高等數(shù)學(xué)下復(fù)旦大學(xué)出版習(xí)題五

1、習(xí)題五1 求下列各曲線所圍圖形的面積：（1） 與x2+y2=8(兩部分都要計(jì)算)；解：如圖D1=D2解方程組得交點(diǎn)A(2，2) (1) ,（2） 與直線y=x及x=2；解： . (2)（3） y=ex，y=e-x與直線x=1；解：(3)（4） y=lnx，y軸與直線y=lna，y=lnb(b>a>0)；解：(4)（5） 拋物線y=x2和y=-x2+2；解：解方程組得交點(diǎn) (1，1)，(-1，1)(5)（6） y=sinx，y=cosx及直線；解：(6)（7） 拋物線y=-x2+4x-3及其在(0，-3)和(3，0)處的切線；解：y=-2x+4y(0)=4，y(3)=-2拋物線在點(diǎn)(

2、0，-3)處切線方程是y=4x-3在(3，0)處的切線是y=-2x+6兩切線交點(diǎn)是(，3)故所求面積為 (7)（8） 擺線x=a(t-sint)，y=a(1-cost)的一拱 (0£t£2p)與x軸；解：當(dāng)t=0時(shí)，x=0, 當(dāng)t=2p時(shí)，x=2pa所以 (8)（9） 極坐標(biāo)曲線 =asin3；解： (9)（10） =2acos；解： (10)2 求下列各曲線所圍成圖形的公共部分的面積：（1） r=a(1+cos)及r=2acos;解：由圖11知，兩曲線圍成圖形的公共部分為半徑為a的圓，故D=a2(11)（2） 及解：如圖12，解方程組得cos=0或,即或 (12)3 已知

3、曲線f(x)=x-x2與g(x)=ax圍成的圖形面積等于，求常數(shù)a解：如圖13，解方程組得交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)，(1-a，a(1-a)依題意得得a=-2 (13)4 求下列旋轉(zhuǎn)體的體積：（1） 由y=x2與y2=x3圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)；解： 求兩曲線交點(diǎn)得(0，0)，(1，1) （14）（2）由y=x3，x=2，y=0所圍圖形分別繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn)； 解：見(jiàn)圖14，（2） 星形線繞x軸旋轉(zhuǎn)；解：見(jiàn)圖15，該曲線的參數(shù)方程是：，由曲線關(guān)于x軸及y軸的對(duì)稱性，所求體積可表示為 (15)5 設(shè)有一截錐體，其高為h，上、下底均為橢圓，橢圓的軸長(zhǎng)分別為2a，2b和2A，2B，求這截錐體的體積。解：如

4、圖16建立直角坐標(biāo)系，則圖中點(diǎn)E，D的坐標(biāo)分別為：E(a，h)， D(A，0)，于是得到ED所在的直線方程為：(16)對(duì)于任意的y0，h，過(guò)點(diǎn)(0，y)且垂直于y軸的平面截該立體為一橢圓，且該橢圓的半軸為： ，同理可得該橢圓的另一半軸為： 故該橢圓面積為從而立體的體積為.6 計(jì)算底面是半徑為R的圓，而垂直于底面一固定直徑的所有截面都是等邊三角形的立體體積.見(jiàn)圖17.(17)解：以底面上的固定直徑所在直線為x軸，過(guò)該直徑的中點(diǎn)且垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則底面圓周的方程為：x2+y2=R2過(guò)區(qū)間-R，R上任意一點(diǎn)x，且垂直于x軸的平面截立體的截面為一等邊三角形，若設(shè)與x對(duì)應(yīng)的圓

5、周上的點(diǎn)為(x，y)，則該等邊三角形的邊長(zhǎng)為2y，故其面積等于從而該立體的體積為7 求下列曲線段的弧長(zhǎng)：（1） ，0x2；解：見(jiàn)圖18，2yy=2 從而 (18)（2） y=lnx，；解：（3） ；解：=4.8 設(shè)星形線的參數(shù)方程為x=acos3t，y=asin3t，a>0求（1） 星形線所圍面積；（2） 繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積；（3） 星形線的全長(zhǎng)解：(1)(2)(3)xt=-3acos2tsintyt=3asin2tcostxt2+yt2=9a2sin2tcos2t，利用曲線的對(duì)稱性，9 求對(duì)數(shù)螺線r=ea相應(yīng)=0到=的一段弧長(zhǎng)解：10 求半徑為R，高為h的球冠的表面積解：=2p

6、Rh11 求曲線段y=x3(0£x£1)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積解：12 把長(zhǎng)為10m，寬為6m，高為5m的儲(chǔ)水池內(nèi)盛滿的水全部抽出，需做多少功？解：如圖19，區(qū)間x，x+dx上的一個(gè)薄層水，有微體積dV=10·6·dx(19)設(shè)水的比重為1，則將這薄水層吸出池面所作的微功為dw=x·60gdx=60gxdx于是將水全部抽出所作功為13 有一等腰梯形閘門(mén)，它的兩條底邊各長(zhǎng)10m和6m，高為20m，較長(zhǎng)的底邊與水面相齊，計(jì)算閘門(mén)的一側(cè)所受的水壓力解：如圖20，建立坐標(biāo)系，直線AB的方程為壓力元素為所求壓力為（20）=1467(噸) =14

7、388(KN)14 半徑為R的球沉入水中，球的頂部與水面相切，球的密度與水相同，現(xiàn)將球從水中取離水面，問(wèn)做功多少？解：如圖21，以切點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則圓的方程為(xR)2+y2=R2將球從水中取出需作的功相應(yīng)于將0，2R區(qū)間上的許多薄片都上提2R的高度時(shí)需作功的和的極限。取深度x為積分變量，典型小薄片厚度為dx，將它由A上升到B時(shí)，在水中的行程為x；在水上的行程為2Rx。因?yàn)榍虻谋戎嘏c水相同，所以此薄片所受的浮力與其自身的重力之和x為零，因而該片在水中由A上升到水面時(shí)，提升力為零，并不作功，由水面再上提到B時(shí)，需作的功即功元素為（21）所求的功為15 設(shè)有一半徑為R，中心角為的圓弧形細(xì)棒，

8、其線密度為常數(shù)，在圓心處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，試求細(xì)棒對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的引力。解：如圖22，建立坐標(biāo)系，圓弧形細(xì)棒上一小段ds對(duì)質(zhì)點(diǎn)N的引力的近似值即為引力元素（圖22）則則 故所求引力的大小為，方向自N點(diǎn)指向圓弧的中點(diǎn)。16 求下列函數(shù)在a，a上的平均值：;解：(2) f(x)=x2解：17 求正弦交流電i=I0sint經(jīng)過(guò)半波整流后得到電流的平均值和有效值。解：有效值 故有效值為 .18 已知電壓u(t)=3sin2t，求(1) u(t)在上的平均值；解： (2) 電壓的均方根值.解：均方根公式為 故19 設(shè)某企業(yè)固定成本為50，邊際成本和邊際收入分別為C(x)=x214x+111，R(x)=100

9、2x試求最大利潤(rùn)解： 設(shè)利潤(rùn)函數(shù)L(x)則L(x)=R(x)C(x)50由于L(x)=R(x)C(x)=(1002x)(x214x+111)=x2+12x11令L(x)=0得x=1，x=11又當(dāng)x=1時(shí)，L(x)=2x+12>0當(dāng)x=11時(shí)L(x)<0，故當(dāng)x=11時(shí)利潤(rùn)取得最大值且最大利潤(rùn)為L(zhǎng)(11)=20 設(shè)某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為零，生產(chǎn)x（百臺(tái)）的邊際成本為C(x)（萬(wàn)元/百臺(tái)），邊際收入為R(x)=72x（萬(wàn)元/百臺(tái)）(1) 求生產(chǎn)量為多少時(shí)總利潤(rùn)最大？(2) 在總利潤(rùn)最大的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)100臺(tái)，總利潤(rùn)減少多少？解：(1) 當(dāng)C(x)=R(x)時(shí)總利潤(rùn)最大即2=72x，x=5/2(百臺(tái))(2) L(x)=R(x)C(x)=52x在總利潤(rùn)最大的基礎(chǔ)上再多生產(chǎn)100臺(tái)時(shí)，利潤(rùn)的增量為L(zhǎng)(x)= 即此時(shí)總利潤(rùn)減少1萬(wàn)元.21 某企業(yè)投資800萬(wàn)元，年利率5%，按連續(xù)復(fù)利計(jì)算，求投資后20年中企業(yè)均勻收入率為200萬(wàn)元/年的收入總現(xiàn)值及該投資的投資回收期解：投資20年中總收入的現(xiàn)值為純收入現(xiàn)值為R=y800=2528.480