平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算-教案

1、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 教案一、教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)與技能：掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；2、過(guò)程與方法：通過(guò)對(duì)共線向量坐標(biāo)關(guān)系的探究，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。3情感態(tài)度與價(jià)值觀：學(xué)會(huì)用坐標(biāo)進(jìn)行向量的相關(guān)運(yùn)算，理解數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系。二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。教學(xué)難點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表示的理解及運(yùn)算的準(zhǔn)確三、教學(xué)設(shè)想一導(dǎo)入新課思路1.向量具有代數(shù)特征，與平面直角坐標(biāo)系緊密相聯(lián)那么我們?cè)趯W(xué)習(xí)直 線和圓的方程以及點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系時(shí) ，直線與直線的平行是一種 重要的關(guān)系.關(guān)于x、y的二元一次方程Ax+By+C=O(A B不同時(shí)為零)何時(shí)所表達(dá) 的兩條直線平行？向量的共線用代

2、數(shù)運(yùn)算如何表達(dá)？思路2.對(duì)于平面內(nèi)的任意向量a,過(guò)定點(diǎn)0作向量OA=a,那么點(diǎn)A的位置被向 量a的大小和方向所唯一確定.如果以定點(diǎn)0為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，那么點(diǎn) A的位置可通過(guò)其坐標(biāo)來(lái)反映，從而向量a也可以用坐標(biāo)來(lái)表示，這樣我就可以通 過(guò)坐標(biāo)來(lái)研究向量問(wèn)題了 .事實(shí)上，向量的坐標(biāo)表示，實(shí)際是向量的代數(shù)表示.引 入向量的坐標(biāo)表示可使向量運(yùn)算完全代數(shù)化 ，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來(lái)，這就可以 使很多幾何問(wèn)題的解答轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的數(shù)量運(yùn)算.引進(jìn)向量的坐標(biāo)表示后，向 量的線性運(yùn)算可以通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)，那么向量的平行、垂直,是否也能通過(guò)坐 標(biāo)來(lái)研究呢？二推進(jìn)新課、新知探究、提出問(wèn)題我們研究了平面向量的坐

3、標(biāo)表示，現(xiàn)在a=(xi,y i), b=(x2,y 2),你能得 出a+b, a- b,入a的坐標(biāo)表示嗎？如圖1,A(xi,y i),B(x 2,y 2),怎樣表示AB的坐標(biāo)？你能在圖中標(biāo)出坐標(biāo)為(x2-xi,y 2-yi)的P點(diǎn)嗎？標(biāo)出點(diǎn)P后，你能總結(jié)出什么結(jié)論？活動(dòng)：教師讓學(xué)生通過(guò)向量的坐標(biāo)表示來(lái)進(jìn)行兩個(gè)向量的加、減運(yùn)算,教師可以讓學(xué)生到黑板去板書步驟.可得:0X圖1a+b=(x i i +y1j )+(x 2 i +y?j )=(x 1+X2) i +(y 1+y2)j , 即 a+b=(x1+x2,y 1+y2).同理 a- b=(x 1-x 2,y 1-y 2).又 入 a= X (

4、x i i +yj )=入 xi i +入 yij . -'-X a=( Xxi,入 y 1).教師和學(xué)生一起總結(jié)，把上述結(jié)論用文字表達(dá)分別為：兩個(gè)向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(差)；實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).教師再引導(dǎo)學(xué)生找出點(diǎn)與向 量的關(guān)系：將向量AB AB的坐標(biāo)與以原點(diǎn)為始點(diǎn)，點(diǎn)P為終點(diǎn)的向量坐標(biāo)是相同的,這樣就建立了向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的聯(lián)系.學(xué)生通過(guò)平移也可以發(fā)現(xiàn)：向量AB的模與向量0P的模是相等的.由此，我們可以得出平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式：| AB |=| 0P |=、(捲X2)2 (yiy2)2 .教師對(duì)總結(jié)完全的同學(xué)

5、進(jìn)行表?yè)P(yáng)，并鼓勵(lì)學(xué)生，只要善于開(kāi)動(dòng)腦筋，勇于創(chuàng)新, 展開(kāi)思維的翅膀，就一定能獲得意想不到的收獲.討論結(jié)果:能. AB=OB- 0A=(X2,y 2)-(xi,y i)=(x 2-x i,y 2-y i).結(jié)論：一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的 坐標(biāo).提出問(wèn)題如何用坐標(biāo)表示兩個(gè)共線向量？假設(shè)a=(xi,y i), b=(X2,y2),那么/ 基是向量a、b共線的什么條件？xix2活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生類比直線平行的特點(diǎn)來(lái)推導(dǎo)向量共線時(shí)的關(guān)系.此處教師要對(duì)探究困難的學(xué)生給以必要的點(diǎn)撥：設(shè)a=(xi,yi), b=(X2,y2),其中b0.我們 知道，a、b共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在

6、實(shí)數(shù) X ,使a=X b.如果用坐標(biāo)表示,可寫為 (x i,y i)= X (X2,y 2),即 XiX2,消去 X 后得 Xiy2-X2yi=0.yi y2.這就是說(shuō)，當(dāng)且僅當(dāng)xiy2-x 2yi=0時(shí)向量a、b(b0)共線.又我們知道xiy2-x 2yi=0與xiy2=X2yi是等價(jià)的，但這與 出 上 是不等價(jià)的.因XiX2為當(dāng)xi=X2=0時(shí),xiy2-x2yi=0成立，但仏 里均無(wú)意義.因此也 上是向量a、b X-!x2xix2共線的充分不必要條件.由此也看出向量的應(yīng)用更具一般性，更簡(jiǎn)捷、實(shí)用，讓學(xué) 生仔細(xì)體會(huì)這點(diǎn).討論結(jié)果：xiy2-x 2yi=0時(shí)，向量a、b( b 0)共線.充分

7、不必要條件.提出問(wèn)題a與非零向量b為共線向量的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)X使得a=X b,那么這個(gè)充要條件如何用坐標(biāo)來(lái)表示呢？活動(dòng)：教師引導(dǎo)推證：設(shè)a=(xi,y 1), b=(X2,y 2),其中a,由 a=X b,(x i,y 1)=入(x 2,y 2)X1X2,消去 入,得 xiy2-x 2yi=0.yiy2.討論結(jié)果:a / b(bM0)的充要條件是xiy2-X2yi=0. 教師應(yīng)向?qū)W生特別提醒感悟：1°消去入時(shí)不能兩式相除,I yi、y2有可能為0,而bM0,X2、y中至少有一個(gè)不為0.a bX1 y2X2 y10.2°充要條件不能寫成 里 上(：X1、X2有可能

8、為0).3°從而向量共線的充要條件有兩種形式：a/ b(bM0)三應(yīng)用例如思路1例 1 a=(2,1), b=(-3,4),求 a+b, a- b,3 a+4b 的坐標(biāo).活動(dòng):本例是向量代數(shù)運(yùn)算的簡(jiǎn)單應(yīng)用，讓學(xué)生根據(jù)向量的線性運(yùn)算進(jìn)行向 量的和、差及數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算，再根據(jù)向量的線性運(yùn)算律和向量的坐標(biāo)概念得出 的結(jié)論.假設(shè)表示向量的有向線段的始點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)，那么終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)就是此向量的坐標(biāo)，從而使得向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)可以相互轉(zhuǎn)化.可由學(xué)生自己完成.解:a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5);a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3);3a+4b=3(2,1)+

9、4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).點(diǎn)評(píng):本例是平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的常規(guī)題,目的是熟悉平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 公式.變式訓(xùn)練1 31. (2007海南高考,4)平面向量 a=(1,1), b=(1,-1),那么向量a - b2 2 等于()A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)答案:D2. (2007全國(guó)高考,3)向量a=(-5,6), b=(6,5),那么a與b()答案:A例2如圖2, ABCD勺三個(gè)頂點(diǎn)A B C的坐標(biāo)分別是(-2,1)、(-1,3) (3,4),試求頂點(diǎn)D的坐標(biāo).活動(dòng)：本例的目的仍然是讓學(xué)生熟悉平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.這里給出了

10、兩種解法：解法一利用“兩個(gè)向量相等，那么它們的坐標(biāo)相等，解題過(guò)程中應(yīng)用了方程 思想；解法二利用向量加法的平行四邊形法那么求得向量 0D的坐標(biāo)，進(jìn)而得到點(diǎn)D的坐標(biāo).解題過(guò)程中，關(guān)鍵是充分利用圖形中各線段的位置關(guān)系(主要是平行關(guān)系),數(shù)形結(jié)合地思考，將頂點(diǎn)D的坐標(biāo)表示為點(diǎn)的坐標(biāo).解:方法一:如圖2,設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y).AB =(-1-(-2),3-1)=(1,2),DC =(3-x,4-y). 由 AB = DC ,得(1,2)=(3-x,4-y).1 3 x,2 4 x.x 2,"y 2.頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2).方法二:如圖2,由向量加法的平行四邊形法那么，可知BD BA A

11、D BA BC =(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1),而 OD =0B + BD =(-1,3)+(3,-1)=(2,2),頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2).點(diǎn)評(píng):本例的目的仍然是讓學(xué)生熟悉平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 變式訓(xùn)練P,0 X圖3如圖3,平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(-2,1),B(-1,3),C(3,4), 求點(diǎn)D的坐 標(biāo)使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn).解：當(dāng)平行四邊形為ABCD寸,仿例二得:Di=(2,2);當(dāng)平行四邊形為ACDB寸,仿例二得:D2=(4,6);當(dāng)平行四邊形為DACB寸,仿上得:Da=(-6,0).例3A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),

12、試判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系. 活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量的共線來(lái)判斷.首先要探究三個(gè)點(diǎn)組合成兩個(gè)向量,然后根據(jù)兩個(gè)向量共線的充要條件來(lái)判斷這兩個(gè)向量是否共線從而來(lái)判斷 這三點(diǎn)是否共線.教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解并熟練地運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)形式來(lái) 判斷向量之間的關(guān)系.讓學(xué)生通過(guò)觀察圖象領(lǐng)悟先猜后證的思維方式.解:在平面直角坐標(biāo)系中作出 A B C三點(diǎn),觀察圖形，我們猜測(cè)A、B、C三點(diǎn)共線.下面給出證明.AC=(2-(-1),5-(-1)=(3,6), AB=(1-(-1),3-(-1)=(2,4),又2X6-3X 4=0, a AB / AC,且直線AB 直線AC有公共點(diǎn)A, A、B、C三點(diǎn)共

13、線.點(diǎn)評(píng)：本例的解答給出了判斷三點(diǎn)共線的一種常用方法 ，其實(shí)質(zhì)是從同一點(diǎn) 出發(fā)的兩個(gè)向量共線，那么這兩個(gè)向量的三個(gè)頂點(diǎn)共線.這是從平面幾何中判斷三 點(diǎn)共線的方法移植過(guò)來(lái)的.變式訓(xùn)練 a=(4,2), b=(6,y),且 a / b,求 y.解：T a / b, a 4y- 2X 6=0.a y=3.思路2例2設(shè)點(diǎn)P是線段P1P2上的一點(diǎn)，P1、P2的坐標(biāo)分別是(Xi,y 1)、(X2,y2).(1)當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).活動(dòng):教師充分讓學(xué)生思考,并提出這一結(jié)論可以推廣嗎？即當(dāng) 葺=入時(shí), PP2點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？師生共同

14、討論，一起探究，可按照求中點(diǎn)坐標(biāo)的解題思路類比 推廣,有學(xué)生可能提出如下推理方法：由 R P =入 PP2 ,知(x-x1,y-y1)=入(x 2-x,y 2-y),X X1yy1(X2x)(y2y)X11X2% y21這就是線段的定比分點(diǎn)公式，教師要給予充分肯定，鼓勵(lì)學(xué)生的這種積極探 索,這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要品質(zhì).時(shí)間允許的話，可以探索入的取值符號(hào)對(duì)p點(diǎn)位置 的影響,也可鼓勵(lì)學(xué)生課后探索.解:(1)如圖4,由向量的線性運(yùn)算可知0P= ( 0P1+0P2)=( $2 2y1y2 )2所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是(冬x2,-y1竺.)2 2 如圖5,當(dāng)點(diǎn)P是線段RR的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí),有兩種情況,即空上二1或P

15、F22PlZ=2.PP2如果空二1,那么PP2231 -=0R +-( 0P2 - OR )32 一 1 =_ OR +_ OP23 1322xi X2 2yi y2、=(， )33即點(diǎn)P的坐標(biāo)是(空1空，紐生).3 3同理,如果空 =2,那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是空 空2 ,也 空.PP233點(diǎn)評(píng)：本例實(shí)際上給出了線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式和線段的三等分點(diǎn)坐標(biāo)公式變式訓(xùn)練在厶ABC中,點(diǎn)A(3,7)、B(-2,5).假設(shè)線段AG BC的中點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上, 求點(diǎn)C的坐標(biāo).解:(1)假設(shè)AC的中點(diǎn)在y軸上,那么BC的中點(diǎn)在x軸上,設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得口 0,口 0,2 2x=-3,y=-5

16、,即C點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,-5). 假設(shè)AC的中點(diǎn)在x軸上,那么BC的中點(diǎn)在y軸上,那么同理可得C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-7).綜合(1)(2),知C點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,-5)或(2,-7).例2點(diǎn)A1,2,B4,5,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OP =OA+t AB .假設(shè)點(diǎn)P在第二象限,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量的相等，把條件轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的方程組或不等式組再進(jìn)行求解.教師以提問(wèn)的方式來(lái)了解學(xué)生組 織步驟的能力，或者讓學(xué)生到黑板上去板書解題過(guò)程，并對(duì)思路清晰過(guò)程正確的 同學(xué)進(jìn)行表?yè)P(yáng)，同時(shí)也要對(duì)組織步驟不完全的同學(xué)給與提示和鼓勵(lì).教師要讓學(xué)生明白“化歸思想的利用.不等式求變量取值范圍的

17、根本觀點(diǎn)是，將條件 轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量的不等式組，那么變量的取值范圍就是這個(gè)不等式組的解 集.解：由 AB=(4,5)-(1,2)=(3,3). OP =(1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2).假設(shè)點(diǎn)P在第二象限，那么3t 13t 23)2故t的取值范圍是-,3P的坐標(biāo)用t表示,由點(diǎn)P在第二象限點(diǎn)評(píng):此題通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將點(diǎn)可得到一個(gè)關(guān)于t的不等式組，這個(gè)不等式組的解集就是t的取值范圍.變式訓(xùn)練 OA =(cos 0 ,sin 0 ), OB =(1+sin 0 ,1+cos 0 ),其中 OW0Wn,求 | AB |的取值范圍.解:v AB = OB- OA=(1+sin 0 ,1+cos B) - (cos 0 ,sin 0)=(1+sin 0 -cos 0 ,1+cos 0 -sin 0).999'I AB | =(1+s in 0 - cos 0) +(1+cos 0 - sin 0)2 2 =1+(sin 0 - cos 0 門 + 1- (sin 0 - cos 0 門2=2+2(sin 0 - cos 0)=2+2(1- 2sin 0 cos 0)