解析幾何中的切線問題

1、解析幾何中的切線問題解決這類問題的通常做法是用兩個待定系數(shù)表示出切線的方程，再通過與圓錐曲線的方程聯(lián)立得到一個一元二次方程以及判別式等于零這一條件得到兩個待定系數(shù)的關(guān)系。最后通過其他條件達到解題的目的。對于圓的切線問題，可以通過圓心到切線的距離等于半徑這一條件來求解。對于有多條切線的問題，我們還可以用切線系方程來解題。本文將著重介紹運用切線系方程解決切線問題的方法。首先，我們以2015年湖北卷第21題為例?！?015高考湖北，理21】一種畫橢圓的工具如圖1所示是滑槽的中點，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動，長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動，且，當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運動時，

2、帶動N繞轉(zhuǎn)動，M處的筆尖畫出的橢圓記為C以為原點，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系（）求橢圓C的方程；（）設(shè)動直線與兩定直線和分別交于兩點若直線總與橢圓有且只有一個公共點，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由第22題圖2第22題圖1【答案】（）（）當(dāng)直線與橢圓在四個頂點處相切時，的面積取得最小值8.【解析】（）因為，當(dāng)在x軸上時，等號成立；同理，當(dāng)重合，即軸時，等號成立. 所以橢圓C的中心為原點，長半軸長為，短半軸長為，其方程為（）（1）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線為或，都有. （2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線， 由 消去，可得.因為直線總與橢圓有且

3、只有一個公共點，所以，即. 又由 可得；同理可得.由原點到直線的距離為和，可得. 將代入得，. 當(dāng)時，；當(dāng)時，.因，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.所以當(dāng)時，的最小值為8.綜合（1）（2）可知，當(dāng)直線與橢圓在四個頂點處相切時，的面積取得最小值8. 下面我們用切線系方程來求解該題第（）題此題運用切線系方程計算量較小，且不用討論切線斜率不存在的情況，大大節(jié)省了解題的時間。像這樣在橢圓的切線問題中運用切線系方程解題的例子還有：下面我們用橢圓的切線系方程來求解該題第（2）題此題運用切線方程，可以避免因為漏掉特殊點而失分，且計算量相對較小，計算過程也很簡單，不涉及太復(fù)雜的技巧。下面我們用橢圓的切線系方程來解

4、這道題.在用切線系方程解第（3）題之前，我向大家介紹一種快速解第（2）題的方法。這個方法設(shè)計三角形中角平分線的相關(guān)性質(zhì)。ACBD第(3)題仍然可用橢圓的切線系方程快速求解此類問題還有很多，本文就不一一列舉。一般來說，切線系方程在解決橢圓的切線問題時，具有計算量小的特點，有時還可以避免討論特殊情況，一定程度上減少了失誤的可能性。有關(guān)圓的切線問題使用切線系方程并沒有明顯優(yōu)勢，因為用圓心到直線的距離等于半徑這一條件更為簡單，大家可以參考，。關(guān)于拋物線的切線問題也不建議大家用切線系方程求解，具體可以參考。關(guān)于雙曲線的切線問題，出現(xiàn)頻率較低，暫不作討論。附：對于圓的切線系方程：，其中點是圓上任意一點。對于橢圓的切線系方程：，其中點是橢圓上任意一點。對于雙曲線的切線系方程：，其中點是雙曲線上任意一點。（另一種形式的雙曲線