線段和差最值問題

1、專題一.線段和（差）的最值問題【知識依據(jù)】1 線段公理兩點之間，線段最短；2 對稱的性質關于一條直線對稱的兩個圖形全等；對稱軸是兩個對稱圖形對應點連線的垂直平分線；3 三角形兩邊之和大于第三邊；4 三角形兩邊之差小于第三邊；5、 垂直線段最短。一、已知兩個定點：1、在一條直線m上，求一點P，使PA+PB最小；（1）點A、B在直線m兩側： （2）點A、B在直線同側： A、A 是關于直線m的對稱點。2、在直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）兩個點都在直線外側： （2）一個點在內側，一個點在外側：（3）兩個點都在內側：（4）、臺球兩次碰壁模型變式一：已知點A、B位于直線m,n

2、 的內側，在直線n、m分別上求點D、E點，使得圍成的四邊形ADEB周長最短.變式二：已知點A位于直線m,n 的內側, 在直線m、n分別上求點P、Q點PA+PQ+QA周長最短.二、一個動點，一個定點：（一）動點在直線上運動： 點B在直線n上運動，在直線m上找一點P，使PA+PB最小（在圖中畫出點P和點B）1、兩點在直線兩側： 2、兩點在直線同側：（二）動點在圓上運動：點B在O上運動，在直線m上找一點P，使PA+PB最?。ㄔ趫D中畫出點P和點B）1、點與圓在直線兩側：2、點與圓在直線同側：三、已知A、B是兩個定點，P、Q是直線m上的兩個動點，P在Q的左側,且PQ間長度恒定,在直線m上要求P、Q兩點，

3、使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識解)（1）點A、B在直線m兩側：過A點作ACm,且AC長等于PQ長，連接BC,交直線m于Q,Q向左移動PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點。（2）點A、B在直線m同側：四、求兩線段差的最大值問題(運用三角形兩邊之差小于第三邊)1、在一條直線m上，求一點P，使PA與PB的差最大；（1）點A、B在直線m同側：（2）點A、B在直線m異側：過B作關于直線m的對稱點B,連接AB交點直線m于P,此時PB=PB，PA-PB最大值為AB專題精講最值問題是一類綜合性較強的問題，而線段和（差）問題，要歸歸于幾何模型：（1）歸于“兩點之間的連線中，線段最短”凡屬于求

4、“變動的兩線段之和的最小值”時，大都應用這一模型（2）歸于“三角形兩邊之差小于第三邊”凡屬于求“變動的兩線段之差的最大值”時，大都應用這一模型 典型例題剖析一歸入“兩點之間的連線中，線段最短”“飲馬”幾何模型： 條件：如下左圖，A、B是直線l同旁的兩個定點問題：在直線l上確定一點P，使PAPB的值最小模型應用：1如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，P是AC上一動點則PB+PE的最小值是 2如圖，O的半徑為2，點A、B、C在O上，OAOB，AOC=60°，P是OB上一動點，則PA+PC的最小值是 3如圖，在銳角ABC中，AB42，BAC45°，BAC的平分線交BC

5、于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是 第1題 第2題 第3題 第4題4如圖，在直角梯形ABCD中，ABC90°，ADBC，AD4，AB5，BC6，點P是AB上一個動點，當PCPD的和最小時，PB的長為_5如圖，等腰梯形ABCD中，ABADCD1，ABC60°，P是上底，下底中點EF直線上的一點，則PA+PB的最小值為              第5題 第6題 第7題6如圖，MN是半徑為1的O的直徑，點A在O上，AMN30

6、°，B為AN弧的中點，P是直徑MN上一動點，則PAPB的最小值為              7已知A(2，3)，B(3，1)，P點在x軸上，若PAPB長度最小，則最小值為             若PAPB長度最大，則最大值為         

7、60;   8已知：如圖所示，拋物線yx2bxc與x軸的兩個交點分別為A(1，0)，B(3，0)（1）求拋物線的解析式；（2）設點P在該拋物線上滑動，且滿足條件SPAB1的點P有幾個？并求出所有點P的坐標；（3）設拋物線交y軸于點C，問該拋物線對稱軸上是否存在點M，使得MAC的周長最?。咳舸嬖?，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由臺球兩次碰壁模型已知點A位于直線m，n 的內側，在直線m、n分別上求點P、Q點，使PA+PQ+QA周長最短.變式：已知點A、B位于直線m，n 的內側，在直線m、n分別上求點D、E點，使得圍成的四邊形ADEB周長最短.模型應用：1如圖，AOB=45&

8、#176;，P是AOB內一點，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動點，求PQR周長的最小值2如圖，已知平面直角坐標系，A，B兩點的坐標分別為A(2，3），B(4，1）設M，N分別為x軸和y軸上的動點，請問：是否存在這樣的點M(m，0），N(0，n),使四邊形ABMN的周長最短？若存在，請求出m_，n _（不必寫解答過程）；若不存在，請說明理由中考賞析：1著名的恩施大峽谷（A）和世界級自然保護區(qū)星斗山（B）位于筆直的滬渝高速公路X同側，AB=50km、B到直線X的距離分別為10km和40km，要在滬渝高速公路旁修建一服務區(qū)P，向A、B兩景區(qū)運送游客小民設計了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖

9、（AP與直線X垂直，垂足為P），P到A、B的距離之和S1PAPB，圖（2）是方案二的示意圖（點A關于直線X的對稱點是A'，連接BA'交直線X于點P），P到A、B的距離之和S2PAPB（1）求S1、S2，并比較它們的大小；（2）請你說明S2PAPB的值為最小；（3）擬建的恩施到張家界高速公路Y與滬渝高速公路垂直，建立如圖（3）所示的直角坐標系，B到直線Y的距離為30km，請你在X旁和Y旁各修建一服務區(qū)P、Q，使P、A、B、Q組成的四邊形的周長最小并求出這個最小值2如圖，拋物線yx2x3和y軸的交點為A，M為OA的中點，若有一動點P，自M點處出發(fā)，沿直線運動到x軸上的某點（設為點E

10、），再沿直線運動到該拋物線對稱軸上的某點（設為點F），最后又沿直線運動到點A，求使點P運動的總路程最短的點E，點F的坐標，并求出這個最短路程的長已知A、B是兩個定點，P、Q是直線m上的兩個動點，P在Q的左側，且PQ間長度恒定,在直線m上要求P、Q兩點，使得PA+PQ+QB的值最小(原理用平移知識解)（1）點A、B在直線m兩側： （2）點A、B在直線m同側：模型應用：1. 如圖，拋物線yx 2x2的頂點為A，與y 軸交于點B(1)求點A、點B的坐標；(2)若點P是x軸上任意一點，求證：PAPBAB；(3)當PAPB最大時，求點P的坐標.2. 如圖，已知直線yx1與y軸交于點A，與x軸交于點D，拋

11、物線yx 2bxc與直線交于A、E兩點，與x軸交于B、C兩點，且B點坐標為(1，0)（1）求該拋物線的解析式；（3）在拋物線的對稱軸上找一點M，使|AMMC|的值最大，求出點M的坐標yxCBADOEy 3. 如圖，直線yx2與x軸交于點C，與y軸交于點B，點A為y軸正半軸上的一點，A經(jīng)過點B和點O，直線BC交A于點D（1）求點D的坐標；（2）過O，C，D三點作拋物線，在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使線段PO與PD之差的值最大？若存在，請求出這個最大值和點P的坐標若不存在，請說明理由4. 已知：如圖，把矩形OCBA放置于直角坐標系中，OC3，BC2，取AB的中點M，連接MC，把MBC沿x軸的

12、負方向平移OC的長度后得到DAO（1）試直接寫出點D的坐標；（2）已知點B與點D在經(jīng)過原點的拋物線上，點P在第一象限內的該拋物線上移動，過點P作PQx軸于點Q，連接OP若以O、P、Q為頂點的三角形與DAO相似，試求出點P的坐標；（3）試問在（2）拋物線的對稱軸上是否存在一點T，使得的值最大？若存在，則求出點T點的坐標；若不存在，則說明理由1 歸入“三角形兩邊之差小于第三邊”1. 直線2x-y-4=0上有一點P，它與兩定點A（4，-1）、B（3，4）的距離之差最大，則P點的坐標是 .2.已知A、B兩個村莊的坐標分別為（2，2），（7，4），一輛汽車（看成點P）在x軸上行駛試確定下列情況下汽車（點P）的位置：（1）求直線AB的解析式，且確定汽車行駛到什么點時到A、B兩村距離之差最大？（2）汽車行駛到什么點時，到A、B兩村距離相等？好題賞析：原型：已知：P是邊長為1的正方形ABCD內的一點，求PAPBPC的最小值例題：如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN、AM、CM（1）求證：AMBENB；（2）當M點在何處時，AMCM的值最??；當M點在何處時，AMBMCM的值最小，并說明理由；（3）當AMBMCM的最小