數(shù)字信號處理1-4z

1、計算機網(wǎng)絡與信息安全編著：梁軍 毛振寰北京郵電大學出版社目目 錄錄第第1章章 網(wǎng)絡安全概念網(wǎng)絡安全概念第第2章章 安全的基本元素安全的基本元素 第第3章章 應用加密應用加密 第第4章章 典型的攻擊方式及安全規(guī)則典型的攻擊方式及安全規(guī)則 第第5章章 協(xié)議層安全協(xié)議層安全第第6章章 保護資源保護資源第第7章章 防火墻基礎防火墻基礎第第8章章 防火墻體系結構防火墻體系結構第第9章章 檢測和迷惑黑客檢測和迷惑黑客第第10章章 事件響應事件響應第第11章章 網(wǎng)絡安全基礎網(wǎng)絡安全基礎第第12章章 帳號安全帳號安全第第13章章 文件系統(tǒng)安全文件系統(tǒng)安全第第14章章 評估風險評估風險第第15章章 降低風險降低

2、風險第第16章章 審計安全審計安全第第17章章 偵察手段偵察手段第第18章章 服務器滲透和攻擊技服務器滲透和攻擊技術審計術審計第第19章章 控制階段的安全審計控制階段的安全審計第第20章章 入侵監(jiān)測系統(tǒng)入侵監(jiān)測系統(tǒng)第第21章章 審計和日志分析審計和日志分析第第22章章 審計結果審計結果 第第1 1章章 數(shù)字信號處理概述數(shù)字信號處理概述n1.1 1.1 信號的分類信號的分類n 我們可以這樣來分類信號： 模擬信號信號 抽樣數(shù)據(jù)信號 離散信號 數(shù)字信號n模擬信號：時間的連續(xù)函數(shù)，幅值也是連續(xù)變化的。n抽樣數(shù)據(jù)信號：時間上是離散的，但是幅值在一定范圍內可連續(xù)取值。n數(shù)字信號：時間上是離散的，其幅值也不

3、能夠連續(xù)變化。n 信號之間的關系： 抽樣 量化編碼 模擬信號 抽樣數(shù)據(jù)信號 數(shù)字信號。1.2 數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理n數(shù)字信號處理是研究如何用數(shù)字或符號序列來表示信號以及如何對這些序列進行處理的一門學科。 n模擬信號與離散信號的根本區(qū)別：模擬信號的特征用波形來描述，而離散信號實際上是一串數(shù)據(jù)，是一個數(shù)字序列。n因此，對數(shù)字信號的處理肯定與模擬信號處理不同，數(shù)字信號處理實際上就是進行各種數(shù)學運算，如加、減、乘以及各種邏輯運算等等。 1.3 數(shù)字信號處理的優(yōu)越性數(shù)字信號處理的優(yōu)越性n 對信號進行數(shù)字處理與進行模擬處理相比較，有以下一些優(yōu)越性。1精度高精度高n模擬元件精度：頂多達到10-3 左右；

4、數(shù)字系統(tǒng)中：17位字長可達到10-5 精度。n在一些要求高精度的系統(tǒng)中，甚至只能采用數(shù)字技術，比如高保真度的CD音樂光盤、高清晰度的數(shù)字電視系統(tǒng)等等。 2 2可靠性高可靠性高n模擬系統(tǒng): 各種參數(shù)受溫度、環(huán)境影響較大，因而易出現(xiàn)感應、雜散效應，甚至震蕩等等；并且易受干擾而產(chǎn)生失真。n數(shù)字系統(tǒng): 受溫度、環(huán)境影響較小；數(shù)字信號由于只有兩種狀態(tài)，故抗干擾能力強；數(shù)字信號還可以在中繼站對畸變了的脈沖波形進行整形并使其再生。 3 3靈活性強靈活性強n數(shù)字系統(tǒng)的性能主要取決于各乘法器系數(shù)，因此改變系數(shù)就可以得到不同性能的系統(tǒng)。數(shù)字信號的靈活性還表現(xiàn)在可以利用一套設備同時處理多路相互獨立的信號，即所謂的“

5、時分復用”。 4 4便于大規(guī)模集成化便于大規(guī)模集成化n 數(shù)字部件具有高度的規(guī)范性，易于實現(xiàn)大規(guī)模集成化。 5 5數(shù)字信號便于加密處理數(shù)字信號便于加密處理n 由于數(shù)字信號實際上為數(shù)據(jù)序列，因此便于加密運算處理。 6 6對于低頻信號尤其優(yōu)越對于低頻信號尤其優(yōu)越n處理低頻信號的模擬元件如電感、電容等一般都體積較大、制作不易、使用不便而且成本較高；如果轉換成數(shù)字信號來進行處理，由于頻率低，對數(shù)字部件的速度要求不高，因而是很容易實現(xiàn)的。n數(shù)字處理的局限性：所處理的信號頻率越高，對處理系統(tǒng)所要求的工作速度也就越高，目前，數(shù)字系統(tǒng)的速度還不能達到實時處理很高頻率信號（例如射頻信號）的要求。n但是，隨著大規(guī)模

6、集成電路、高速數(shù)字計算機的發(fā)展尤其是微處理器的發(fā)展，數(shù)字系統(tǒng)的速度將會越來越高，數(shù)字信號處理也會越來越顯示出其優(yōu)越性。數(shù)字技術正在取代傳統(tǒng)的模擬技術，日益廣泛地應用于數(shù)字通信、圖象傳輸、自動控制、遙感技術、雷達技術、電子測量技術、生物醫(yī)學工程以及地震學、波譜學、震動學等許多領域。1 14 4 數(shù)字信號處理的三種方式數(shù)字信號處理的三種方式n對數(shù)字信號的處理運算，常用的有三種：相加、相乘和延遲。這些運算可以用以下三種方式來實現(xiàn)。1軟件處理：對運算編程后在計算機上實現(xiàn)。軟件處理靈活、方便，但是速度較慢。 2硬件處理：用加法器、乘法器、延時器以及它們的各種組合來構成數(shù)字電路，以實現(xiàn)所需要的運算。硬件處

7、理不夠方便靈活，但是處理速度快，能夠進行實時處理。 3DSP（數(shù)字信號處理器）方式：是軟硬件處理方式的結合。用數(shù)字信號處理芯片以及存儲器來組成硬件電路，所需要的運算靠特定的匯編語言編程來實現(xiàn)。因此，采用DSP既方便靈活，一般又能做到實時處理。 1 15 5 數(shù)字信號處理的兩大方法數(shù)字信號處理的兩大方法n由于數(shù)字信號本身的特點以及高速數(shù)字計算機和微處理器的應用，使得一些數(shù)字信號處理算法應運而生，其中最突出的是快速傅里葉變換和數(shù)字濾波這兩大方法，將分別在第二部分和第三部分中詳細討論。 第第2章章 離散系統(tǒng)的性質和離散信號的變換離散系統(tǒng)的性質和離散信號的變換n 本章的一些內容在“信號與系統(tǒng)”課程中已

8、經(jīng)學過，但是考慮到本章的內容是離散信號處理的基礎，是非常重要的，因此，有必要對已有的知識拓展和加深，使其更加系統(tǒng)和完善。本章所涉及到的一些數(shù)學知識請參看附錄A1。 2.1 抽樣和內插抽樣和內插n將模擬信號（連續(xù)信號）離散化的過程叫抽樣或取樣，將離散信號變?yōu)檫B續(xù)信號（模擬信號）的過程叫內插。模擬信號與數(shù)字信號之間的相互轉換過程： 圖2.1 模擬信號與數(shù)字信號之間的相互轉換 2.1.1 抽樣抽樣n 將連續(xù)信號變?yōu)殡x散信號最常用的是等間隔周期抽樣，即每隔固定時間Ts抽取一個信號值。n 抽樣周期：Ts ； 抽樣頻率：fs=1/Ts ； 抽樣角頻率：s=2fs=2/Ts。 圖圖2.2 模擬信號的抽樣模擬

9、信號的抽樣n抽樣定理：抽樣定理：設fm是一模擬信號xa(t) 的頻譜的最高頻率，當對xa(t) 進行抽樣時，只要抽樣頻率fs 等于或大于2fm，就可以由抽樣序列xa(nT) 來唯一準確地恢復出xa(t)。n時域分析： 圖圖2.3 抽樣過程的數(shù)學模型抽樣過程的數(shù)學模型 nssansaaanTtnTxnTttxtptxtx)()()()()()()(n頻域分析： n 抽樣函數(shù)p(t)是一個周期為Ts的周期函數(shù)，故有： )()()(tptxtxaa)()(21)(PXaXatjmnmmsseAnTttp)()(s=2/Ts 是周期函數(shù)p(t)的基波角頻率，也是抽樣角頻率。傅里葉級數(shù)的系數(shù)： 2/2/

10、2/2/)(1 )(1ssssssTTntjmssTTtjmsmdtenTtTdtetpTA2/2/011)(1ssssTTsjmstjmsTeTdtetT所以 由于 因此 ntjnsmtjmssseTeTtp11)()(2sFtjnnesnssnFtjnsnTPeTtps)(2)(1)(n所以 n就是說，將Xa()乘以1/Ts 后進行以s為周期的周期延拓就得到。nsasnsasaanXTnXTPXX)(1 )()(1)()(21)( 圖圖2.4 抽樣信號的頻譜與原模擬信號頻譜之間的關系抽樣信號的頻譜與原模擬信號頻譜之間的關系n 一個重要的結論：時域中的連續(xù)信號經(jīng)單位沖激抽樣后，在頻域中產(chǎn)生周

11、期性函數(shù)，其周期等于抽樣角頻率s n如果s2m，周期頻譜就不會發(fā)生混疊，于是，將抽樣信號通過一個合適的低通濾波器，就可以正確地恢復出原來的信號xa(t)，只是幅度為原來的1/Ts 倍。這就說明了抽樣定理的正確性。n因此，對一個連續(xù)信號進行抽樣時，抽樣率fs 必須不小于信號頻譜最高頻率fm的2倍。當fs = 2fm，fs就叫做奈奎斯特抽樣率。 例例2.1 2.1 用不同的抽樣頻率對信號 抽樣，比較所得抽樣信號的頻譜。 (1) 以fs = 5000 Hz 對xa(t) 抽樣得到 x1(n) (2) 以fs = 1000 Hz 對xa(t) 抽樣得到 x2(n) n解： n對于(1)： n由于 ,

12、而 ， 并且0.04/10=0.004, 故混疊影響可以忽略。2210002000)(aX002. 010000002000)0(aXnanX22)10000(100020005000)(10)0(1asXT04.0)2/(1sasXT 圖圖2.5(2.5(a) a) 抽樣率為抽樣率為50005000HzHz時的抽樣信號頻譜示意圖時的抽樣信號頻譜示意圖 n對于(2)： n由 于 ， 而 ， 并 且0.184/2=0.092，明顯大于(1)的0.004，所以(2)的情況有混疊影響。 nanX22)2000(100020001000)(2)0(1asXT184.0)2/(1sasXT2.1.2 內

13、插內插n理想低通濾波器的截止頻率c 滿足： mc（s-m） n頻域分析： n從頻域的觀點來看，由離散信號恢復原來的模擬信號的過程為低通濾波。 )(1)()()(asaXTHXGn 時域分析： n已知 n而 )()()(thtxtga)()()(snsaanTtnTxtx)2(sin222sin2sin1 21)2()(1tfcftftffttderectFthcccccctjcccn于是 n 由頻域分析的結果 ， 可以知道：n于是有 nscsacnccssanTtfcnTxftfcfnTtnTxtg)(2sin)(22sin2)()()()(1)(asXTG)(1)(txTtgasnscsac

14、asnTtfcnTxftxT)(2sin)(2)(1n若取 ，即 ，便有 ，因此有： n這就是內插公式，其中 n叫做內插函數(shù)。sc21scTf2212scTf12nnsansssaatnTxnTtTcnTxtx)()()(1sin)()()(1sin)(ssnnTtTct 圖圖2.7 2.7 通過內插恢復原來的模擬信號通過內插恢復原來的模擬信號n 內插函數(shù)n(t) 的形式取決于所用的低通濾波器的沖激響應。由于理想低通濾波器的沖激響應 ，因而內插函數(shù)也是sinc函數(shù)，在這種情況下能夠完全恢復原來的連續(xù)信號xa(t)。)(sin1)(ssTtcTthn若低通特性為： ，則其沖激響應 h(t) 形狀

15、為三角形，因此內插函數(shù)的波形也是三角形的，此時就不能完全恢復出原信號xa(t)。222)2/(sin4)(ssTTHn在實際問題中 ，往往用下式來逼近： nN要取得足夠大以將誤差控制在允許的范圍之內。n從時域的觀點來看，由離散信號恢復原來的模擬信號的過程叫做內插。NNnnsaatnTxtx)()()(2.2 2.2 離散時間信號離散時間信號2.2.1 2.2.1 離散時間信號序列離散時間信號序列 n 因為離散信號實際上是一個數(shù)據(jù)序列，所以又叫做離散時間信號序列。 n當對離散時間信號序列 xa(nTs) 進行處理時（尤其是在非實時處理時），往往對周期值Ts并不感興趣，而主要關心的是這個隨n變化的

16、離散序列。因此，常常將 xa(nTs) 寫成 x(n)，它表示一個隨n變化的數(shù)據(jù)序列；也可以認為x(n)是自變量n的函數(shù)，而n是一個取值只能為整數(shù)的離散變量。2.2.2 2.2.2 常用序列常用序列 1單位抽樣序列n定義： 0n 00n 1)(n 圖圖2.8 2.8 單位抽樣序列單位抽樣序列 2單位階躍序列n定義： 0001nnnu 圖圖2.9 2.9 單位階躍序列單位階躍序列 n 例例2.2 2.2 分別寫出序列u(n-1)和u(-n-1)的表達式，并分別畫出它們的圖像。 n 解： -1n 0-1n 11)-u(-n 1n 01n 1) 1(nu 圖圖2.10(2.10(a) u(n-1)a

17、) u(n-1)的圖像的圖像 圖圖2.10(2.10(b) u(-n-1)b) u(-n-1)的圖像的圖像 n 顯然有： 3矩形序列n定義： ) 1()()(nunun0)()(kknnu 01-Nn0 1其它nrN 圖圖2.11 2.11 矩形序列矩形序列 4實指數(shù)序列n定義： ， a為實數(shù)， a0。nanx)( 圖圖2.12 2.12 實指數(shù)序列實指數(shù)序列 5. 正弦序列 n對正弦模擬信號 抽樣，就得到正弦序列：n )sin()(0ttxa)()sin()sin()(00nxnnTnTxssa 圖圖2.13 正弦序列正弦序列n0為實常數(shù)，顯然有：0=0Ts，寫成一般形式：=Ts。其中為模擬

18、角頻率，其單位為弧度/秒，它與頻率 f（單位：1/秒，或赫茲）的關系為： = 2f，因此 是具有真正物理意義的量。n而 叫數(shù)字角頻率，其單位為弧度，也可以說是無量綱的，因此它并不具有真正的物理意義，而是為了我們處理離散信號方便而引入的一個量。數(shù)字角頻率與模擬角頻率之間總是成正比的關系，比例常數(shù)就是抽樣周期Ts。n 例例 2 . 32 . 3 設 正 弦 信 號 x1( t ) = s i n ( 2 0 0 t ) , x2(t)=sin(500t), 如果用相同的抽樣率對它們進行抽樣，問最低的抽樣頻率fs等于多少？用此fs抽樣后分別得到離散信號x1(n)和x2(n)，寫出x1(n)和x2(n

19、)的表達式。這兩個離散信號的模擬頻率分別是多少？數(shù)字角頻率又分別等于多少？n 解：模擬信 x1(t)=sin(200t) x2(t)=sin(500t)n 角頻率 1 =200弧度/s 2 =500弧度/sn因此最低抽樣頻率：s =22=1000弧度/s, fs =s/(2)=500Hz。 x1(n)=sin(200nTs)=sin(200n/fs)=sin(0.4n) x2(n)=sin(500nTs)=sin(500n/fs)=sin(n)nx1(n)：模擬角頻率1=200弧度/s, 模擬頻率f1=100Hz, 數(shù)字角頻率1=1Ts=1/fs=0.4；nx2(n)：模擬角頻率2=500弧度

20、/s, 模擬頻率f2=250Hz, 數(shù)字角頻率2 =2Ts=2/fs=。 n任意一個離散序列都可以表示為各延時單位抽樣序列的幅度加權之和，即： kknkxnxnxnxnxnxnx)( ) 2(2) 1(1)(0) 1() 1() 2() 2()(2.3 2.3 離散系統(tǒng)及其線性和時不變性離散系統(tǒng)及其線性和時不變性 2.3.1 2.3.1 離散系統(tǒng)的定義及其單位抽樣響應離散系統(tǒng)的定義及其單位抽樣響應n 定義： 離散系統(tǒng)是將一個序列變成另一個序列的系統(tǒng)。n 從數(shù)學上定義：離散系統(tǒng)是輸入序列x(n)映射成輸出序列y(n)的唯一性變換或運算，記為： )()(nxTny算子T 表示變換，定義不同的變換就

21、代表不同的離散系統(tǒng)。 圖圖2.14 2.14 離散系統(tǒng)的模型離散系統(tǒng)的模型n對于某一輸入信號，離散系統(tǒng)的輸出也叫做系統(tǒng)對該輸入的響應。一個離散系統(tǒng)的單位抽樣響應是指該系統(tǒng)對單位抽樣序列的響應，也就是說，當輸入信號是單位抽樣序列(n)時的輸出信號就是此離散系統(tǒng)的單位抽樣響應，記為h(n)，即h(n)=T(n)。nh(n)是離散系統(tǒng)的重要參量之一，它描述了系統(tǒng)的時域特性，每一個確定的離散系統(tǒng)都對應著一個確定的單位抽樣響應，因此，h(n)也可以用來代表一個系統(tǒng)。單位抽樣響應有時也叫做沖激響應。 2.3.2 2.3.2 離散系統(tǒng)的線性離散系統(tǒng)的線性n設 x1(n) 和x2(n) 是兩個任意的離散信號，

22、ab 為兩個任意常數(shù)，若系統(tǒng)T 滿足： n則此離散系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。)()()()(2121nxbTnxaTnbxnaxTn也即，令 n若y(n)= y(n)，則此系統(tǒng)是線性的。因此，所謂線性應包括兩重意思：)()()(21nbxnaxTny)()()( 21nxbTnxaTnya) 齊次性： b) 可加性： n如果一個系統(tǒng)是線性的，則無論輸入信號有多少個，它們的線性組合的變換總是等于變換之后的線性組合。 )()(nxaTnaxT)()()()(2121nxTnxTnxnxTn 例例2.42.4 設系統(tǒng)為 ，判斷它是不是一個線性系統(tǒng)。n解：設x1(n) 和x2(n)是兩個任意的離散信號，a、b為

23、任意常數(shù)，有：n dncxnxT)()(dnbcxnacxdnbxnaxcnbxnaxTny)()()()()()()(212121n要使 y(n)=y(n)，必須有：d = d(a+b)，只有d=0，才能使此式對任意常數(shù)a、b都成立。因此，當d=0時此系統(tǒng)是線性的，否則就是非線性的。 )()()()()()()()(212121badnbcxnacxdncxbdncxanxbTnxaTny 2.3.3 2.3.3 離散系統(tǒng)的時不變性離散系統(tǒng)的時不變性n離散系統(tǒng)的時不變性是指系統(tǒng)的特性不隨時間變化，用數(shù)學表示為：設對系統(tǒng)T 有: Tx(n)=y(n), n0為一整數(shù)，若 Tx(n-n0)=y(

24、n-n0), 則此系統(tǒng)是時不變的。n0 x(n)123n0 x(n-n0)n0n0y(n)1234n0y(n)n0 圖圖2.15 2.15 離散系統(tǒng)的時不變性離散系統(tǒng)的時不變性n判斷一個系統(tǒng)是否時不變，就要檢驗它對任意的一個序列x(n)，先移位后再進行變換與先變換后再進行移位的輸出信號是否相同。n例例2.52.5 判斷系統(tǒng) 是否是時不變的。n先移位再變換： n先變換： ，n再移位： n由于 ，故此系統(tǒng)是時不變的。 )()()(nydncxnxTdnncxnnxT)()(00dncxnxTny)()()(dnncxnny)()(00)()(00nnynnxT 2.3.4 線性時不變線性時不變(L

25、TI)系統(tǒng)系統(tǒng)n 如果一個離散系統(tǒng)既是線性的又是時不變的，則此系統(tǒng)就叫做線性時不變系統(tǒng)，簡稱為LTI(Linear-Time-Invariant)系統(tǒng)。n LTI系統(tǒng)對任一輸入信號x(n)的響應： n即，線性時不變系統(tǒng)的輸出序列是輸入序列與該系統(tǒng)的單位抽樣響應序列的離散線性卷積，這是線性時不變系統(tǒng)的一個非常重要的性質。 )()()()()(nhnxknhkxnyk 2.4 2.4 離散信號的線性卷積離散信號的線性卷積 2.4.1 2.4.1 離散線性卷積的定義離散線性卷積的定義n 設x1(n)和x2(n)是兩個任意的離散信號，我們定義 kknxkxnxnxny)()()()()(2121n為這

26、兩個離散信號的線性卷積。線性卷積滿足交換律，即又有： n求和變量k的取值范圍取決于x1(k) 和x2(n-k)的長度和取值范圍， 并且最后得到的卷積結果即序列y(n)的長度和取值范圍也取決于x1(n) 和x2(n)的長度和取值范圍。kknxkxnxnxny)()()()()(1212 2.4.2 離散線性卷積的計算離散線性卷積的計算 1. 1. 由解析式計算由解析式計算n 利用公式 或者 進行計算。kknxkxny)()()(21kknxkxny)()()(12n例例2.62.6 已知 x1(n)=anu(n), x2(n)=bnu(n), 并且 0|a|1, 0|b|1. 計算：y(n)=x

27、1(n)*x2(n).n 解：n當 n0 時，y(n)=0n當 n0 時， kknxkxny)()()(21b anbbaabababbbanynnnnkknnkknk ) 1( )()(11010 2 2作圖法作圖法n 作圖法一般用于序列的長度有限并且容易用圖表示出來的情形。設序列x(n)長度為N，h(n)的長度為M，用作圖法來計算線性卷積：n kknhkxnhnxny)()()()()( 圖圖2.16 2.16 用作圖法計算線性卷積用作圖法計算線性卷積n例例2.72.7 一個LTI 系統(tǒng)的單位抽樣響應為 h(n)=(0.9)n u(n)，求當輸入信號為 x(n)=u(n)u(n-10)時的

28、輸出 y(n)。n 解： x(n)實際上是一個矩形序列：n ， 而h(n)無限長，故翻轉x(n)，于是有： 其它 09n0 1)(nx 1）n0： 2）0n8: 3) n9: 0)()9 . 0()(*)()(kkknxnxnhny0)(nynknnkny011)9 . 0(1 109 . 01)9 . 0(11)9 . 0()()9 . 0(1 )9 . 0(109 . 01)9 . 0()9 . 0(1)9 . 0()(109199nnnnnkknyn 對于上面三種情況，如果分別畫出圖來，就會容易地確定各種情況的求和范圍。這道題實際上是將作圖法與解析式計算相結合來求解的。 3 3排序法排序

29、法 例例2.82.8 設序列A=a1,a2,a3,a4,B=b1,b2,b3, 序列C=A*B=c1,c2,c3,c4,c5,c6, 求 ci, i=1,2,6。 解： a1 a2 a3 a4 b3 b2 b1 c1 = a1b1 b3 b2 b1 c2 = a1b2+a2b1 b3 b2 b1 c6 = a4b3 2.5 2.5 離散系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性離散系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性 2.5.1 因果性因果性n 若一個系統(tǒng)的輸出變化不會發(fā)生在輸入變化之前，則此系統(tǒng)為因果系統(tǒng)；也就是說，一個因果系統(tǒng)，如果其輸入信號未發(fā)生變化，其輸出信號也不會發(fā)生變化。n 用數(shù)學來表示：對于一個離散系統(tǒng)，我們取一個時

30、刻n0，并已知當 n n0 時，對輸入信號有x1(n)=x2(n)，如果對輸出信號當nn0 時，也有 y1(n)=y2(n)，則此系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。n 關于LTI系統(tǒng)的因果性，有下面的重要性質： n一個線性時不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充分必要條件是其單位一個線性時不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充分必要條件是其單位抽樣響應抽樣響應h(n) h(n) 當當n0n0時等于零。時等于零。n 因果序列：如果一個序列當n0時等于零，則此序列為因果序列。于是有：一個線性時不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充分必要條件是其單位抽樣響應為因果序列。 2.5.2 穩(wěn)定性穩(wěn)定性n 一個離散系統(tǒng)，當輸入序列有界時，如果其輸出序列也有界，則此系統(tǒng)是穩(wěn)

31、定系統(tǒng)。從數(shù)學上來描述：對一個離散系統(tǒng)，當其輸入序列滿足： ， 對一切 n，n若輸出序列也有：y(n)，對一切n，則此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。n 線性時不變系統(tǒng)穩(wěn)定的條件： )(nxnnh)(n 例例2.92.9 已知h(n) = an u(n)，并知此系統(tǒng)是線性時不變的，試判斷其穩(wěn)定性。n 解： n當a1時，此級數(shù)收斂，且有 ，故此時該 LTI系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 00)(nnnnnaanhaanhnnn11)(02.6 2.6 離散信號的傅里葉變換離散信號的傅里葉變換 2.6.1 2.6.1 問題的提出問題的提出 n 連續(xù)信號xa(t) 經(jīng)抽樣就得到離散信號，而的頻譜() 是xa(t) 的頻譜 Xa()

32、在軸上的周期延拓。即： nsasanXTX)(1)(n 這一節(jié)要解決的問題：如何直接對離散信號進行傅里葉變換而得到其頻譜函數(shù)。離散信號的傅里葉變換也叫做離散時間傅里葉變換(DTFT)。 2.6.2 2.6.2 傅里葉變換對的推導傅里葉變換對的推導 njnTsanssanssaaasenTxnTtFnTxnTtnTxFtxFX)()()()()()()(n 最后的結果正是這個頻域周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式。下面我們與一個時域的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式進行比較。 ntjnneAtf0)(njnTsaasenTxX)()(nf(t)： 時間變量 t 周期 T0 系數(shù) Ann ： 頻率變量

33、周期 s 系數(shù) xa(nTs)n兩個傅里葉級數(shù)的表達式一一對應。于是，由系數(shù)An 的表達式： n就可以寫出系數(shù)a(nTs)的表達式： 002TsssTT2222/2/000)(TTtjnndtetfA22)(1)(sssdeXnTxjnTassa)(aXn 于是就得到了離散信號的傅里葉變換對。將這對變換關系完全用數(shù)字域中的符號表示出來： n 因為是模擬角頻率的周期函數(shù)，周期為s = 2/Ts，所以X(ej) 即是數(shù)字角頻率的周期函數(shù)，周期為sTs = 2。（反變換）（正變換） )(21x(n) )()(deeXenxeXjnjnjnjn 例例2.102.10 已知x(n)=3(n-2)-(0.

34、5)n u(n)，求這個離散信號的頻譜。 0.5e-11-3)5 . 0 (3e )() 5 . 0 () 2(3)()( j -20nj2-jnjnjnnnjnnjnjeeenuenenxeX解： 2.6.3 2.6.3 離散信號傅里葉變換的性質離散信號傅里葉變換的性質 1. 1. 離散信號傅里葉變換的周期性離散信號傅里葉變換的周期性n 離散信號的傅里葉變換X(ej) 是的周期函數(shù)，周期為2。容易證明： )()2(jjeXeX2 2時域與頻域之間相乘與卷積的映射關系時域與頻域之間相乘與卷積的映射關系 (1) 設x1(n)和x2(n)是兩個離散序列，則有： jjFeXeXnxnx2121n證明

35、： nknjkjknkjnjnneknxekxeknxkxenxnxnxnxF)(21212121)()()()()()( )()()(122121jjkjjkmjmkjkeXeXeXekxk)n(m emxekx (2) 設x1(n)和x2(n)是兩個離散序列，則有： deXeXeXeXnxnxjjjjF)(21)()(21)()()(2121213. 3. 離散信號傅里葉變換的對稱性離散信號傅里葉變換的對稱性n 共軛對稱序列定義為： ；共軛反對稱序列定義為： 。 這里上標 * 表示共軛。)()(*nxnxee)()(*nxnxoon 任何一個序列x(n)總能夠表示為一個共軛對稱序列與一個共

36、軛反對稱序列之和，即： n其中， )()()(nxnxnxoe)(*)(21)(nxnxnxe)(*)(21)(nxnxnxon 共軛對稱的實序列即為偶序列，共軛反對稱的實序列即為奇序列。n 共軛對稱和共軛反對稱的概念也可用于函數(shù)。n共軛對稱的傅里葉變換： ；共軛反對稱的傅里葉變換：。n對于任意傅里葉變換都有： )()(*jejeeXeX)()(*jojoeXeX)()()(jojejeXeXeXn其中， n 若實函數(shù)共軛對稱，則為偶函數(shù)；共軛反對稱，則為奇函數(shù)。n 離散信號傅里葉變換的對稱性：n設 ，若x(n) 為復序列，則有：)()(jFeXnx)()(21)(*jjjeeXeXeX)()

37、(21*jjjoeXeXeX1. 2. 3. Re 表示實部4. Im 表示虛部5. 6 )(*)(*jFeXnx)(*)(*jFeXnx)()(RejeFeXnx)()(joFmeXnxjI)(Re)(jFeeXnx)()(jmFoeXjInxn才若 x(n) 為實序列，則有：1. 實序列的傅里葉變換是共軛對稱2. 實序列傅里葉變換的實部是的偶函數(shù)3. 實序列傅里葉變換的虛部是的奇函數(shù)4. 實序列傅里葉變換的模是的偶函數(shù))()(*jjeXeX)()(jejeeXReXR)()(jmjmeXIeXI)()(jjeXeX5. 實序列傅里葉變換的幅角是的奇函數(shù)6. 7. n即有，實序列的傅里葉變換

38、是共軛對稱的；實序列傅里葉變換的實部和模都是的偶函數(shù)，而虛部和幅角都是的奇函數(shù)。 )(arg)(argjjeXeX)()(jeFeeXRnx)()(jmFoeXjInx 2.6.4 2.6.4 線性時不變系統(tǒng)的頻率響應線性時不變系統(tǒng)的頻率響應n 線性時不變系統(tǒng)的輸入輸出關系為： n根據(jù)時域卷積與頻域相乘的對應關系，可得： kknhkxnhnxny)()()()()()()()(jjjweHeXeYn定義： 線性時不變系統(tǒng)的頻率響應為 nH(ej)表征了系統(tǒng)的頻率特性，它是的周期函數(shù)，周期為2；一般來講，它是的復函數(shù)，其幅度|H(ej)|表示這個LTI系統(tǒng)的幅頻特性，而其相角H(ej)則表示該系

39、統(tǒng)的相頻特性。)()()(jjjeXeYeH.7 .7 離散信號的離散信號的z z變換變換n在線性離散系統(tǒng)中，z變換所起的作用與線性模擬系統(tǒng)中拉氏變換的作用相似，它可以將解離散系統(tǒng)差分方程的時域方法轉換為解代數(shù)方程的頻域方法?？傊?，z變換在離散信號處理中起著相當重要的作用。 2.7.1 2.7.1 z z變換的定義及其收斂域變換的定義及其收斂域n序列x(n)的z變換定義為： z為復變量n對于任意給定的序列x(n)，使其z變換收斂的z值集合稱為X(z)的收斂區(qū)域或收斂域，即： 收斂域 z：X(z) 存在 nz變換中冪級數(shù)的收斂域為z平面上的一環(huán)狀區(qū)域，即：R-|z|R+，這里 R- 可小到0，R

40、+ 可大到 。nnznxnxZzX)()()( 2.7.1.1 2.7.1.1 右邊序列右邊序列n nn0時等于零的序列稱為右邊序列, 這里n0為某一整數(shù)。n一個典型的右邊序列是： )()(1nuanxnn其z變換： n收斂域由式中冪級數(shù)的收斂條件az-1a，也即R-=a， R+=。nX1(z) 是一個有理函數(shù)，其分子多項式的根稱為X1(z)的零點，分母多項式的根稱為 X1(z) 的極點。azzazazznuazXnnnnn101111)()()( 圖圖2.17 右邊序列右邊序列z變換的極點和收斂域變換的極點和收斂域圖圖2.18 左邊序列左邊序列z變換的極點和收斂域變換的極點和收斂域 2.7.

41、1.2 2.7.1.2 左邊序列左邊序列n nn0 (n0為一整數(shù))時等于零的序列稱為左邊序列。一個典型的左邊序列是： ) 1()(2nuanxnn其z變換： n收斂域由式中冪級數(shù)的收斂條件a-1z1所確定, 為zR-，左邊序列收斂域為zR+ ，因此若R-R+，則雙邊序列收斂域為：nR-zR+，也即為兩個單邊序列收斂域的重疊部分，這是一個環(huán)狀區(qū)域，z變換的極點都不在此環(huán)內。若R-R+，則此收斂域不存在，也即這個雙邊序列的z變換不存在。n 例例2.11 求雙邊序列 的z變換，設|b|c|。 ) 1()()(3nucnubnxnn 圖圖2.19 2.19 雙邊序列雙邊序列z z變換的收斂域變換的收

42、斂域n 解： n 收斂域： |b|z|a| 的范圍內成立，而另一個卻在 |z|a| 的范圍內成立，也就是說，兩個表示式中的z不可能是z平面上的同一點。 czzbzzzczbznxzXnnnnnnnn1033)()(n事實上，這兩個z變換分別對應兩個不同的序列。因此，只有當兩個z變換的表達式和收斂域都相同時，它們對應的序列才相同。n z變換X(z)的收斂域與其極點關系密切，由極點的位置可以確定收斂域。 2.7.2 2.7.2z z變換的性質變換的性質n 設 ； xxRzR zXnxZ),()(yyRzR zYnyZ),()(1 1z z變換的線性變換的線性n 即序列線性組合的z變換等于這些序列各

43、自的z變換的線性組合，用數(shù)學表示為：n a、b為任意常數(shù) n總的收斂域為R- z0；n ， z = 是 二 階 極 點 ， 故 收 斂 域 為 |z|。1)(nZ1)1(znZ2)2(znZ 3 3乘以指數(shù)序列后的乘以指數(shù)序列后的z z變換變換 n 收斂域：n 若X(z)有零點或極點z1，則X(a-1z)就有零點或極點az1。)()(1zaXnxaZnxxRazRa| | | 4 4 序列序列nx(n) nx(n) 的的z z變換變換n 收斂域仍為： 5 5 共軛復序列的共軛復序列的z z變換變換n 收斂域仍為： dzzdXznnxZ)()(xxRzR|)()(*zXnxZxxRzR| 6 6

44、 翻轉序列的翻轉序列的z z變換變換 Zx(-n)=X(1/z) (1/Rx+)|z|(1/Rx-) 7. 7. 初值定理初值定理n 若x(n) 為因果序列，則有： )(lim)0(zXxz 8. 8. 終值定理終值定理n 設x(n)為因果序列，并且X(z)在單位園外無極點，在單位園上也最多在z=1處有一階極點，則： n或者寫為： x() = ResX(z),z=1 )() 1(lim)(lim1zXznxzn 9. 9. 時域與時域與z z域之間相乘與卷積的映射關系域之間相乘與卷積的映射關系 (1) 序列的卷積的 z 變換等于這兩個序列各自的 z 變換的乘積，即： n這就是說，時域的卷積關系

45、映射到復頻域為相乘的關系 )()()()(2121zXzXnxnxZ (2) 時域的相乘關系映射到復頻域為復卷積的關系。n 設 ，則： nW(z)的收斂域為Rx-z/v Rx+ 與Ry-v Ry+ 的重疊部分，而積分圍線c1則是此收斂域內的一條包圍原點的閉合曲線。)()()(nynxnw11)()(21)()(cdvvvYvzXjnwZzWn或者 n此時收斂域為Rx-v Rx+ 與Ry-z/v1: 此時收斂域在|z|=1的園之外，所以有： （右邊序列）(2）收斂域|z|1/3: 此時收斂域在|z|=1/3的園之內，所以有： （左邊序列） )(3121)(21)(1nununxn) 1()31(

46、21) 1(21)(2nununxn (3) 收斂域1/3z0時的x(n)，就應該選擇（2.86）式，因為此時X(z)在圍線c內有有限個極點, 并且zn-1在z = 0解析；而不用（2.87）式，因為zn-1(尤其是當n較大時)在z=有高階極點。n 當收斂域在園內，應計算n0的x(n)，而利用c外的極點求得n0的x(n)。n但是實際上，0不一定是分界點。下面，我們總結出用留數(shù)法來求z反變換的一般方法。n首先，將X(z)中所包含的z的整數(shù)冪分離出來，即，將X(z)表示為：X(z)=X0(z)zm，這里，m是一個整數(shù)。 n這樣，X0(z)就在z=0和z=都解析。于是有： X(z)zn-1=X0(z

47、)zmzn-1=X0(z)zm+n-1=X1(z)。在確定了X(z)的收斂域以及圍線c的位置之后， 對圍線內X0(z)的極點求X1(z)的留數(shù)就得到n1-m時的x(n)；對圍線外X0(z)的極點求X1(z)的留數(shù)就得到n1: 此時收斂域在|z|=1的園外，圍線c之內包含X0(z)的兩個極點，所以有：n當n1-m=0時，x(n)=0；而當n1-m=0時，有： nznznzzzzzzzXzzzzXszzXsnx312121 ) 1(3)31(3)()31()(1)X-(z 31),(Re 1),(Re)(31131111111(2）收斂域|z|1/3: 此時收斂域在|z|=1/3的園內，圍線c之外

48、包含X0(z)的兩個極點，所以有： n當n1=m=0時，x(n)=0；而當n1-m=0時，有： nzzXszzXsnx)31(2121 31),(Re 1),(Re)(112(3) 收斂域1/3 z 1: 此時收斂域在一個環(huán)內，X0(z)的極點 z1=1在圍線c之外，而 z2=1/3在圍線c之內, 于是有：n當n1-m=0時， n當n1-m=0時， n因此，當收斂域在環(huán)內， nzzXsnx)31(2131),(Re)(1321 1),(Re)(13zzXsnx)(3121) 1(21)(3nununxn 2.7.4 2.7.4 z z變換與傅里葉變換的關系變換與傅里葉變換的關系n序列x(n)

49、的z變換為： n令復變量z = rej，代入上式，得： n令r = 1，即z = ej，則上式為： nnznxzX)()(njnnjernxreX)()(njnjenxeX)()(n這正是x(n) 的傅里葉變換式。變量既表示數(shù)字角頻率，又表示復數(shù)z的幅角。z=ej 表示z 在單位圓上取值，因此，傅里葉變換就是單位圓上的z變換。n又，z反變換關系式為： cndzzzXjnx1)(21)(n設單位圓在X(z)的收斂域內，因此可將單位圓作為積分圍線c，即有z = ej，代入上式，得： n這正是離散信號x(n) 的傅里葉變換的反變換式。deeXjdeeeXjnxjnjjnjj)(21 )(21)()1

50、(n對傅里葉變換： n 因此，若 ，則 ，傅里葉變換收斂。 對z變換： nnjnnjnjnxenxenxeX)()(|)(| )(|nnx)()(jeXnnjnnnnjnnnnrnxernxernxznxzX)()(|)(|)(| )(|n因此，若 ，便有X(z)，z變換收斂。n 因此，如果序列x(n) 的傅里葉變換不收斂，一般還可以在z平面上找到一個區(qū)域，使其z變換收斂。n模擬信號xa(t)及其抽樣信號 (也即x(n)在時域和頻域中的相互關系： nnrnx)()(txa 圖圖2.24 2.24 模擬信號及其抽樣信號在時域和頻域中的相互關系模擬信號及其抽樣信號在時域和頻域中的相互關系 nssa

51、anTtnTxtx)()()(nsssaaTnTtcnTxtx)(sin)()(nsasanXTX)(1)()2( )()(casarectXTX2.8 2.8 離散系統(tǒng)的差分方程，系統(tǒng)函數(shù)及其零極點離散系統(tǒng)的差分方程，系統(tǒng)函數(shù)及其零極點 2.8.1 2.8.1 離散系統(tǒng)的差分方程離散系統(tǒng)的差分方程1 1非遞歸型非遞歸型n非遞歸即輸出對輸入無反饋。非遞歸型系統(tǒng)就是輸出值僅僅取決于輸入值的系統(tǒng)，這樣的系統(tǒng)在 n 時刻的輸出值為： ),.1(),(),1(.,)(nxnxnxfnyn若此系統(tǒng)是線性時不變的，則有： ， ai 為常數(shù)n若此系統(tǒng)又是因果的，則當iN時，ai = 0，則： n 這是一個N

52、階線性差分方程，N為系統(tǒng)的階次。 iiinxany)()(0)()(iiinxanyNiiinxany0)()(2. 2. 遞歸型遞歸型n 所謂遞歸就是輸出對輸入有反饋。遞歸型系統(tǒng)的輸出值不僅取決于輸入值，也取決于輸出值，在n時刻的輸出值可以一般地表示為： ),.1(),1(.,),.1(),(),1(.,)(nynygnxnxnxfnyn若系統(tǒng)是線性、時不變、因果的，則有： n這里ai、 bi為常數(shù)。n 當bi =0時，遞歸型就成了非遞歸型，亦即非遞歸形是遞歸型的特例。 NiiMiiinybinxany10)()()( 2.8.2 2.8.2 離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)n 線性、時

53、不變、因果系統(tǒng)的差分方程又可以寫為： n兩邊進行z變換，得： n于是有： MiiNjjinxajnyb00)()(NjMiiijjzXzazYzb00)()(NjjjMiiizbzazXzYzH00)()()(n H(z) 定義為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，又叫做傳遞函數(shù)或者傳輸函數(shù)。因此，線性、時不變、因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是一個有理函數(shù)，其分子、分母多項式的系數(shù)分別對應于描述該系統(tǒng)的差分方程中的右邊和左邊的各系數(shù)。n 系統(tǒng)函數(shù)H(z) 實際上就是系統(tǒng)的單位抽樣響應h(n) 的z變換，這是因為，對于LTI系統(tǒng)有： )()()(nhnxnyn令Y(z)、X(z)、H(z) 分別表示y(n)、x(n)、h(

54、n) 的z變換，則由序列卷積的z 變換特性，有： n這個式子與系統(tǒng)函數(shù)H(z)的定義式等價。n 如果令z = ej，便有： ，這正是前面所定義的離散系統(tǒng)的頻率響應。 )()()(zHzXzY)()()(jjjeXeYeH 2.8.3 2.8.3 系統(tǒng)函數(shù)的零極點系統(tǒng)函數(shù)的零極點 n 對系統(tǒng)函數(shù)H(z) 的分子分母多項式進行因式分解，得到： n 設MN，將（2.100）式兩邊同乘以zM，有： NjjMiizdzcAzH1111)1 ()1 ()(NjjNMMiidzzczAzH11)()()(n 令z= ej，代入上式：NjjjNMjMiijjdeeceAeH1)(1)()()()(1)(1)(

55、jjNjjNMjMiieeHDeCA 圖圖2.25 2.25 系統(tǒng)函數(shù)的零點和極點與系統(tǒng)的頻率響應的關系系統(tǒng)函數(shù)的零點和極點與系統(tǒng)的頻率響應的關系 n將向量和 用極坐標表示： n系統(tǒng)的幅頻響應為： n系統(tǒng)的相頻響應為： (設A0) ijiieCCjjjjeDDNjjMiijDCAeH11)()()(11NMNjjMiin這說明，系統(tǒng)的幅頻響應由系統(tǒng)函數(shù)的各零點到ej點的向量的模值之乘積與各極點到ej點的向量的模值之乘積的比確定；系統(tǒng)的相頻響應由系統(tǒng)函數(shù)的各零點到ej點的向量的相角之和與各極點到ej點的向量的相角之和的差確定。 從圖2.25可以看到，幅頻響應H(ej)作為的函數(shù)，其大小隨ej點在

56、單位圓上的移動而變化。 n當ej點移到零點附近時，由于作為分子的向量模值變得很小，因此幅頻響應將出現(xiàn)谷值；當ej點移到極點附近時，使作為分母的向量模值變得很小，從而幅頻響應將出現(xiàn)峰值。若零點位于單位圓上，則當ej點與此零點重合時，谷值將等于零；若極點位于單位圓上，則當ej點與此極點重合時，峰值將變?yōu)闊o窮大。 2.8.4 2.8.4 線性時不變因果系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性時不變因果系統(tǒng)的穩(wěn)定性n 已經(jīng)看到，當系統(tǒng)函數(shù)的極點在單位圓上，其幅頻響應將出現(xiàn)無窮大，因而系統(tǒng)就會不穩(wěn)定。至于LTI因果系統(tǒng)函數(shù)的極點在單位園之內或者之外與系統(tǒng)穩(wěn)定性的關系， 可以通過考察 是否滿足而得出，結果如下。0)(nnh(1)

57、 若H(z)所有極點都在單位園的內部，也即單位圓在收斂域內，那末系統(tǒng)是穩(wěn)定的。(2) 只要有一個極點 在單位圓外，系統(tǒng)就不穩(wěn)定。n即有，一個線性時不變的因果系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)函數(shù)H(z)的所有極點都在z平面的單位圓內。顯然，對于因果線性時不變的穩(wěn)定系統(tǒng)，單位圓必定在其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域內。2.9 2.9 MatlabMatlab方法方法 2.9.1 2.9.1 常用序列及序列運算的常用序列及序列運算的MatlabMatlab實現(xiàn)實現(xiàn)1 1 單位抽樣序列單位抽樣序列n函數(shù) zeros(1,N) 可以產(chǎn)生一個包含 N 個零的行向量，在給定的區(qū)間上，可以用這個函數(shù)來產(chǎn)生。這個函數(shù)的輸

58、入?yún)?shù)應該滿足條件。 2 2單位階躍序列單位階躍序列n函數(shù) ones(1,N) 產(chǎn)生一個由 N 個 1 組成的行向量,在給定的區(qū)間上，可以用它來產(chǎn)生。這個函數(shù)的輸入?yún)?shù)應該滿足條件 。3 3矩形序列矩形序列n其 Matlab 實現(xiàn)為： n rect = zeros(1,N),ones(1,M),zeros(1,P)201nnn4 4實指數(shù)序列實指數(shù)序列n符號“.”用來實現(xiàn)一個實指數(shù)序列。n 例例2.182.18 用Matlab實現(xiàn) 。 n =0:10; x = (0.5).n; stem(n,x); 100,)5 . 0()(nnxn圖圖2.26 例例2.18的圖形的圖形5 5正弦序列正弦序列

59、n函數(shù)sin（或cos）產(chǎn)生正（余）弦序列。n 例例2.19 2.19 用Matlab 實現(xiàn) x(n)=2sin(0.6n) + 3cos(0.3n+ /3)， 0n10。 n = 0:0.1:10; x = 2*sin(0.6*pi*n) + 3*cos(0.3*pi*n+ pi/3); plot(n,x); 圖圖2.27 例例2.19的圖形的圖形6序列的翻褶序列的翻褶ny(n)=x(-n)的Matlab實現(xiàn)為： y=fliplr (x); n=-fliplr (n); 7信號的能量：信號的能量： n 在Matlab中采用函數(shù)conj來求一個復數(shù)的共軛，而離散序列的能量的 Matlab 實現(xiàn)

60、可以采用下述任一種方法。（1）E=sum(x.*conj(x);（2）E=sum(abs(x)，.2);nnnxnxnxE)()()(21 n例例2.20 用Matlab實現(xiàn)下列序列，并畫出相應圖形。 n解： n=0:10; x=n*Unitstepseq(0,0,10)+3*(0.5).(3*n); stem(n,x); xlabel(n); ylabel(x(n);100,)5 . 0(3)()(3nnnunxn 圖圖2.28 例例2.20 的圖形的圖形8序列的離散線性卷積計算序列的離散線性卷積計算nMatlab 中計算兩個有限長序列的線性卷積的函數(shù)是conv ，該函數(shù)假設兩個序列都是從n