的線速度為球內(nèi)的電荷體密度為故 2.4 一個(gè)半徑為的導(dǎo)體球帶總電荷量為，同樣以勻角速度繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)，求球表面的面電流密度。解 以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，轉(zhuǎn)軸（一直徑）為軸。設(shè)球面上任一點(diǎn)的位置矢量為，且與軸的夾角為，則點(diǎn)的線速度為球面的上電荷面密度為故 2.5 兩點(diǎn)電荷位于軸上處，位于軸上處，求處的電場(chǎng)強(qiáng)度。解 電荷在

9、處產(chǎn)生的電場(chǎng)為電荷在處產(chǎn)生的電場(chǎng)為故處的電場(chǎng)為2.6 一個(gè)半圓環(huán)上均勻分布線電荷，求垂直于圓平面的軸線上處的電場(chǎng)強(qiáng)度，設(shè)半圓環(huán)的半徑也為，如題2.6 圖所示。解 半圓環(huán)上的電荷元在軸線上處的電場(chǎng)強(qiáng)度為 題 2.6圖在半圓環(huán)上對(duì)上式積分，得到軸線上處的電場(chǎng)強(qiáng)度為2.7 三根長(zhǎng)度均為，均勻帶電荷密度分別為、和地線電荷構(gòu)成等邊三角形。設(shè)，計(jì)算三角形中心處的電場(chǎng)強(qiáng)度。解 建立題2.7圖所示的坐標(biāo)系。三角形中心到各邊的距離為題2.7圖則故等邊三角形中心處的電場(chǎng)強(qiáng)度為2.8 點(diǎn)電荷位于處，另點(diǎn)電荷位于處，空間有沒有電場(chǎng)強(qiáng)度的點(diǎn)？解 電荷在處產(chǎn)生的電場(chǎng)為 電荷在處產(chǎn)生的電場(chǎng)為處的電場(chǎng)則為。令，則有由上式兩端

10、對(duì)應(yīng)分量相等，可得到 當(dāng)或時(shí)，將式或式代入式，得。所以，當(dāng)或時(shí)無解； 當(dāng)且時(shí)，由式，有解得但不合題意，故僅在處電場(chǎng)強(qiáng)度。29 一個(gè)很薄的無限大導(dǎo)電帶電面，電荷面密度為。證明：垂直于平面的軸上處的電場(chǎng)強(qiáng)度中，有一半是有平面上半徑為的圓內(nèi)的電荷產(chǎn)生的。解 半徑為、電荷線密度為的帶電細(xì)圓環(huán)在軸上處的電場(chǎng)強(qiáng)度為 題2.10圖故整個(gè)導(dǎo)電帶電面在軸上處的電場(chǎng)強(qiáng)度為而半徑為的圓內(nèi)的電荷產(chǎn)生在軸上處的電場(chǎng)強(qiáng)度為2.10 一個(gè)半徑為的導(dǎo)體球帶電荷量為，當(dāng)球體以均勻角速度繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)，如題2.10圖所示。求球心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解 球面上的電荷面密度為當(dāng)球體以均勻角速度繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)時(shí)，球面上位置矢量點(diǎn)處的電流面

11、密度為將球面劃分為無數(shù)個(gè)寬度為的細(xì)圓環(huán)，則球面上任一個(gè)寬度為細(xì)圓環(huán)的電流為 細(xì)圓環(huán)的半徑為，圓環(huán)平面到球心的距離，利用電流圓環(huán)的軸線上的磁場(chǎng)公式，則該細(xì)圓環(huán)電流在球心處產(chǎn)生的磁場(chǎng)為 故整個(gè)球面電流在球心處產(chǎn)生的磁場(chǎng)為 2.11 兩個(gè)半徑為、同軸的相同線圈，各有匝，相互隔開距離為，如題2.11圖所示。電流以相同的方向流過這兩個(gè)線圈。（1）求這兩個(gè)線圈中心點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度；（2）證明：在中點(diǎn)處等于零；（3）求出與之間的關(guān)系，使中點(diǎn)處也等于零。解 （1）由細(xì)圓環(huán)電流在其軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度 得到兩個(gè)線圈中心點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 （2）兩線圈的電流在其軸線上處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 題2.11圖所以 故在中點(diǎn)處，

12、有 （3） 令 ，有 即 故解得 題 2.12圖2.12 一條扁平的直導(dǎo)體帶，寬為，中心線與軸重合，通過的電流為。證明在第一象限內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 ， 式中、和如題2.12圖所示。解 將導(dǎo)體帶劃分為無數(shù)個(gè)寬度為的細(xì)條帶，每一細(xì)條帶的電流。由安培環(huán)路定理，可得位于處的細(xì)條帶的電流在點(diǎn)處的磁場(chǎng)為則 所以 2.13 如題2.13圖所示，有一個(gè)電矩為的電偶極子，位于坐標(biāo)原點(diǎn)上，另一個(gè)電矩為的電偶極子，位于矢徑為的某一點(diǎn)上。試證明兩偶極子之間相互作用力為 題 2.13圖式中，是兩個(gè)平面和間的夾角。并問兩個(gè)偶極子在怎樣的相對(duì)取向下這個(gè)力值最大？解 電偶極子在矢徑為的點(diǎn)上產(chǎn)生的電場(chǎng)為所以與之間的相互作用能為因

13、為，則 又因?yàn)槭莾蓚€(gè)平面和間的夾角，所以有 另一方面，利用矢量恒等式可得因此 于是得到 ()故兩偶極子之間的相互作用力為 ()() 由上式可見，當(dāng)時(shí)，即兩個(gè)偶極子共線時(shí)，相互作用力值最大。2.14 兩平行無限長(zhǎng)直線電流和，相距為，求每根導(dǎo)線單位長(zhǎng)度受到的安培力。解 無限長(zhǎng)直線電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)為 直線電流每單位長(zhǎng)度受到的安培力為 式中是由電流指向電流的單位矢量。同理可得，直線電流每單位長(zhǎng)度受到的安培力為 2.15 一根通電流的無限長(zhǎng)直導(dǎo)線和一個(gè)通電流的圓環(huán)在同一平面上，圓心與導(dǎo)線的距離為，如題2.15圖所示。證明：兩電流間相互作用的安培力為題2.15圖 這里是圓環(huán)在直線最接近圓環(huán)的點(diǎn)所張的角。解

14、無限長(zhǎng)直線電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)為圓環(huán)上的電流元受到的安培力為由題2.15圖可知 所以 2.16 證明在不均勻的電場(chǎng)中，某一電偶極子繞坐標(biāo)原點(diǎn)所受到的力矩為。解 如題2.16圖所示，設(shè)，則電偶極子繞坐標(biāo)原點(diǎn)所受到的力矩為題2.16 圖當(dāng)時(shí)，有故得到 第三章習(xí)題解答3.1 真空中半徑為的一個(gè)球面，球的兩極點(diǎn)處分別設(shè)置點(diǎn)電荷和，試計(jì)算球赤道平面上電通密度的通量(如題3.1圖所示)。赤道平面題3.1 圖解 由點(diǎn)電荷和共同產(chǎn)生的電通密度為則球赤道平面上電通密度的通量3.2 1911年盧瑟福在實(shí)驗(yàn)中使用的是半徑為的球體原子模型，其球體內(nèi)均勻分布有總電荷量為的電子云，在球心有一正電荷（是原子序數(shù)，是質(zhì)子

15、電荷量），通過實(shí)驗(yàn)得到球體內(nèi)的電通量密度表達(dá)式為，試證明之。解 位于球心的正電荷球體內(nèi)產(chǎn)生的電通量密度為 原子內(nèi)電子云的電荷體密度為 題3. 3圖電子云在原子內(nèi)產(chǎn)生的電通量密度則為 故原子內(nèi)總的電通量密度為 3.3 電荷均勻分布于兩圓柱面間的區(qū)域中，體密度為, 兩圓柱面半徑分別為和，軸線相距為，如題3.3圖所示。求空間各部分的電場(chǎng)。解 由于兩圓柱面間的電荷不是軸對(duì)稱分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半徑為的小圓柱面內(nèi)看作同時(shí)具有體密度分別為的兩種電荷分布，這樣在半徑為的整個(gè)圓柱體內(nèi)具有體密度為的均勻電荷分布，而在半徑為的整個(gè)圓柱體內(nèi)則具有體密度為的均勻電荷分布，如題3.3圖所示?？臻g任一點(diǎn)的

16、電場(chǎng)是這兩種電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)的疊加。在區(qū)域中，由高斯定律，可求得大、小圓柱中的正、負(fù)電荷在點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)分別為 題3. 3圖點(diǎn)處總的電場(chǎng)為 在且區(qū)域中，同理可求得大、小圓柱中的正、負(fù)電荷在點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)分別為 點(diǎn)處總的電場(chǎng)為 在的空腔區(qū)域中，大、小圓柱中的正、負(fù)電荷在點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)分別為 點(diǎn)處總的電場(chǎng)為 3.4 半徑為的球中充滿密度的體電荷，已知電位移分布為 其中為常數(shù)，試求電荷密度。解：由，有 故在區(qū)域 在區(qū)域 3.5 一個(gè)半徑為薄導(dǎo)體球殼內(nèi)表面涂覆了一薄層絕緣膜，球內(nèi)充滿總電荷量為為的體電荷，球殼上又另充有電荷量。已知球內(nèi)部的電場(chǎng)為，設(shè)球內(nèi)介質(zhì)為真空。計(jì)算：（1） 球內(nèi)的電荷分布；（2）球殼外表

17、面的電荷面密度。解 （1） 由高斯定律的微分形式可求得球內(nèi)的電荷體密度為（2）球體內(nèi)的總電量為 球內(nèi)電荷不僅在球殼內(nèi)表面上感應(yīng)電荷，而且在球殼外表面上還要感應(yīng)電荷，所以球殼外表面上的總電荷為2，故球殼外表面上的電荷面密度為 3.6 兩個(gè)無限長(zhǎng)的同軸圓柱半徑分別為和，圓柱表面分別帶有密度為和的面電荷。（1）計(jì)算各處的電位移；（2）欲使區(qū)域內(nèi)，則和應(yīng)具有什么關(guān)系？解 （1）由高斯定理，當(dāng)時(shí)，有 當(dāng)時(shí)，有 ，則 當(dāng)時(shí)，有 ，則 （2）令 ，則得到 3.7 計(jì)算在電場(chǎng)強(qiáng)度的電場(chǎng)中把帶電量為的點(diǎn)電荷從點(diǎn)移到點(diǎn)時(shí)電場(chǎng)所做的功：（1）沿曲線；（2）沿連接該兩點(diǎn)的直線。解 （1）（2）連接點(diǎn)到點(diǎn)直線方程為 即

18、 故3.8 長(zhǎng)度為的細(xì)導(dǎo)線帶有均勻電荷，其電荷線密度為。（1）計(jì)算線電荷平分面上任意點(diǎn)的電位；（2）利用直接積分法計(jì)算線電荷平分面上任意點(diǎn)的電場(chǎng)，并用核對(duì)。解 （1）建立如題3.8圖所示坐標(biāo)系。根據(jù)電位的積分表達(dá)式，線電荷平分面上任意點(diǎn)的電位為題3.8圖 （2）根據(jù)對(duì)稱性，可得兩個(gè)對(duì)稱線電荷元在點(diǎn)的電場(chǎng)為故長(zhǎng)為的線電荷在點(diǎn)的電場(chǎng)為由求，有3.9 已知無限長(zhǎng)均勻線電荷的電場(chǎng)，試用定義式求其電位函數(shù)。其中為電位參考點(diǎn)。解 由于是無限長(zhǎng)的線電荷，不能將選為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。3.10 一點(diǎn)電荷位于，另一點(diǎn)電荷位于，求空間的零電位面。解 兩個(gè)點(diǎn)電荷和在空間產(chǎn)生的電位令，則有 即 故得 由此可見，零電位面是一個(gè)以

19、點(diǎn)為球心、為半徑的球面。3.11 證明習(xí)題3.2的電位表達(dá)式為 解 位于球心的正電荷在原子外產(chǎn)生的電通量密度為 電子云在原子外產(chǎn)生的電通量密度則為 所以原子外的電場(chǎng)為零。故原子內(nèi)電位為3.12 電場(chǎng)中有一半徑為的圓柱體，已知柱內(nèi)外的電位函數(shù)分別為 （1）求圓柱內(nèi)、外的電場(chǎng)強(qiáng)度； （2）這個(gè)圓柱是什么材料制成的？表面有電荷分布嗎？試求之。解 （1）由，可得到 時(shí)， 時(shí)， （2）該圓柱體為等位體，所以是由導(dǎo)體制成的，其表面有電荷分布，電荷面密度為3.13 驗(yàn)證下列標(biāo)量函數(shù)在它們各自的坐標(biāo)系中滿足（1） 其中；（2） 圓柱坐標(biāo)；（3） 圓柱坐標(biāo)；（4） 球坐標(biāo)；（5） 球坐標(biāo)。解 （1）在直角坐標(biāo)系

20、中 而 故 （2）在圓柱坐標(biāo)系中 而 故 （3） 故 （4）在球坐標(biāo)系中 而 故 （5） 故 3.14 已知的空間中沒有電荷，下列幾個(gè)函數(shù)中哪些是可能的電位的解?（1）；（2）；（3）（4）。解 （1）所以函數(shù)不是空間中的電位的解；（2） 所以函數(shù)是空間中可能的電位的解；（3） 所以函數(shù)不是空間中的電位的解；（4） 所以函數(shù)不是空間中的電位的解。3.15 中心位于原點(diǎn)，邊長(zhǎng)為的電介質(zhì)立方體的極化強(qiáng)度矢量為。（1）計(jì)算面束縛電荷密度和體束縛電荷密度；（2）證明總的束縛電荷為零。解 （1） 同理 （2） 3.16 一半徑為的介質(zhì)球，介電常數(shù)為，其內(nèi)均勻分布自由電荷，證明中心點(diǎn)的電位為 解 由，可得

21、到時(shí)， 即 ， 時(shí)， 即 ， 故中心點(diǎn)的電位為3.17 一個(gè)半徑為的介質(zhì)球，介電常數(shù)為，球內(nèi)的極化強(qiáng)度，其中為一常數(shù)。（1） 計(jì)算束縛電荷體密度和面密度；（2） 計(jì)算自由電荷密度；（3）計(jì)算球內(nèi)、外的電場(chǎng)和電位分布。解 （1） 介質(zhì)球內(nèi)的束縛電荷體密度為 在的球面上，束縛電荷面密度為 （2）由于，所以 即 由此可得到介質(zhì)球內(nèi)的自由電荷體密度為 總的自由電荷量 （3）介質(zhì)球內(nèi)、外的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為 介質(zhì)球內(nèi)、外的電位分別為 3.18 （1）證明不均勻電介質(zhì)在沒有自由電荷密度時(shí)可能存在束縛電荷體密度；（2）導(dǎo)出束縛電荷密度的表達(dá)式。解 （1）由，得束縛電荷體密度為 在介質(zhì)內(nèi)沒有自由電荷密度時(shí)，則有

22、由于，有 所以 由此可見，當(dāng)電介質(zhì)不均勻時(shí)，可能不為零，故在不均勻電介質(zhì)中可能存在束縛電荷體密度。 （2）束縛電荷密度的表達(dá)式為 3.19 兩種電介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)分別為=2和=3，其分界面為=0平面。如果已知介質(zhì)1中的電場(chǎng)的那么對(duì)于介質(zhì)2中的和，我們可得到什么結(jié)果？能否求出介質(zhì)2中任意點(diǎn)的和？解 設(shè)在介質(zhì)2中在處，由和，可得 于是得到 故得到介質(zhì)2中的和在處的表達(dá)式分別為 不能求出介質(zhì)2中任意點(diǎn)的和。由于是非均勻場(chǎng)，介質(zhì)中任意點(diǎn)的電場(chǎng)與邊界面上的電場(chǎng)是不相同的。3.20 電場(chǎng)中一半徑為、介電常數(shù)為的介質(zhì)球，已知球內(nèi)、外的電位函數(shù)分別為 驗(yàn)證球表面的邊界條件，并計(jì)算球表面的束縛電荷密度。解 在

23、球表面上 故有 ， 可見和滿足球表面上的邊界條件。 球表面的束縛電荷密度為3.21 平行板電容器的長(zhǎng)、寬分別為和，極板間距離為。電容器的一半厚度()用介電常數(shù)為的電介質(zhì)填充，如題3.21圖所示。(1) (1)  板上外加電壓，求板上的自由電荷面密度、束縛電荷；(2) (2)  若已知板上的自由電荷總量為，求此時(shí)極板間電壓和束縛電荷；(3) (3)  求電容器的電容量。解 （1） 設(shè)介質(zhì)中的電場(chǎng)為，空氣中的電場(chǎng)為。由，有 題 3.21圖又由于 由以上兩式解得 ，故下極板的自由電荷面密度為 上極板的自由電荷面密度為 電介質(zhì)中的極化強(qiáng)度 故下表面上的束縛電荷面密度為 上

24、表面上的束縛電荷面密度為 題3.22圖 （2）由 得到 故 （3）電容器的電容為 3.22 厚度為、介電常數(shù)為的無限大介質(zhì)板，放置于均勻電場(chǎng)中，板與成角，如題3.22圖所示。求：（1）使的值；（2）介質(zhì)板兩表面的極化電荷密度。解 （1）根據(jù)靜電場(chǎng)的邊界條件，在介質(zhì)板的表面上有 由此得到 （2）設(shè)介質(zhì)板中的電場(chǎng)為，根據(jù)分界面上的邊界條件，有，即所以 介質(zhì)板左表面的束縛電荷面密度 介質(zhì)板右表面的束縛電荷面密度 3.23 在介電常數(shù)為的無限大均勻介質(zhì)中，開有如下的空腔，求各腔中的和：（1）平行于的針形空腔；（2）底面垂直于的薄盤形空腔；（3）小球形空腔（見第四章4.14題）。解 （1）對(duì)于平行于的針

25、形空腔，根據(jù)邊界條件，在空腔的側(cè)面上，有。故在針形空腔中，（2）對(duì)于底面垂直于的薄盤形空腔，根據(jù)邊界條件，在空腔的底面上，有。故在薄盤形空腔中，3.24 在面積為的平行板電容器內(nèi)填充介電常數(shù)作線性變化的介質(zhì)，從一極板處的一直變化到另一極板處的，試求電容量。解 由題意可知，介質(zhì)的介電常數(shù)為 設(shè)平行板電容器的極板上帶電量分別為，由高斯定理可得所以，兩極板的電位差 故電容量為 3.25 一體密度為的質(zhì)子束，束內(nèi)的電荷均勻分布，束直徑為，束外沒有電荷分布，試計(jì)算質(zhì)子束內(nèi)部和外部的徑向電場(chǎng)強(qiáng)度。解 在質(zhì)子束內(nèi)部，由高斯定理可得 故 在質(zhì)子束外部，有 故 3.26 考慮一塊電導(dǎo)率不為零的電介質(zhì)，設(shè)其介質(zhì)特

26、性和導(dǎo)電特性都是不均勻的。證明當(dāng)介質(zhì)中有恒定電流時(shí)，體積內(nèi)將出現(xiàn)自由電荷，體密度為。試問有沒有束縛體電荷？若有則進(jìn)一步求出。解 對(duì)于恒定電流，有，故得到 介質(zhì)中有束縛體電荷，且3.27 填充有兩層介質(zhì)的同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體半徑為，外導(dǎo)體內(nèi)半徑為，介質(zhì)的分界面半徑為。兩層介質(zhì)的介電常數(shù)為和，電導(dǎo)率為和。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電壓為，外導(dǎo)體接地。求：（1）兩導(dǎo)體之間的電流密度和電場(chǎng)強(qiáng)度分布；（2）介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度；（3）同軸線單位長(zhǎng)度的電容及漏電阻。解 （1）設(shè)同軸電纜中單位長(zhǎng)度的徑向電流為，則由，可得電流密度 介質(zhì)中的電場(chǎng) 由于 于是得到 故兩種介質(zhì)中的電流密度和電場(chǎng)強(qiáng)度分別為 （2）由可得，介質(zhì)1

27、內(nèi)表面的電荷面密度為介質(zhì)2外表面的電荷面密度為兩種介質(zhì)分界面上的電荷面密度為 （3）同軸線單位長(zhǎng)度的漏電阻為 由靜電比擬，可得同軸線單位長(zhǎng)度的電容為 3.28 半徑為和的兩個(gè)同心的理想導(dǎo)體球面間充滿了介電常數(shù)為、電導(dǎo)率為的導(dǎo)電媒質(zhì)(為常數(shù))。若內(nèi)導(dǎo)體球面的電位為，外導(dǎo)體球面接地。試求：（1）媒質(zhì)中的電荷分布；（2）兩個(gè)理想導(dǎo)體球面間的電阻。解 設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為，由于電流密度成球?qū)ΨQ分布，所以電場(chǎng)強(qiáng)度 由兩導(dǎo)體間的電壓 可得到 所以 媒質(zhì)中的電荷體密度為 媒質(zhì)內(nèi)、外表面上的電荷面密度分別為（2）兩理想導(dǎo)體球面間的電阻3.29 電導(dǎo)率為的無界均勻電介質(zhì)內(nèi)，有兩個(gè)半徑分別為和的理想導(dǎo)體小

28、球，兩球之間的距離為，試求兩小導(dǎo)體球面間的電阻。解 此題可采用靜電比擬的方法求解。假設(shè)兩小球分別帶電荷和，由于兩球間的距離、，可近似認(rèn)為小球上的電荷均勻分布在球面上。由電荷和的電位疊加求出兩小球表面的電位差，即可求得兩小導(dǎo)體球面間的電容，再由靜電比擬求出兩小導(dǎo)體球面間的電阻。設(shè)兩小球分別帶電荷和，由于、，可得到兩小球表面的電位為所以兩小導(dǎo)體球面間的電容為 由靜電比擬，得到兩小導(dǎo)體球面間的電導(dǎo)為 故兩個(gè)小導(dǎo)體球面間的電阻為 3.30 在一塊厚度的導(dǎo)電板上， 由兩個(gè)半徑為和的圓弧和夾角為的兩半徑割出的一塊扇形體，如題3.30圖所示。求：（1）沿厚度方向的電阻；（2）兩圓弧面之間的電阻；沿方向的兩電

29、極的電阻。設(shè)導(dǎo)電板的電導(dǎo)率為。解 （1）設(shè)沿厚度方向的兩電極的電壓為，則有題3.30圖 故得到沿厚度方向的電阻為 （2）設(shè)內(nèi)外兩圓弧面電極之間的電流為，則 故得到兩圓弧面之間的電阻為 （3）設(shè)沿方向的兩電極的電壓為，則有 由于與無關(guān)，所以得到 故得到沿方向的電阻為 3.31 圓柱形電容器外導(dǎo)體內(nèi)半徑為，內(nèi)導(dǎo)體半徑為。當(dāng)外加電壓固定時(shí)，在一定的條件下，求使電容器中的最大電場(chǎng)強(qiáng)度取極小值的內(nèi)導(dǎo)體半徑的值和這個(gè)的值。解 設(shè)內(nèi)導(dǎo)體單位長(zhǎng)度帶電荷為，由高斯定理可求得圓柱形電容器中的電場(chǎng)強(qiáng)度為由內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓 得到 由此得到圓柱形電容器中的電場(chǎng)強(qiáng)度與電壓的關(guān)系式 在圓柱形電容器中，處的電場(chǎng)強(qiáng)度最大 令對(duì)

30、的導(dǎo)數(shù)為零，即 由此得到 故有 3.32 證明：同軸線單位長(zhǎng)度的靜電儲(chǔ)能等于。為單位長(zhǎng)度上的電荷量，為單位長(zhǎng)度上的電容。解 由高斯定理可求得圓柱形電容器中的電場(chǎng)強(qiáng)度為 內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為則同軸線單位長(zhǎng)度的電容為 同軸線單位長(zhǎng)度的靜電儲(chǔ)能為 3.33 如題3.33圖所示，一半徑為、帶電量的導(dǎo)體球，其球心位于兩種介質(zhì)的分界面上，此兩種介質(zhì)的電容率分別為和，分界面為無限大平面。求：（1）導(dǎo)體球的電容；（2） 總的靜電能量。解 （1）由于電場(chǎng)沿徑向分布，根據(jù)邊界條件，在兩種介質(zhì)的分界面上，故有 。由于、，所以。由高斯定理，得到 即 題 3.33圖所以 導(dǎo)體球的電位故導(dǎo)體球的電容 （2） 總的靜電能量為

31、 3.34 把一帶電量、半徑為的導(dǎo)體球切成兩半，求兩半球之間的電場(chǎng)力。解 先利用虛位移法求出導(dǎo)體球表面上單位面積的電荷受到的靜電力，然后在半球面上對(duì)積分，求出兩半球之間的電場(chǎng)力。導(dǎo)體球的電容為 故靜電能量為 根據(jù)虛位移法，導(dǎo)體球表面上單位面積的電荷受到的靜電力方向沿導(dǎo)體球表面的外法向，即 這里 在半球面上對(duì)積分，即得到兩半球之間的靜電力為 3.35 如題3.35圖所示，兩平行的金屬板，板間距離為，豎直地插入在電容率為的液體中，兩板間加電壓，證明液面升高其中為液體的質(zhì)量密度。解 設(shè)金屬板的寬度為、高度為。當(dāng)金屬板間的液面升高為時(shí)，其電容為題3.35圖 金屬板間的靜電能量為液體受到豎直向上的靜電力

32、為而液體所受重力與相平衡，即 故得到液面上升的高度3.36 可變空氣電容器，當(dāng)動(dòng)片由至電容量由至直線地變化，當(dāng)動(dòng)片為角時(shí)，求作用于動(dòng)片上的力矩。設(shè)動(dòng)片與定片間的電壓為。解 當(dāng)動(dòng)片為角時(shí)，電容器的電容為此時(shí)電容器中的靜電能量為 作用于動(dòng)片上的力矩為 3.37 平行板電容器的電容是，其中是板的面積，為間距，忽略邊緣效應(yīng)。題3.37圖 （1）如果把一塊厚度為的不帶電金屬插入兩極板之間，但不與兩極接觸，如題3.37圖所示。則在原電容器電壓一定的條件下，電容器的能量如何變化？電容量如何變化？（2）如果在電荷一定的條件下，將一塊橫截面為、介電常數(shù)為的電介質(zhì)片插入電容器(與電容器極板面積基本上垂直地插入，如

33、題3.37圖所示，則電容器的能量如何變化？電容量又如何變化？ 解 （1）在電壓一定的條件下，未插入金屬板前，極板間的電場(chǎng)為電容為 靜電能量為 當(dāng)插入金屬板后，電容器中的電場(chǎng)為 此時(shí)靜電能量和電容分別為 故電容器的電容及能量的改變量分別為（2）在電荷一定的條件下，未插入電介質(zhì)板前，極板間的電場(chǎng)為 靜電能量為 當(dāng)插入電介質(zhì)板后，由介質(zhì)分界面上的邊界條件，有 題3.37圖 再由高斯定理可得 于是得到極板間的電場(chǎng)為 兩極板間的電位差位 此時(shí)的靜電能量為 其電容為 故電容器的電容及能量的改變量分別為 3.38 如果不引入電位函數(shù)，靜電問題也可以通過直接求解法求解的微分方程而得解決。（1）證明：有源區(qū)的微

34、分方程為，；（2）證明：的解是 解 （1）由，可得 ，即又 故得到 （2）在直角坐標(biāo)系中的三個(gè)分量方程為，其解分別為故 3.39 證明：解 由于 ，所以 由題3.38(2)可知 故 第四章習(xí)題解答4.1 如題4.1圖所示為一長(zhǎng)方形截面的導(dǎo)體槽，槽可視為無限長(zhǎng)，其上有一塊與槽相絕緣的蓋板，槽的電位為零，上邊蓋板的電位為，求槽內(nèi)的電位函數(shù)。解 根據(jù)題意，電位滿足的邊界條件為 根據(jù)條件和，電位的通解應(yīng)取為題4.1圖 由條件，有兩邊同乘以，并從0到對(duì)積分，得到故得到槽內(nèi)的電位分布 4.2 兩平行無限大導(dǎo)體平面，距離為，其間有一極薄的導(dǎo)體片由到。上板和薄片保持電位，下板保持零電位，求板間電位的解。設(shè)在薄

35、片平面上，從到，電位線性變化，。yoyboydy題 4.2圖解 應(yīng)用疊加原理，設(shè)板間的電位為其中，為不存在薄片的平行無限大導(dǎo)體平面間（電壓為）的電位，即；是兩個(gè)電位為零的平行導(dǎo)體板間有導(dǎo)體薄片時(shí)的電位，其邊界條件為： 根據(jù)條件和，可設(shè)的通解為 由條件有 兩邊同乘以，并從0到對(duì)積分，得到故得到 4.3 求在上題的解中，除開一項(xiàng)外，其他所有項(xiàng)對(duì)電場(chǎng)總儲(chǔ)能的貢獻(xiàn)。并按定出邊緣電容。解 在導(dǎo)體板（）上，相應(yīng)于的電荷面密度則導(dǎo)體板上（沿方向單位長(zhǎng)）相應(yīng)的總電荷相應(yīng)的電場(chǎng)儲(chǔ)能為 其邊緣電容為 4.4 如題4.4圖所示的導(dǎo)體槽，底面保持電位，其余兩面電位為零，求槽內(nèi)的電位的解。解 根據(jù)題意，電位滿足的邊界條

36、件為 題4.4圖 根據(jù)條件和，電位的通解應(yīng)取為 由條件，有 兩邊同乘以，并從0到對(duì)積分，得到故得到槽內(nèi)的電位分布為 4.5 一長(zhǎng)、寬、高分別為、的長(zhǎng)方體表面保持零電位，體積內(nèi)填充密度為的電荷。求體積內(nèi)的電位。解 在體積內(nèi)，電位滿足泊松方程 （1）長(zhǎng)方體表面上，電位滿足邊界條件。由此設(shè)電位的通解為代入泊松方程（1），可得由此可得 或 （2）由式（2），可得故 4.6 如題4.6圖所示的一對(duì)無限大接地平行導(dǎo)體板，板間有一與軸平行的線電荷，其位置為。求板間的電位函數(shù)。解 由于在處有一與軸平行的線電荷，以為界將場(chǎng)空間分割為和兩個(gè)區(qū)域，則這兩個(gè)區(qū)域中的電位和都滿足拉普拉斯方程。而在的分界面上，可利用函數(shù)

37、將線電荷表示成電荷面密度。電位的邊界條件為題 4.6圖 由條件和，可設(shè)電位函數(shù)的通解為 由條件，有 （1） （2）由式（1），可得 （3）將式（2）兩邊同乘以，并從到對(duì)積分，有 （4）由式（3）和（4）解得 故 b題4.7圖4.7 如題4.7圖所示的矩形導(dǎo)體槽的電位為零，槽中有一與槽平行的線電荷。求槽內(nèi)的電位函數(shù)。解 由于在處有一與軸平行的線電荷，以為界將場(chǎng)空間分割為和兩個(gè)區(qū)域，則這兩個(gè)區(qū)域中的電位和都滿足拉普拉斯方程。而在的分界面上，可利用函數(shù)將線電荷表示成電荷面密度，電位的邊界條件為 ， 由條件和，可設(shè)電位函數(shù)的通解為 由條件，有 （1） （2）由式（1），可得 （3）將式（2）兩邊同乘以

38、，并從到對(duì)積分，有 （4）由式（3）和（4）解得 故 若以為界將場(chǎng)空間分割為和兩個(gè)區(qū)域，則可類似地得到 4.8 如題4.8圖所示，在均勻電場(chǎng)中垂直于電場(chǎng)方向放置一根無限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱，圓柱的半徑為。求導(dǎo)體圓柱外的電位和電場(chǎng)以及導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷密度。解 在外電場(chǎng)作用下，導(dǎo)體表面產(chǎn)生感應(yīng)電荷，圓柱外的電位是外電場(chǎng)的電位與感應(yīng)電荷的電位的疊加。由于導(dǎo)體圓柱為無限長(zhǎng)，所以電位與變量無關(guān)。在圓柱面坐標(biāo)系中，外電場(chǎng)的電位為（常數(shù)的值由參考點(diǎn)確定），而感應(yīng)電荷的電位應(yīng)與一樣按變化，而且在無限遠(yuǎn)處為0。由于導(dǎo)體是等位體，所以滿足的邊界條件為題4.8圖 由此可設(shè) 由條件，有 于是得到 故圓柱外的電位為若選擇導(dǎo)體圓

39、柱表面為電位參考點(diǎn)，即，則。導(dǎo)體圓柱外的電場(chǎng)則為導(dǎo)體圓柱表面的電荷面密度為 4.9 在介電常數(shù)為的無限大的介質(zhì)中，沿軸方向開一個(gè)半徑為的圓柱形空腔。沿軸方向外加一均勻電場(chǎng)，求空腔內(nèi)和空腔外的電位函數(shù)。解 在電場(chǎng)的作用下，介質(zhì)產(chǎn)生極化，空腔表面形成極化電荷，空腔內(nèi)、外的電場(chǎng)為外加電場(chǎng)與極化電荷的電場(chǎng)的疊加。外電場(chǎng)的電位為而感應(yīng)電荷的電位應(yīng)與一樣按變化，則空腔內(nèi)、外的電位分別為和的邊界條件為 時(shí)，； 時(shí)，為有限值； 時(shí)， ，由條件和，可設(shè) 帶入條件，有 ，由此解得 ， 所以 題4.10圖4.10 一個(gè)半徑為、無限長(zhǎng)的薄導(dǎo)體圓柱面被分割成四個(gè)四分之一圓柱面，如題4.10圖所示。第二象限和第四象限的四

40、分之一圓柱面接地，第一象限和第三象限分別保持電位和。求圓柱面內(nèi)部的電位函數(shù)。解 由題意可知，圓柱面內(nèi)部的電位函數(shù)滿足邊界條件為 為有限值； ；由條件可知，圓柱面內(nèi)部的電位函數(shù)的通解為 代入條件，有 由此得到故 4.11 如題4.11圖所示，一無限長(zhǎng)介質(zhì)圓柱的半徑為、介電常數(shù)為，在距離軸線處，有一與圓柱平行的線電荷，計(jì)算空間各部分的電位。解 在線電荷作用下，介質(zhì)圓柱產(chǎn)生極化，介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電位均為線電荷的電位與極化電荷的電位的疊加，即。線電荷的電位為 （1）題4.11圖而極化電荷的電位滿足拉普拉斯方程，且是的偶函數(shù)。介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電位和滿足的邊界條件為分別為 為有限值； 時(shí)，由條件和可知，和的通解為 （2） （3）將式（1）（3）帶入條件，可得到 （4） （5）當(dāng)時(shí)，將展開為級(jí)數(shù)，有 （6）帶入式（5），得 （7）由式（4）和（7），有 由此解得 ， 故得到圓柱內(nèi)、外的電位分別為 （8） （9）討論：利用式（6），可將式（8）和（9）中得第二項(xiàng)分別寫成為其中。因此可將和分別寫成為 由所得結(jié)果可知，介質(zhì)圓