試論常微分方程的奇解

1、試論常微分方程的奇解摘要: 一階微分方程擁有含有一個(gè)任意常數(shù)的通解,另外可能還有個(gè)別不含于通解的特解,即奇解,利用P-判別法和C-判別法可以求出奇解,而這兩種判別法是否適用于求每一個(gè)一階微分方程的奇解?此文中舉了幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題.并給出另外三種求奇解的方法.關(guān)鍵詞: 一階微分方程,奇解,P-判別式,C-判別式,C-P消去法,拾遺法,自然法.Discussing Singular Solution about First Order Differential EquationZHU Yong-wang(Class 1, Grade 2006, College of Mathematics

2、and Information Science)Advisor: Professor LI Jian-minAbstract: First order differential equation has a general solution which contains an arbitrary constant, but sometimes it has special solution that is singular solution, which can be solved by the P-judgment method and C-judgment methodWhile whet

3、her the two judgments can be applied to get every singular solution to the first order differential equation? This paper intends to illustrate this problem with several examplesKey words: Singular solution, P-judgment, C-judgment, C-P elimination method, The supplement method, Natural method.1引言一般來(lái)說(shuō)

4、一階常微分方程擁有任意常數(shù)的通解,另外還有個(gè)別不含于通解的特解.這種特解可以理解為通解的一種蛻化現(xiàn)象.它在幾何上往往表現(xiàn)為解的唯一性遭到破壞.早在1649年萊布尼茲就已經(jīng)觀察到解族的包絡(luò)也是一個(gè)解.克萊絡(luò)和歐拉對(duì)奇解作了某些討論,得出了P判別式求奇解的方法.拉格朗日對(duì)奇解和通解的聯(lián)系作了系統(tǒng)的研究,給出C判別式求奇解的方法和奇解的積分曲線族的包絡(luò)這一幾何解釋.2奇解、包絡(luò)、C-判別式、P-判別式的定義及問(wèn)題出近幾年許多學(xué)者對(duì)常微分方程這方面特別關(guān)注,在一階常微分方程有奇解的條件、常微分方程奇解的求法、擺線的構(gòu)成和奇解的聯(lián)系、Cornwall不等式的應(yīng)用及微分方程的奇解等方面有大量的文章發(fā)表,由

5、此可見(jiàn),人們對(duì)微分方程的奇解有了很深的認(rèn)識(shí).微分方程的奇解在常微分方程的解中具有特殊的地位.奇解的定義:微分方程的某一個(gè)解稱為奇解,如果在這個(gè)解的每一個(gè)點(diǎn)上至少還有方程的另外一個(gè)解存在,也就是說(shuō)奇解是這樣的一個(gè)解,在它上面的每一個(gè)點(diǎn)唯一性都不成立,或者說(shuō)奇解對(duì)應(yīng)的曲線上每一個(gè)點(diǎn)至少有方程的兩條積分曲線通過(guò).包絡(luò)的定義:設(shè)在平面上有一條連續(xù)可微的曲線,.在曲線族中都有一條曲線通過(guò)點(diǎn)并在該點(diǎn)與相切,而且在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)不同與,則稱曲線為曲線族的一支包絡(luò).從奇解和包絡(luò)的定義容易知道一階微分方程的通解的包絡(luò)（如果它存在的話）一定是奇解;反之,微分方程的奇解（若存在的話）也是微分方程的通解的包絡(luò).因而,

6、為了求微分方程的奇解,可以先求出它的通解,然后求通解的包絡(luò).對(duì)于一階微分方程,如果此方程有除了通解之外的奇解,則此奇解一定滿足兩個(gè)判別式,即P判別式和C判別式.定理:設(shè)函數(shù)對(duì)是連續(xù)的,而且對(duì)y和p有連續(xù)的偏微商和,若函數(shù)是微分方程的一個(gè)奇解,并且則奇解y=(x)滿足一個(gè)稱之為P-判別式的聯(lián)立方程 , 其中. 定理:設(shè)微分方程有通積分又設(shè)積分曲線有包絡(luò)為則奇解滿足C判別式的聯(lián)立方程 ,.以上兩個(gè)定理是奇解的必要條件,也就是說(shuō)用C判別式和P判別式求出的解不一定是微分方程的解,如果是微分方程的解也不一定是奇解,但是在求一階微分方程的奇解時(shí)通常都會(huì)采用這兩個(gè)判別式.由中奇解部分的定理2和定理5知,只要

7、求解是微分方程的解,用P判別式求出的解滿足: ,用C-判別式求出的解滿足非蛻化條件: ,則此解就是奇解,既然C判別式和P判別式是求奇解的方法,那么是不是這兩個(gè)判別式（C判別式和P判別式）對(duì)所有一階微分方程求奇解都有效?3幾個(gè)例子利用P判別式和C判別式對(duì)一些一階微分方程進(jìn)行求解的運(yùn)算,看看會(huì)出現(xiàn)什么樣的結(jié)果?【例1】: 求的奇解 解: 令,利用P判別式:;消去P得,但不是微分方程的解, 所以原方程無(wú)奇解. 我們可以發(fā)現(xiàn)利用P判別式求出的解不一定是奇解.那么利用C判別式所求出的解是不是一定是方程的奇解呢?我們接著看下一個(gè)例子.【例2】: 求的奇解.解:原方程的通解為:C判別式為: ;消去C得y=0

8、,但不是方程的解,所以原方程無(wú)奇解.以上兩個(gè)例子充分說(shuō)明了C判別式和P判別式是求奇解的必要條件.【例3】: 求微分方程的奇解.解: 原方程的P判別式為: ;消去P得 易知是微分方程的解.而且: 所以是微分方程的奇解.【例4】: 求.解: 首先我們不難求出微分方程的通積分: 由C判別式:（其中C為任意常數(shù)） 確定二支連續(xù)可微的曲線和,對(duì)他們分別作如下形式的參數(shù)表示式: : : 容易驗(yàn)證滿足相應(yīng)的非蛻化條件:, 因此是積分曲線族的一支包絡(luò),從而它是微分方程的奇解.而不滿足相應(yīng)的非蛻化條件,所以還不能斷言是否為包絡(luò),不過(guò)我們可以利用簡(jiǎn)單的作圖得知不是曲線族的包絡(luò),因此它不是奇解,雖然它是微分方程的解

9、.從例3、例4兩題中,可以發(fā)現(xiàn),如果利用P判別式來(lái)求奇解可以直接從方程出發(fā),而如果要用C判別式需要求出通解,但是無(wú)論用哪一判別式要使求得的解為奇解,則此解一定滿足:用P判別式時(shí)滿足:;用C判別式時(shí)滿足:.對(duì)于一些微分方程既能用P判別式又能用C判別式求奇解,我們接著看一道例題.【例5】: 求的奇解解: 法一:令,則P-判別式: ; 消去P得. 法二:方程的通解為 C判別式: ; 消去C得,滿足非蛻化條件:所以是奇解.由例5知:既然某些一階微分方程既可用P判別式來(lái)求奇解又可用C判別式求奇解.那么能否將P判別式和C判別式聯(lián)合起來(lái)求奇解呢?4新判別法在我們的教材和資料中我們通常采用P判別式和C判別式來(lái)

10、求一階微分方程的奇解,然而對(duì)于某些問(wèn)題,P判別式和C判別式這兩種方法求奇解比較困難.因此還有其他方法來(lái)求奇解,這些新方法用起來(lái)比較方便,通過(guò)查閱資料和文獻(xiàn),人們對(duì)新解法研究的比較少,在此介紹三種新的解法,方便對(duì)一階微分方程求奇解.4.1. CP消去法【例6】: 求的奇解.解: 令 P判別式:;消去P得:及方程的通解為: C判別式:;消去C得.則為奇解.例6中介紹了一種新方法, CP消去法:定義:聯(lián)合P-判別式和C-判別式,從P判別式得到解和從P判別式得到解中尋得公共單因式,令其為零,一般就是奇解.在例6中,由P判別式得到,由C判別式得到,它們的公共單因式為,令其為零,即.【例7】: 求的奇解.

11、解: 從和中消去P得:y=-x再求通解,將方程寫成即 通積分為: 從和 中消去C得: 及 按CP消去法知是奇解.就特殊方程: 假設(shè)連續(xù).給出以下兩種特殊的求奇解的方法.即自然法和拾遺法.4.2. 自然法定義:當(dāng)點(diǎn)集L不是孤立點(diǎn)集,而是有分支時(shí),則 可能是奇解.對(duì)于 當(dāng)連續(xù),則只要有界,就能保證的解存在唯一,所以當(dāng)時(shí),他就可能破壞了解的唯一性.【例8】: 求 （|y|1）的奇解. 解: 當(dāng)時(shí), 所以 可能破壞解的唯一性,它可能是奇解.驗(yàn)證: (1) 顯然是方程的解. (2) 由分離變量法求得通解是: 在上任取一點(diǎn)通解表達(dá)式中有解 通過(guò)點(diǎn)且其上導(dǎo)數(shù) ,即此解與相切,故是奇解.同理:也是方程的奇解.

12、4.3. 拾遺法定義:當(dāng)方程在求通積分的過(guò)程中,經(jīng)常遇到分離變量,方程兩邊需要同時(shí)除以不含導(dǎo)數(shù)的因式,則令這個(gè)因式等于零,可能得到奇解.因?yàn)榉匠虄蛇呁瑫r(shí)除以含有x、y的因式時(shí),原方程可能遺失了解,當(dāng)然有可能遺失了方程的奇解.【例9】: 求 的奇解.解: 除以因式得: 積分后得通解:但令消去因子為零,即得;驗(yàn)證: (1) 它們都是方程的解;(2) 有 前者說(shuō)明通解表達(dá)式中沒(méi)有解與相交;后者說(shuō)明通解表達(dá)式中有解與.相交,且從方程本身看出交點(diǎn)上的斜率都是 因此得結(jié)論:是正常解,是奇解.5結(jié)論以上五種是判定奇解的方法,都需驗(yàn)證所得曲線是否真是奇解,這個(gè)驗(yàn)證步驟有時(shí)比較麻煩,若C判別式和P判別式容易求得

13、時(shí),方法CP削去法常是可取的.從以上的幾個(gè)例子中,在利用兩個(gè)判別式求一階微分方程的奇解時(shí),會(huì)出現(xiàn)以下幾種情況:(1) P判別式和C判別式均可用來(lái)求奇解;(2) P判別式與C判別式聯(lián)合可求方程的奇解;(3) 當(dāng)一階微分方程的一階導(dǎo)數(shù)的次數(shù)為一次時(shí),P判別式不可求奇解,但C判別式未必失效;(4) 當(dāng)一階微分方程的通解中常數(shù)C的次數(shù)為一次時(shí),C判別式不可求奇解,并且導(dǎo)致P判別式也不可求奇解,此時(shí)只能另找他法.參考文獻(xiàn) 丁同仁、李承志.常微分方程教程.高等教育出版社,1991年. 錢祥征.常微分方程解題方法.湖南科學(xué)技術(shù)出版社,1984年. 王高雄、周之銘、朱思銘、王壽松.常微分方程.高等教育出版,1978年 . 何永蔥.關(guān)于常微分方程奇解判別的注記.內(nèi)江師范高等專科學(xué)校學(xué)報(bào),2000年第15卷第2期:13. 路暢、智婕.