高中數(shù)學推理與證明習題 蘇教版選修22

1、第二章 推理與證明習題 蘇教版選修2-21合情推理的妙用合情推理包括歸納推理和類比推理，在近幾年的高考試題中，關(guān)于合情推理的試題多與其他知識聯(lián)系，以創(chuàng)新題的形式出現(xiàn)在考生面前下面介紹一些推理的命題特點，揭示求解規(guī)律，以期對同學們求解此類問題有所幫助一、歸納推理的考查1數(shù)字規(guī)律周期性歸納例1觀察下列各式：553 125,5615 625,5778 125，則52 013的末四位數(shù)字為_解析553 125,5615 625,5778 125，58末四位數(shù)字為0625,59末四位數(shù)字為3125,510末四位數(shù)字為5625,511末四位數(shù)字為8125,512末四位數(shù)字為0625，由上可得末四位數(shù)字周期

2、為4，呈規(guī)律性交替出現(xiàn)，52 01354×5025末四位數(shù)字為3125.答案3125點評對于具有周期規(guī)律性的數(shù)或代數(shù)式需要多探索幾個才能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，當已給出事實與所求相差甚“遠”時，可考慮到看是否具有周期性2代數(shù)式形式歸納例2設(shè)函數(shù)f(x)(x>0)，觀察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：當nN*且n2時，fn(x)f(fn1(x)_.解析依題意，先求函數(shù)結(jié)果的分母中x項系數(shù)所組成數(shù)列的通項公式，由1,3,7,15，可推知該數(shù)列的通項公式為an2n1.又函數(shù)結(jié)果的分母中常數(shù)項依次為2,

3、4,8,16，故其通項公式為bn2n.所以當n2時，fn(x)f(fn1(x).答案點評對于與數(shù)列有關(guān)的規(guī)律歸納，一定要觀察全面，并且要有取特殊值最后檢驗的習慣3圖表信息歸納例3古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，比如：圖(1)圖(2)他們研究過圖(1)中的1,3,6,10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似的，稱圖(2)中的1,4,9,16，這樣的數(shù)為正方形數(shù)下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是_289 1 024 1 225 1 378分析將三角形數(shù)和正方形數(shù)分別視作數(shù)列，則既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的數(shù)字是上述兩數(shù)列的公共項解析設(shè)圖(1)中數(shù)列1,3,6,10，

4、的通項公式為an，其解法如下：a2a12，a3a23，a4a34，anan1n.故ana1234n，an.而圖(2)中數(shù)列的通項公式為bnn2，因此所給的選項中只有1 225滿足a49b353521 225.答案點評此類圖形推理問題涉及的圖形構(gòu)成的元素一般為點題目類型為已知幾個圖形，圖形中元素的數(shù)量呈現(xiàn)一定的變化，這種數(shù)量變化存在著簡單的規(guī)律性，如點的數(shù)目的遞增關(guān)系或遞減關(guān)系，依據(jù)此規(guī)律求解問題，一般需轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的通項公式或前n項和等二、類比推理的考查1類比定義在求解類比某種熟悉的定義產(chǎn)生的類比推理型試題時，可以借助原定義來求解例1等和數(shù)列的定義是：若數(shù)列an從第二項起，以后每一項與前一項的

5、和都是同一常數(shù)，則此數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做等和數(shù)列的公和如果數(shù)列an是等和數(shù)列，且a11，a23，則數(shù)列an的一個通項公式是_解析由定義，知公和為4，且anan14，那么an2(an12)，于是an2(1)n1(a12)因為a11，得an2(1)n即為數(shù)列的一個通項公式答案an2(1)n點評解題的前提是正確理解等和數(shù)列的定義，將問題轉(zhuǎn)化為一個等比數(shù)列來求解2類比性質(zhì)從一個特殊式子的性質(zhì)、一個特殊圖形的性質(zhì)入手，提出類比推理型問題求解時要認真分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別，深入思考兩者的轉(zhuǎn)化過程是求解的關(guān)鍵例2平面內(nèi)的一個四邊形為平行四邊形的充要條件有多個，如兩組對邊分別平行類似地，寫出空間中

6、的一個四棱柱為平行六面體的兩個充要條件：充要條件_；充要條件_.解析類比平行四邊形的兩組對邊分別平行可得，兩組相對側(cè)面互相平行是一個四棱柱為平行六面體的充要條件類比平行四邊形的兩組對邊分別相等可得，兩組相對側(cè)面分別全等是一個四棱柱為平行六面體的充要條件類比平行四邊形的一組對邊平行且相等可得，一組相對側(cè)面平行且全等是一個四棱柱為平行六面體的充要條件類比平行四邊形的對角線互相平分可得，主對角線互相平分是一個四棱柱為平行六面體的充要條件類比平行四邊形的對角線互相平分可得，對角面互相平分是一個四棱柱為平行六面體的充要條件點評由平行四邊形的性質(zhì)類比到平行六面體的性質(zhì)，注意結(jié)論類比的正確性3類比方法有一些

7、處理問題的方法具有類比性，我們可以把這種方法類比應用到其他問題的求解中，注意知識的遷移例3已知數(shù)列an的前n項的乘積Tn3n1，則其通項公式an_.解析類比數(shù)列前n項和Sn與通項an的關(guān)系anSnSn1(n2)，得到數(shù)列前n(n2)項的乘積Tn與通項an的關(guān)系注意對n1的情況單獨研究當n1時，a1T13114.當n2時，an，a1不適合上式，所以通項公式an.答案.2各有特長的綜合法與分析法做任何事情都要講究方法，方法對頭，事半功倍；方法不當，事倍功半解答數(shù)學問題，關(guān)鍵在于掌握思考問題的方法，少走彎路，以盡快獲得滿意的答案證明數(shù)學問題的方法很多，其中綜合法與分析法是最常見、使用頻率最高的方法綜

8、合法是從已知條件出發(fā)，一步步地推導結(jié)果，最后推出要證明的結(jié)果，即從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理實際上是尋找它的必要條件；分析法則是從待證結(jié)論出發(fā)，一步步地尋求使其成立的條件，直至尋求到已知條件或公理、定義、定理等，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理實際上是尋找它的充分條件綜合法表現(xiàn)為“由因?qū)Ч?，分析法表現(xiàn)為“執(zhí)果索因”，它們的應用十分廣泛要證明一個命題正確，我們可以從已知條件出發(fā)，通過一系列已確立的命題(如定義、定理等)，逐步向后推演，最后推得要證明的結(jié)果，這種思維方法就叫做綜合法，可簡單地概括為“由因?qū)Ч?，即“由原因去推導結(jié)果”要證明一個命題正確，為

9、了尋找正確的證題方法或途徑，我們可以先設(shè)想它的結(jié)論是正確的，然后追究它成立的原因，再就這些原因分別研究，看它們成立又各需具備什么條件，如此逐步往上逆求，直至達到已知的事實，這種思維方法就叫做分析法，可簡單地概括為“執(zhí)果索因”，即“拿著結(jié)果去尋找原因”例1已知a>b>c，求證：0.分析首先使用分析法尋找證明思路證法一(分析法)要證原不等式成立，只需證.通分，得，即證.因為a>b>c，所以ab>0，bc>0，ac>0.只需證(ac)24(ab)(bc)成立由上面思路可得如下證題過程證法二(綜合法)a>b>c，ab>0，bc>0，ac

10、>0.4(ab)(bc)(ab)(bc)2(ac)2.，即0.0.從例題不難發(fā)現(xiàn)，分析法和綜合法各有其優(yōu)缺點：從尋求解題思路來看，分析法“執(zhí)果索因”，常常根底漸近，有希望成功；綜合法“由因?qū)Ч?，往往枝?jié)橫生，不容易奏效從表達過程而論，分析法敘述繁瑣，文辭冗長；綜合法形式簡潔，條理清晰也就是說，分析法利于思考，綜合法宜于表達因此，在實際解題時，把分析法和綜合法孤立起來運用是脫離實際的，兩者結(jié)合，互相彌補才是應該提倡的；先以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表達解題過程最后，提醒一下，對于一些較復雜的問題，不論是從“已知”推向“未知”，還是由“未知”靠攏“已知”，都是一個比較長的過

11、程，單靠分析法或綜合法顯得較為困難為保證探索方向準確及過程快捷，人們常常把分析法與綜合法兩者并列起來使用，即常采取同時從已知和結(jié)論出發(fā)，尋找問題的一個中間目標的“兩頭湊”的方法去尋求證明途徑：先從已知條件出發(fā)，看可以得出什么結(jié)果，再從要證明的結(jié)論開始尋求，看它成立需具備哪些條件，最后看它們的差距在哪里，從而找出正確的證明途徑例2設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，若函數(shù)f(x1)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱求證：f(x)為偶函數(shù)證明方法一要證f(x)為偶函數(shù)，只需證f(x)的對稱軸為x0，只需證0，只需證ab.因為函數(shù)f(x1)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，即x1與x關(guān)于y軸對稱，所以1，所以ab

12、，所以f(x)為偶函數(shù)方法二要證f(x)是偶函數(shù)，只需證f(x)f(x)因為f(x1)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，而f(x)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以f(x)f(x1)，f(x)f(x)f(x)1)f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)點評本題前半部分是用分析法證明，但尋找的充分條件不是顯然成立的，可再用綜合法證明，這種處理方法在推理證明中是常用的.3體驗反證法的獨到之處反證法作為一種證明方法，在高考中，雖然很少單獨命題，但是有時運用反證法的證明思路判斷、分析命題有獨到之處下面舉例分析用反證法證明問題的幾個類型：1證明否定性問題例1平面內(nèi)有四個點，任意三點不共線證明：以任意三點為頂點的三角形

13、不可能都是銳角三角形分析假設(shè)以四點中任意三點為頂點的三角形都是銳角三角形，先固定三點組成一個三角形，則第四點要么在此三角形內(nèi)，要么在此三角形外，且各個三角形的內(nèi)角都是銳角，選取若干個角的和與一些已知結(jié)論對照即得矛盾解假設(shè)以任意三點為頂點的四個三角形都是銳角三角形，四個點為A，B，C，D.考慮ABC，則點D有兩種情況：在ABC內(nèi)部和外部(1)如果點D在ABC內(nèi)部(如圖(1)，根據(jù)假設(shè)知圍繞點D的三個角ADB，ADC，BDC都小于90°，其和小于270°，這與一個周角等于360°矛盾(2)如果點D在ABC外部(如圖(2)，根據(jù)假設(shè)知BAD，ABC，BCD，ADC都小于

14、90°，即四邊形ABCD的內(nèi)角和小于360°，這與四邊形內(nèi)角和等于360°矛盾綜上所述，可知假設(shè)錯誤，題中結(jié)論成立點評結(jié)論本身是否定形式、唯一性或存在性命題時，常用反證法2證明“至多”“至少”“唯一”“僅僅”等問題例2A是定義在2,4上且滿足如下兩個條件的函數(shù)(x)組成的集合：對任意的x1,2，都有(2x)(1,2)；存在常數(shù)L(0<L<1)，使得對任意的x1，x21,2，都有|(2x1)(2x2)|<L|x1x2|.設(shè)(x)A，試證：如果存在x0(1,2)，使得x0(2x0)，那么這樣的x0是唯一的證明假設(shè)存在兩個x0，x0(1,2)，x0x0

15、，使得x0(2x0)，x0(2x0)，則由|(2x0)(2x0)|<L|x0x0|，得|x0x0|<L|x0x0|.所以L>1.這與題設(shè)中0<L<1矛盾，所以原假設(shè)不成立故得證點評若直接證明，往往思路不明確，而運用反證法則能迅速找到解題思路，從而簡便得證3證明較復雜的問題例3如果A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值分別等于A2B2C2的三個內(nèi)角的正弦值，則_A1B1C1和A2B2C2都是銳角三角形A1B1C1和A2B2C2都是鈍角三角形A1B1C1是鈍角三角形，A2B2C2是銳角三角形A1B1C1是銳角三角形，A2B2C2是鈍角三角形解析因為正弦值在(0°，1

16、80°)內(nèi)是正值，所以A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值均大于0.因此A1B1C1是銳角三角形假設(shè)A2B2C2也是銳角三角形，并設(shè)cos A1sin A2，則cos A1cos(90°A2)所以A190°A2.同理設(shè)cos B1sin B2，cos C1sin C2，則有B190°B2，C190°C2.又A1B1C1180°，(90°A2)(90°B2)(90°C2)180°，即A2B2C290°.這與三角形內(nèi)角和等于180°矛盾，所以原假設(shè)不成立，故選.答案例4已知abc>

17、;0，abbcca>0，abc>0.求證：a>0，b>0，c>0.分析若從正面證明，比較復雜，需要考慮的方面比較多，故采用反證法來證明證明假設(shè)a<0，由abc>0，知bc<0.由abc>0，知bc>a>0，于是abbccaa(bc)bc<0.這與已知矛盾又若a0，則abc0，與abc>0矛盾故a>0.同理可證b>0，c>0.小結(jié)至于什么情況下用反證法，應依問題的具體情況而定，切忌濫用反證法一般說來，當非命題比原命題更具體、更明確、更簡捷，易于推出矛盾時，才便于用反證法運用反證法證題時，還應注意以下三

18、點：1必須周密考察原結(jié)論，防止否定有所遺漏；2推理過程必須完全正確，否則，不能肯定非命題是錯誤的；3在推理過程中，可以使用已知條件，推出的矛盾必須很明確，毫不含糊另外，反證法證題的首要環(huán)節(jié)就是對所證結(jié)論進行反設(shè)，因此大家必須掌握一些常見關(guān)鍵詞的否定形式.關(guān)鍵詞否定是不是都是不都是等于()不等于()大于(>)不大于()小于(<)不小于()能不能至少有一個一個也沒有至多有一個至少有兩個至少有n個至多有n1個至多有n個至少有n1個任意存在存在任意4數(shù)學歸納法中如何用假設(shè)數(shù)學歸納法是高中數(shù)學重要的證明方法之一，它對證明與正整數(shù)有關(guān)的命題十分有效，解決這類問題的基礎(chǔ)是第一步，關(guān)鍵是第二步不管

19、何類題目，只要利用數(shù)學歸納法證明，其假設(shè)條件必須用上，下面我們結(jié)合實例說明數(shù)學歸納法的假設(shè)條件如何運用1直接運用例1用數(shù)學歸納法證明：11n(n是正整數(shù))證明(1)當n1時，左邊1，中間1，右邊1，所以不等式成立(2)假設(shè)當nk(k1，kN*)時，不等式成立，即11k.那么，當nk1時，1>12k·1，1<k2k·(k1)這就是說，當nk1時不等式成立根據(jù)(1)和(2)，知對任意正整數(shù)n，不等式均成立2配湊后運用例2已知f(n)1，求證：nf(1)f(n1)nf(n)(n2，且n是正整數(shù))證明(1)當n2時，左邊2f(1)213，右邊2f(2)2×3，

20、等式成立(2)假設(shè)當nk(k2，kN*)時，等式成立，即kf(1)f(k1)kf(k)那么，當nk1時，(k1)f(1)f(k1)f(k)1f(k)kf(k)(k1)f(k)1(k1)(k1)f(k1)這就是說，當nk1時等式成立根據(jù)(1)和(2)，知等式對從2開始的所有正整數(shù)n都成立點評解決此題的關(guān)鍵是盯住結(jié)論(k1)f(k1)，湊出系數(shù)k1.3增減項后運用例3證明：(n1)(n2)(n3)(2n)2n·1·3·5··(2n1)(n是正整數(shù))證明(1)當n1時，左邊2，右邊21·12，等式成立(2)假設(shè)當nk(k1，kN*)時，等式

21、成立，即(k1)(k2)(k3)(2k)2k·1·3·5··(2k1)那么，當nk1時，左邊(k2)(k3)(k4)(2k)(2k1)(2k2)，設(shè)法湊出假設(shè)：乘以(k1)，再除以(k1)，即左邊(k1)·(k2)(k3)(2k)(2k1)(2k2)·2k1·1·3·5··(2k1)·(2k1)，這就是說，當nk1時等式成立根據(jù)(1)和(2)，知等式對任意正整數(shù)n都成立點評對nk1時，等式的左邊乘一項，除一項(或加一項，減一項)，設(shè)法湊出假設(shè)條件的形式，從而證明nk

22、1時等式成立，這說明解題時要有目標意識.5用數(shù)學歸納法解題的常見誤區(qū)數(shù)學歸納法一般用于證明與正整數(shù)有關(guān)的問題，用數(shù)學歸納法證明時要分兩個步驟，且缺一不可本文舉例剖析用數(shù)學歸納法解題的幾類常見誤區(qū)誤區(qū)一、未注意初始值例1判斷242nn2n1對大于1的自然數(shù)n是否都成立，若成立，請給出證明錯證假設(shè)nk(k>1，kN*)時，結(jié)論成立，即242kk2k1，則242k2(k1)k2k12(k1)(k1)2(k1)1.所以當nk1時，等式也成立因此，對大于1的自然數(shù)n,242nn2n1都成立剖析錯解中忽略了當n2時，左邊是6，右邊是7.左右兩邊不相等，即242nn2n1對大于1的自然數(shù)n不是都成立的這種第一步簡單可省略是錯誤的，數(shù)學歸納法的兩個步驟缺一不可誤區(qū)二、未用歸納假設(shè)例2用數(shù)學歸納法證明：2222n12(2n11)(n>2，nN*)錯證(1)當n3時，左邊2226，右邊2(221)6，等式成立；(2)假設(shè)nk(k>2，kN*)時，結(jié)論成立，即2222k12(2k11)，那么由等比數(shù)列的前n項和公