高中數(shù)學數(shù)列知識點整理

1、數(shù)列1、數(shù)列中與之間的關系：注意通項能否合并。2、等差數(shù)列：定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，即=d ，（n2，nN），那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。等差中項：若三數(shù)成等差數(shù)列通項公式： 或 前項和公式：常用性質：若，則；下標為等差數(shù)列的項，仍組成等差數(shù)列；數(shù)列（為常數(shù)）仍為等差數(shù)列；若、是等差數(shù)列，則、 (、是非零常數(shù))、，也成等差數(shù)列。單調性：的公差為，則：）為遞增數(shù)列；）為遞減數(shù)列；）為常數(shù)列；數(shù)列為等差數(shù)列（p,q是常數(shù)）若等差數(shù)列的前項和，則、 是等差數(shù)列。3、等比數(shù)列定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫

2、做等比數(shù)列。等比中項：若三數(shù)成等比數(shù)列（同號）。反之不一定成立。通項公式：前項和公式：常用性質若，則；為等比數(shù)列，公比為(下標成等差數(shù)列,則對應的項成等比數(shù)列)數(shù)列（為不等于零的常數(shù)）仍是公比為的等比數(shù)列；正項等比數(shù)列；則是公差為的等差數(shù)列；若是等比數(shù)列，則 是等比數(shù)列，公比依次是單調性：為遞增數(shù)列；為遞減數(shù)列；為常數(shù)列；為擺動數(shù)列；既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列是常數(shù)列。若等比數(shù)列的前項和，則、 是等比數(shù)列.4、非等差、等比數(shù)列通項公式的求法類型 觀察法：已知數(shù)列前若干項，求該數(shù)列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個通項。類型 公式法：若已知數(shù)列的前項和與

3、的關系，求數(shù)列的通項可用公式 構造兩式作差求解。用此公式時要注意結論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個表達，（要先分和兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統(tǒng)一）。類型 累加法：形如型的遞推數(shù)列（其中是關于的函數(shù)）可構造： 將上述個式子兩邊分別相加，可得：若是關于的一次函數(shù)，累加后可轉化為等差數(shù)列求和; 若是關于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉化為等比數(shù)列求和;若是關于的二次函數(shù)，累加后可分組求和; 若是關于的分式函數(shù)，累加后可裂項求和. 類型 累乘法：形如型的遞推數(shù)列（其中是關于的函數(shù)）可構造： 將上述個式子兩邊分別相乘，可得：有時若不能直接用，可變形成這種形式，

4、然后用這種方法求解。類型 構造數(shù)列法：形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式： （1）若時，數(shù)列為等差數(shù)列; （2）若時，數(shù)列為等比數(shù)列;（3）若且時，數(shù)列為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構造等比數(shù)列來求.方法有如下兩種： 法一：設,展開移項整理得,與題設比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得,即構成以為首項，以為公比的等比數(shù)列.再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得法二：由得兩式相減并整理得即構成以為首項，以為公比的等比數(shù)列.求出的通項再轉化為類型（累加法）便可求出形如型的遞推式：當為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時：法一：設，通過待定系數(shù)法確定的值，轉化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通

5、項公式求出的通項整理可得法二：當?shù)墓顬闀r，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：轉化為類型求出 ，再用類型（累加法）便可求出當為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時：法一：設，通過待定系數(shù)法確定的值，轉化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得法二：當?shù)墓葹闀r，由遞推式得：，兩邊同時乘以得，由兩式相減得，即，在轉化為類型便可求出法三：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）或（其中p，q, r均為常數(shù)）時，要先在原遞推公式兩邊同時除以，得：，引入輔助數(shù)列（其中），得：再應用類型的方法解決。當為任意數(shù)列時，可用通法： 在兩邊同時除以可得到，令，則，在轉化為類型（累加法），求出之

6、后得.類型 對數(shù)變換法：形如型的遞推式：在原遞推式兩邊取對數(shù)得，令得：，化歸為型，求出之后得（注意：底數(shù)不一定要取10，可根據(jù)題意選擇）。類型 倒數(shù)變換法：形如（為常數(shù)且）的遞推式：兩邊同除于，轉化為形式，化歸為型求出的表達式，再求；還有形如的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉化成形式，化歸為型求出的表達式，再求.類型 形如型的遞推式：用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列的形式求解。方法為：設，比較系數(shù)得，可解得，于是是公比為的等比數(shù)列，這樣就化歸為型?？傊髷?shù)列通項公式可根據(jù)數(shù)列特點采用以上不同方法求解，對不能轉化為以上方法求解的數(shù)列，可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項公式5、非等差、等比數(shù)列前項和公式的求法錯位相減法若數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，則數(shù)列的求和就要采用此法.將數(shù)列的每一項分別乘以的公比，然后在錯位相減，進而可得到數(shù)列的前項和.此法是在推導等比數(shù)列的前項和公式時所用的方法.裂項相消法一般地，當數(shù)列的通項 時，往往可將變成兩項的差，采用裂項相消法求和.可用待定系數(shù)法進行裂項：設，通分整理后與原式相比較，根據(jù)對應項系數(shù)相等得，從而可得常見的拆項公式有： 分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.一般分兩步：找通