動態(tài)問題---點動是源泉(數(shù)學)

1、動態(tài)問題-點動是源泉河北省懷來縣桑園中學075441 古金龍動態(tài)問題一般是指幾何圖形的運動，包括點動點在線或弧上運動、線動線的平移、對稱、旋轉、面動平面幾何圖形的平移、對稱翻折、旋轉。這類問題具有靈活性，多變性，融入三角形，四邊形，圓，甚至函數(shù)圖象，綜合運用全等知識，相似知識，三角函 數(shù)，勾股定理等知識；同時運動產生變量，又和函數(shù)聯(lián)系起來，利用一次函數(shù)、二次函數(shù)性 質解釋動態(tài)問題。數(shù)形結合的升華局部就在此。但萬物皆有源，幾何以點為源泉，無數(shù)個點可以形成各種圖形，所以圖形的運動其實是 無數(shù)個點的運動。點動帶動圖形動，圖形動引起點的位置發(fā)生變化，相輔相成，變化無窮， 但萬變不離其中，解決問題要抓住

2、一些關鍵點即可，現(xiàn)舉例說明：一、雙點動回歸單點動點動包括單動點型、雙動點型，其中雙動點型在中考里常見的，兩點速度可以是同速、 異速，方向隨圖形形狀而有所要求。例1 09浙江麗水直角坐標系中菱形ABCD勺位置如圖，C, D兩點的坐標分別為4,0 , 0,3.現(xiàn)有兩動點PQ分別從AC同時出發(fā)，點P沿線段AD向終點D運動，點Q 沿折線CBA向終點A運動，設運動時間為t秒1填空：菱形ABCD勺邊長是 、面積是_、高BE的長是2探究以下問題： 假設點P的速度為每秒1個單位，點Q的速度為每秒2 個單位當點Q在線段BA上時，求 APQ的面積S關于t的 函數(shù)關系式，以及 S的最大值； 假設點P的速度為每秒1個

3、單位，點Q的速度變?yōu)槊棵?k個單位，在運動過程中，任何時刻都有相應的 k值，使得 APC沿它的一邊翻折，翻折前后兩個三角形組成的四邊形 為菱形.請?zhí)骄慨攖 =4秒時的情形，并求出 k的值.解析：此題P點限定在一條線段上， 而Q點是在折線上 運動，由此注意分類。2 中重新限定了 Q點在線段上,所以只需求出三角形高用相似知識即可；中Q點的速度是變量，且運動路線分段，故需分類討論，解決這一問還需知道兩個三角形能組成菱形，那么此三角形必是等腰三角形。解:(1) 5 , 24,5(2由題意，得 AP=t , AQ=10-2t.如圖1,過點Q作QGL AD垂足為G,由QG/ BE得 AQg ABE, QG

4、 =QA,BE BAqg48_48L,5251 24 丄 2 24 5S AP QG t2 t( w t w 5).2 2552T S = (t5)26(§ w t w 5).25225當t = 5時，S最大值為6.2DPOACQ(圖1)E G 要使 APQ沿它的一邊翻折，翻折前后的兩個三角形組成的四邊形為菱形，根據(jù)軸當t=4秒時，點P的速度為每秒1個單位， AP=4.以下分兩種情況討論對稱的性質，只需 APQ為等腰三角形即可POACemQ1(圖2)FMQ1FOD33, -FMAMCQ1AO42Q1F=MQ1-FM3310第一種情況：當點 Q在CB上時，/ PQ> BE>

5、PA 只存在點 Q,使 QA=QP.如圖2,過點Q作QmAP,垂足為點 M QM交AC于點1F,那么 AIM AP = 2 .由厶 AMFo AOEh CQF,得2 cq=¥qf=?2.那么口 二空， “生3 5 k t CQ1AP 10第二種情況：當點 Q在 BA上時，存在兩點Q, Q,分別使 AP= AQ,PA=PQ. 假設 AF=AQ，如圖 3,CBBQ=10-4=6.那么忙 AP , . k=CB + BQ2.k t CB BQ2AP 2 假設PA=PQ,如圖4,過點P作PNL AB垂足為 N, 由厶ANPA AEB得塑二塑.AE ABt AE= . AB2 - BE2 =7

6、 , AN= 28 .525 A(Q=2AN=56 , BC+BQ=10- 56 二!94DPEOCBAN *Q 3(圖4)252525那么 1 x t AP k CB +BQ397Vt =cb bq3-AP"50.綜上所述，當t = 4秒，以所得的等腰三角形 APQ 沿底邊翻折，翻折后得到菱形的k值為U或3或豈.10250說明：由此題看出雙動點問題可以轉化為單動點問題來解決，逐個攻破，動中找靜，假 設一點符合條件，描出此點就此處解決。二、點動引起線動 線的運動其實是直線或線段與幾何圖形的交點不斷發(fā)生變化，在前幾年考查上很單一， 近幾年中考命題上有所突破。(09河北)如圖5，在RtA

7、 ABC中，/ C=90° , AC = 3, AB = 5.點P從點C出發(fā)沿CA以每秒1個單位長的速度向點 A勻速運動，到達點 A后立刻以原來的速度沿 AC返回； 點Q從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點 B勻速運動.伴隨著 P、Q的運動， DE保持垂直平分 PQ,且交PQ于點D，交折線QB-BC-CP于點E.點P、Q同時出發(fā)，當 點Q到達點B時停止運動，點 P也隨之停止.設點 P、Q運動的時間是t秒(t > 0) .(1) 當t = 2時，AP =，點Q到AC的距離是;(2) 在點P從C向A運動的過程中，求 APQ的面積S與t的函數(shù)關系式；(不必寫出t的取值范圍)(3

8、) 在點E從B向C運動的過程中，四邊形 QBED能否成 為直角梯形？假設能，求 t的值.假設不能，請說明理由；(4) 當DE經過點C時，請直接寫出t的值.解析：此題需弄清楚雙點運動的路線及方向，且射線DE的產生A過程。想象出整個運動中各個圖形位置關系變化的時段，運用相A似、勾股定理建立函數(shù)、方程(等式)，當然分類思想必不可少。解：(1) 1, 8;5(2) 作 QF 丄 AC 于點 F，如圖 5, AQ = CP= t,. AP =3 -1 .由厶 AQFs ABC, BC = 52 32 =4 ,得QF4 QF t.51 4S (3 -t) t,2 5即 St26t .55(3) 能.當DE

9、 / QB時，如圖6.DE丄PQ,. PQ丄QB，四邊形 QBED是直角梯形.由厶APQ ABC，得 如=空AC AB 'R此時/ AQP=90 °即 I =3 135如圖7,當PQ / BC時, 此時/ APQ =90° .DE丄BC,四邊形QBED是直角梯形.由厶 AQP ABC ,得 AQ AP_ AC，即5渾.解得t15"845 t14【注：點P方法一、連接PC =t , QC2由C向A運動，DE經過點C.QC,作QG丄BC于點G,如圖8.-QG2 CG2 £(5t)2 4 啟5t)2 .55345由 PC2 二QC2，得 t2 = (5

10、 _t)24 (5-t)2，解得 t 二一552方法二、由CQ =CP =AQ，得.QAC =/QCA，進而可得52 .B=. BCQ，得 CQ = BQ , AQ = BQ=2 .二tC,如圖9.t/】14點P由A向C運動，DE經過點23226_t二【35t 4-45 7,55變?yōu)殡p向且往返；另外此題最大亮點探求問題時，按要求畫圖找到DE位線段垂直平分線性質求解?？疾檎f明：此題一改正去點的運動方式單向單程 是兩個點的運動帶動了射線的運動不是線的平移 置動中找靜，利用相似三角形判定、性質，直角梯形、 了綜合能力。三、點動帶動面動例1 設邊長為2 a的正方形的中心 A在直線l上，它的一組對邊垂直

11、于直線l，半徑為r的O O的圓心O在直線I上運動，點A、O間距離為d。1如圖10，當r v a時，根據(jù)d與a、r之間關系，將O O與正方形的公共點個數(shù)填入下表:A圖10d、a、r之間關系公共點個數(shù)d > a+rd = a + ra r v d v a + rd =a rd v a - r所以，當r v a時，O O與正方形的公共點個數(shù)可能有 個；(2) 如圖11,當r =a時，根據(jù)d與a、r之間關系，將O O與正方形的公共點個數(shù)填入下表:圖11d、a、r之間關系公共點個數(shù)d > a +rd =a + ra < d v a + rd v a5共點時，試說明r a ；4(4) 就

12、r > a的情形，請你仿照 “當時，O O與正方形的公共點個數(shù)可能有個的形式，至少給出一個關于O O與正方形的公共點 個數(shù)的正確結論。解析：此題很象學過的圓和圓位置關 系的探索，(1) (2)問按要求動手畫一畫 即可出答案，思維活潑同學，能夠想象出來。圖12(3) 問借助幾何知識，利用等式關系求解，(4)所以，當r =a時，O O與正方形的公共點個數(shù)可能有 個;(3)如圖12,當OO與正方形有5個公問的思維含量較高考慮要全面(通過半徑變化產生分類)解：(1)d、a、r之間關系公共點個數(shù)d > a + r0d =a + r1a- r v d v a + r2d =a r1d v a

13、r0所以，當r v a時，O O與正方形的公共點個數(shù)可能有 0、1、2 個;d、a、r之間關系公共點個數(shù)d > a +r0d =a +r1a < d v a + r2d v a4所以，當r =a時，O O與正方形的公共點個數(shù)可能有0、1 2、4 個;3如下圖，連接 OC.那么OE=OC= r， OF=EF-OE= 2a - r。在Rt OCF中，由勾股定理得，oF+fC=oC2225即2a-ra訂.整理解得r亍。一54當a v r v a時，O O與正方形4的公共點個數(shù)可能有 0、1、2、4、6、7、8個;5當r a時，O O與正方形的公共點個4數(shù)可能有0、1 2、5、8個；當5 a v r v i 2a時，O O與正方形的公共點個數(shù)可能有 0、1、2、3、4、6、8個;4r = -. 2a時，O O與正方形的公共點個數(shù)可能有 0、1、2、3、4個。說明：此題看似圓動，其實是圓心點的位置發(fā)生變化，圓位置也隨之變化。此題 難點是圓的半徑也變化。討