大物教材參考答案

1、1.7 一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為 x t2, y (t 1)2 ,x和y均以為m單位,t以s為單位，試求:(1) 質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程；、(2) 在t=2s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度 v和加速度a。解：(1 )由運(yùn)動(dòng)學(xué)方程消去時(shí)間t可得質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程，將 t代入有y C、X 1)2或,y 、x 1dx2xVyVxdtaxdvxdt2, aydvy2dt對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程微分求速度及加速度當(dāng)t=2s時(shí)，速度和加速度分別是r r rv 4i 2 j m/ s1.8一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為r2ti,即dy 2(t 1) V 2tir 2(t 1)r dtr r ra 2i 2jr r r 2a 2i 2j m/s2(2 t2)，其

2、中，；,t分別以m和s為單位，試求：(1) 從t=1s到t=2s質(zhì)點(diǎn)的位移;(2) t=2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度；(3) 質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程;t=2s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位矢r ,速(4) 在Oxy平面內(nèi)畫(huà)出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，并在軌跡圖上標(biāo)出度v和加速度a 。解：依題意有2x=2t ( 1)y= 2 t (2)r r r r r r(1)將 t=1s,t=2s 代入，有 r(1)= 2i j， r(2) 4i 2jur故質(zhì)點(diǎn)的位移為r r(2)(2) 通過(guò)對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求導(dǎo)可得r dxr dyr J 2trv i i 2i 2t idt dt當(dāng)t=2s時(shí)，速度，加速度為uur rr(1)2i 3jrd2xrd

3、yr Ja2 i2 j2jdtdtrr rrr2v2i 4jm/ s a 2j m/ s由(1)( 2)兩式消去時(shí)間t可得質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程y 2 x2/4(4)圖略。1.11 一質(zhì)點(diǎn)沿半徑R=1m的圓周運(yùn)動(dòng)。t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)位于A點(diǎn)，如圖。然后沿順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 s tt,其中s的單位為m, t的單位為s,試求:1質(zhì)點(diǎn)繞行一周所經(jīng)歷的路程，位移，平均速度和平均速率； 2 質(zhì)點(diǎn)在第1秒末的速度和加速度的大小。解：1質(zhì)點(diǎn)繞行一周所經(jīng)歷的路程為圓周周的周長(zhǎng)，即 s 2 R 6.28m由位移和平 均速度的定義，可知此時(shí)的位移為零，平均速度也為零，即rrrr小r 0，v -0t令ss(t) s(0

4、) t2t 2 R?？傻觅|(zhì)點(diǎn)繞行一周所需時(shí)間t 1s-s 2 R平均速率為v6.28m/ stt由以上結(jié)果可以看出路程和位移，速度和速率是不相同的。2t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度大小為dt2(VR)2羽2當(dāng) t=1s 時(shí)，v=9.42m/sa=89.0 m / s .1.14 一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為0.1m的圓周運(yùn)動(dòng)，其用角坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為2 4t，的單位為rad,t的單位為s，試求：1 在t=2s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的切向加速度和法向加速度的大小;2當(dāng) 等于多少時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的加速度和半徑的夾角成45°。解：1質(zhì)點(diǎn)的角速度及角加速度為dt12t2£dt224t因此，質(zhì)點(diǎn)的法向加速度和切向加速度大

5、小為24an R 144Rt ，a R 24Rt2 2當(dāng) t=2s 時(shí)，an 230.4m /s ， a 4.8m/ s。' r2設(shè)時(shí)刻t， a和半徑夾角為 45°，此時(shí)an a，即4144Rt =24Rt得 t'31/ 6s(t')2 4t'32.67 rad。a cos ti bsin t j 。4.6質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在Oxy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為1試求質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量;2試求從t=0到t=這段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)受到的合力的沖量，并說(shuō)明在上述時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量是否守恒？為什么？r d rrr解：1由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程得質(zhì)點(diǎn)速度v =-: dt=a sintibcos

6、 t jurrrr動(dòng)量為p mvm a sinti mb cos tjr u 2u2根據(jù)動(dòng)量定理，合力的沖量為IP(2-)P(0)02雖然t=0和t=時(shí)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量是一樣的，但在上述時(shí)間內(nèi)，由1中動(dòng)量的表達(dá)式可以看出動(dòng)量是時(shí)間的函數(shù)并不守恒。所以質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量不守恒。4.14 一質(zhì)點(diǎn)M=10kg的物體放在光滑的水平桌面上，并與一水平輕彈簧相連，彈簧的勁度 系數(shù)k=100N/m。今有一質(zhì)量 m=1kg的小球以水平速度 v° 4m / s飛來(lái)，與物體 M相撞后以vi 2m/s的速度彈回，試求1彈簧被壓縮的長(zhǎng)度是多少？2小球m和物體M的碰撞是完全彈性碰撞嗎？3 如果小球上涂有黏性物質(zhì)，相撞后可與

7、M粘在一起，那么12所向的結(jié)果又如何?解：碰撞過(guò)程物體，小球，彈簧組成系統(tǒng)的動(dòng)量守恒mv0my Mu嚀)0.6m/s小球與彈簧碰撞，彈簧被壓縮，對(duì)物體1 2 12C1kx 0 Mu2 2M有作用力，對(duì)物體 M，由動(dòng)能定理得:彈簧被壓縮的長(zhǎng)度0.60.06 m(2)Ek1Mu2 1 2mw12 mvh222_ 1102 1(0.6)2 -1221 1=22242=4.2J有動(dòng)能損失說(shuō)明是非彈性碰撞。3小球與物體 M碰撞后粘在一起，設(shè)其共同速度為u ,根據(jù)動(dòng)量守恒及動(dòng)能定理mv0 (M m)u即丄kx20丄(M2 2m)u2此時(shí)彈簧被壓縮的長(zhǎng)度是 xmv°、k(M m)1_4.1000(

8、11)0.04 m碰撞后，兩物體粘在一起，這種碰撞為完全非彈性碰撞。3.7 質(zhì)量為m,總長(zhǎng)為I的鐵鏈，開(kāi)始時(shí)有一半放在光滑的桌面上，而另一半下垂，試求A=Ep =1(2mgl)1(§mgl)mgl8鐵鏈滑離桌面邊緣時(shí)重力所作的功。解:重力所作的功，等于鐵鏈勢(shì)能增量的負(fù)值，取桌面為勢(shì)能零點(diǎn)，因而有3.8 一沿x軸正方向的力作用在一質(zhì)量為3.0kg的質(zhì)點(diǎn)上。質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為x 3t 4t2 t3,這里x以m為單位，時(shí)間t以s為單位。試求:(1 )力在最初4.0s內(nèi)的功；(2)在t=1s時(shí)，力的瞬時(shí)功率。解：(1)由運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可求質(zhì)點(diǎn)的速度v 生 3 8t 3t2dt1 2 1 2 2質(zhì)

9、點(diǎn)的動(dòng)能為Ek(t) -mv23.0 (3 8t 3t2)2根據(jù)動(dòng)能定理，力在最初4.0s內(nèi)所作的功為AEkEk(4.0)Ek(0)528 J(2)a=dv dt6t 8質(zhì)點(diǎn)所受的力為F=ma= 3 (6t8)功率為p(t) Fv3 (6t8) (3 8t 3t2)t=1s時(shí)的瞬時(shí)功率 p(1)12 W3.15長(zhǎng)度為I的輕繩一端固定，一端系在一質(zhì)量為 m的小球，繩的懸掛點(diǎn)下方距離懸掛點(diǎn) 的距離為d處有一釘子。小球從水平位置無(wú)初速度釋放， 欲使球在以釘子為中心的圓周上繞 一圈，試證d至少為0.6l。解：假設(shè)小球以釘子為中心恰好能完成圓周運(yùn)動(dòng)那么有v2mg m -l d小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中繩子張力不做功

10、，只有重力做功，機(jī)械能守恒，以最低點(diǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)由機(jī)械1 2能守恒得mgl mv mg2(l d)解方程得d 0.6l9.9 一對(duì)“無(wú)限長(zhǎng)的同軸直圓筒，半徑分別為R和R2(尺只2)，筒面上都均勻帶點(diǎn)，沿軸線單位長(zhǎng)度的電量分別為牀口 2。試求空間的電場(chǎng)強(qiáng)度分布。解：根據(jù)電荷的軸對(duì)稱分布可知電場(chǎng)應(yīng)是軸對(duì)稱分布的，以直圓筒軸線為軸，作一半徑為 r，高為I的閉合圓柱面為高斯面。由高斯定理有(1) r< R,區(qū)域- EdSR,<r< R2 區(qū)域 E(3)r> R2區(qū)域E=0dSE 2 r I =丄1 10E= 21or-EdSl= I( 1+ 2)l0E=220r9.11功。解：把

11、單位正電荷從電偶極子軸線的中點(diǎn)圖中O點(diǎn)的電勢(shì)為q4 0(l/2)4 o(l/2)9.13解:根據(jù)求與點(diǎn)電荷O沿任意路徑移到無(wú)限遠(yuǎn)處，求靜電力對(duì)它作的=oAab = q0(A =08q=2.0* 10 C分別相距a=1.0m和b=2.0m的兩點(diǎn)的電勢(shì)差。-)=90 Vb9.16 半徑為R的均勻帶電球體，其電荷的體密度為，求：1球外任一點(diǎn)的電勢(shì);球外表上的電勢(shì)；3球內(nèi)任一點(diǎn)的電勢(shì)解：由高斯定理求出均勻帶電球體的電場(chǎng)分布為rE=以無(wú)窮遠(yuǎn)為電勢(shì)零參考點(diǎn)，那么(r R) 3 03(r R)(1)球外一點(diǎn)的電勢(shì)(r>R )：rjR3(2)球面上的電勢(shì)r=R )：3drR23?(3)球內(nèi)一點(diǎn)的電勢(shì)(r

12、<R )：Rdrr 3 0R3帚水 67(3r2 r2)9.21半徑為R的導(dǎo)體球帶電量為q，球外套以內(nèi)、外半徑分別為R2和R,的同心導(dǎo)體球殼,球殼上帶電量為 Q. 1求球和球殼的電勢(shì) 2求球與球殼間的電勢(shì)差 和球殼連接起來(lái)，再答復(fù)12兩問(wèn)；4假設(shè)將球殼外面接地，再答復(fù) 解：1先由高斯定理求出電場(chǎng)強(qiáng)度分布3用導(dǎo)線把球1 2兩問(wèn)0(r R)汁TR14°rE_0 R2 rq Q /2r4°r再根據(jù)電勢(shì)的定義得導(dǎo)體的電勢(shì)為rR2)R3)R)R21 _ & 4orR3 4dr 才詩(shī)1R2)_q Q40R3導(dǎo)體殼的電勢(shì)為(2)2_dr_2r3 4 0r2導(dǎo)體球與球殼間的電

13、勢(shì)差為q Q4 oR;(i_q1 - 2 _4(3)用導(dǎo)線將導(dǎo)體球與球殼連接后，電荷全局部布在球殼的外外表上，其電量為在這種情況下，電場(chǎng)強(qiáng)度的分布為0( rR3)E_ q Q嚴(yán)弋仃 R)4 or此時(shí)2 _qR3 42 dror=_q=4Q2or因?yàn)? - 2 =0(4) 用導(dǎo)體將球殼的外外表接地，那么球殼只有內(nèi)外表有電量-q分布，此時(shí)，電場(chǎng)強(qiáng)度的分布為0(r R)E=rR2)4 or0(r R)因此有2 =0R2ri 4q2ordriR29.31 一半徑為R的長(zhǎng)直徑導(dǎo)線的外面,iR2套有內(nèi)半徑為R2的同軸薄圓筒，它們之間充以相對(duì)介電常數(shù)為r的均勻電介質(zhì)。設(shè)導(dǎo)線和圓筒都均勻帶電，且沿軸線單位長(zhǎng)度

14、帶電量分別為和 。(1 )試求導(dǎo)線內(nèi)、導(dǎo)線和圓筒間、圓筒外三個(gè)控件區(qū)域中電場(chǎng)強(qiáng)度分布(2)求導(dǎo)線和圓筒間的電勢(shì)差解：(1)由電荷分布的柱對(duì)稱性可知電場(chǎng)也是柱對(duì)稱分布的，作與導(dǎo)線同軸的封閉圓柱面為高斯面，其上、下底面與軸線垂直。由介質(zhì)中的高斯定理知對(duì)rR1D dS=D 2 rl=0D=0E= D=0R1rD= 2 rDE= =0 r 20 rrrR22=R2dr =In R2R 20 r r20 rR9.32導(dǎo)體球帶電8q=1.0* 10 C,半徑為R=10.0cm，球外有兩種均勻電介質(zhì)，一種介質(zhì)的相D=0E=0對(duì)介電常數(shù) ri =5.0，緊貼球面成球殼狀包圍導(dǎo)體球，厚度為 d=10.0cm;另

15、一種介質(zhì)為空氣r2=1.0，充滿整個(gè)空間。1 求離球心0為r處的場(chǎng)強(qiáng)，并算出r等于5.0cm、15.0cm及25.0cm處的電位移 D和場(chǎng) 強(qiáng)E的值2求離球心 O為r處的電勢(shì)，并算出 r等于5.0cm、15.0cm及25.0cm處的電勢(shì) 的值解：1由電荷分布的球?qū)ΨQ性可知電場(chǎng)也是球?qū)ΨQ分布的，電場(chǎng)強(qiáng)度E和電位移矢量 D的方向是沿徑向的，作同心球面為高斯面，由高斯定理很容易知道D和E的分布。0(r10cm)qD=2 (10cm r 20cm)4 rq2 (r 20cm)所以 r=5.0cm,4 rr=15.0cmD2=篤=3.5* 10 8(C/m2)4 rr=25.0cm2由電勢(shì)的定義可知E2

16、 = -d=8.0* 102 (N/C)0 r1q82D3 =2 =1.3* 10 (C/m )4 rD33E3= =1.4* 10 (N/C)0 r20(r10cm)D e=0 rq2 (10cm r 20cm)40 r1rq2 (r 20cm)40 r2rD1 =0E1 =0當(dāng)r 10cm時(shí),0.10.20dr +0.1 4dr+0.2 drr10 r2'=q40 r1102)+ 40.210cm r 20cmr 20cm所以 r=5.0cm,r=15.0cmr=25.0cm2=5.4*10(V)Rr +r1 r0.2 420 r2drq 丄丄40 r1 r 022dr = 一4

17、0 r2r 421 =5.4* 10 V22 =4.8* 10 V3=3.6* 102V1 * 1* r2 °2q0 r2r9.34 一平行板電容器的兩極板上，帶有等量異號(hào)電荷， 板間充滿r=3.0的電介質(zhì)，電介質(zhì)6電場(chǎng)強(qiáng)度為1.0* 10 V/m，不計(jì)邊緣效應(yīng)。試求：1 電介質(zhì)中電位移 D的大小和方向2極板電荷的面密度解：1因板間充滿的是各向同向同性均勻介質(zhì)，所以52D= 0 r E=2.7* 10 C/m 2設(shè)極板面電荷密度為，在板間作一底面積為S的封閉柱面為高斯面，其軸線與板面垂直，兩底面與極板面平行，而且上底面在極板內(nèi)，由電介質(zhì)中的高斯定理知：D dS=D S=S所以=D=2

18、.7* 10 5 C/m210.4將一無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線彎成如下圖的形狀，其上載有電流I，試計(jì)算圓心 O點(diǎn)處B的大小1解： 圓心O點(diǎn)出的B是由長(zhǎng)直導(dǎo)線 AB、CD和-圓弧導(dǎo)線BCD三局部電流產(chǎn)生的3磁場(chǎng)疊加而成，因此可用疊加原理求解弧BCD在0點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度 B1的大小為B1= 04Idl 0I6rIrd 02r方向垂直紙面向里，載流長(zhǎng)直導(dǎo)線AB在O點(diǎn)產(chǎn)生磁感應(yīng)強(qiáng)度B2的大小為其中1 =052=6b2=4 a0I (cos 1cos 2)oa=r cos 60 =r/2所以方向垂直紙面向里載流直導(dǎo)線DE在0點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度B3的大小為所以B3= (cos4 a561 cosoa=r cos 60 = r/20點(diǎn)的合磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為10.17 一無(wú)限長(zhǎng)直載流導(dǎo)線,B3=-2 rB= B1+B2+ B3通有電流方向垂直紙面向里0.21 oI方向垂直紙面向里r50A，在離它0.05m處