第七講常微分方程

1、第七講 常微分方程. 考試要求1了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念2掌握變量可分離的微分方程、齊次微分方程和一階線性微分方程的解法3理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)4掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法5會(huì)解自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程6會(huì)用微分方程解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題注：(1) 數(shù)一要求：會(huì)解伯努利方程和全微分方程，會(huì)用簡(jiǎn)單的變量代換解某些微分方程；會(huì)用降階法解下列形式的微分方程：；會(huì)解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程；會(huì)解歐拉方程(2) 數(shù)二要求：會(huì)用降階法解下列形式的微分方程：，；會(huì)解某些高于二階的常系

2、數(shù)齊次線性微分方程(3) 數(shù)三要求：了解差分與差分方程及其通解與特解等概念，了解一階常系數(shù)線性差分方程的求解方法，會(huì)用微分方程求解簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問(wèn)題. 考試內(nèi)容一基本概念1. 表示未知函數(shù), 未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和自變量之間的關(guān)系的方程稱為微分方程. 一般形如.2. 微分方程中導(dǎo)數(shù)的階數(shù)的最大值稱為微分方程的階. 3. 使方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解.4. 如果解中含有獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)等于微分方程的階數(shù), 稱其為微分方程的通解.5. 對(duì)于一階(或二階)微分方程, 給定時(shí)的函數(shù)值(或再給出此時(shí)的導(dǎo)數(shù)值), 則可將任意常數(shù)唯一確定. 這個(gè)唯一解稱為特解. 確定特解的條件稱為初始條件(定解條件

3、).二一階微分方程形式:, , .1可分離變量方程：通解為 2齊次方程：令，有，得，通解為 ，在通解中代回3*一階線性方程：通解為: 解的結(jié)構(gòu): 非齊次通解=齊次通解+非齊次特解一階線性方程的另一種形式為：，通解為: 4伯努利方程（數(shù)一、二）：令 ，方程化為一階線性方程，由一階線性方程的通解公式求出通解，代入即可得到原方程的通解【例1】【解】5全微分方程（數(shù)一、二）： ，其中.其通解為，這里稱為微分式的原函數(shù)(1) ；或者，；(2) 由，通過(guò)不定積分求得； ，則，.(3) 用分組湊微分法求出，使得，6. 簡(jiǎn)單的變量代換解某些微分方程【例2】解微分方程.作變換三. 可降階微分方程（數(shù)一、二要求）

4、1：方程兩邊對(duì)積分次，即可求得通解2，稱為不顯含的可降階方程，令，原方程化為一階方程 3，稱為不顯含的可降階方程，令，原方程化為一階方程【例3】求微分方程滿足條件的特解. 分析： 可降階第二種微分方程及一階線性微分方程解法,湊微分.【解1】設(shè),則;原方程化為, 解此一階線性微分方程,得, 從而由可知.【解2】原方程可化為【例4】求微分方程滿足初始條件的特解. 解題思路 可降解微分方程及一階線性微分方程解法.【解】設(shè),則;原方程化為,則,解此一階線性微分方程,得,由,可知;取,從而由可知.【例5】微分方程滿足條件,的特解是 .分析： 用可降階第三種微分方程的解法求解.【解】 變量替換, 令, 于

5、是上述方程化為.時(shí), 得, 沒(méi)有滿足初始條件的解. 時(shí)，分離變量. 解此方程得到, 即；由此推出.根據(jù)兩個(gè)初值條件可以得到，. 于是所求特解是.【例6】（11218）設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)， 且曲線與直線相切于原點(diǎn)， 記為曲線在點(diǎn)處切線的傾角， 若， 求的表達(dá)式.分析： 用可降階第二、三種微分方程的解法求解.【解】 由題設(shè)， 由為曲線在點(diǎn)處切線的傾角，得，則令，代入方程，得，由，可知，所以，解之，得，由，可知，因此，四、二階線性微分方程解的性質(zhì)與解的結(jié)構(gòu)(n階相同)二階非齊次線性微分方程： 二階齊次線性微分方程： 1若,是方程 的兩個(gè)解，則是方程 的解；2若,是方程 的兩個(gè)解，則是方程 的解；3若

6、,分別是方程 ， 的解，則是方程 的解；4若,是方程 的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解，則方程 的通解為 ；5若,是方程 的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解，是方程 的一個(gè)特解，則方程 的通解為 ；6（疊加原理）若,分別是方程與 的解，則為方程 的解五、二階常系數(shù)線性微分方程的解法標(biāo)準(zhǔn)形式為 1求齊次方程的通解對(duì)應(yīng)的特征方程為 ，其兩個(gè)特征根為,，按特征根,的不同情形得方程的通解如下表特征根的情況通 解為實(shí)根為重根為共軛復(fù)根2求非齊次方程的特解按下表確定特解的形式的形式特解的形式，六、歐拉方程（數(shù)一要求）二階歐拉方程：，令：，得 ，代入原方程，將原方程化為二階常系數(shù)線性微分方程：【例7】歐拉方程的通解為_(kāi)【解】 令，則 ， ，

7、代入原方程，整理得 ，解此方程，得通解為 七、一階常系數(shù)線性差分方程（數(shù)三要求）一階常系數(shù)線性差分方程的通解為對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解與非齊次方程的特解之和，即1齊次方程的通解為（為任意常數(shù)）2非齊次方程的特解的形式按下表確定的形式與的關(guān)系特解的形式【例8】差分方程的通解為_(kāi)【解】齊次差分方程的通解為設(shè)非齊次方程的特解為，代入原方程得，因此，原方程的通解為【例9】差分方程的通解為_(kāi)【解】將原方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式 對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程的特解為，代入方程得，因此，原方程的通解為【例10】某公式每年的工資總額在比上一年增加20%的基礎(chǔ)上再追加2百萬(wàn)元若以表示第 t 年的工資總額（單位：百萬(wàn)元）

8、，則滿足的差分方程是_【解】由題設(shè)，有 ，即得所滿足的差分方程 . 題型與例題一一階方程方法： 1. 判斷類型 2. 變量代換【例1】當(dāng)時(shí), 是比較高階的無(wú)窮小量, 函數(shù)在任意點(diǎn)處的增量, 且. 則 . . . . .分析：可分離變量.【解】 由，得，即，則，解之，得，由，可知，故應(yīng)選.【例2】求微分方程的通解.分析：1.齊次方程 2.分組湊微分 【解1】 變形得，作變量代換，則，代入原方程，得，化簡(jiǎn)，得，則，得.【例3】設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且滿足，求的表達(dá)式【解】由方程可得 . 方程兩邊對(duì)求導(dǎo)得 ，此為一階線性方程，解之得 ， 將代入上式得 ，故.注: 在解微分方程時(shí), 得到通解就結(jié)束

9、了. 除非原題中給定初值, 還需確定任意常數(shù),以得到特解. 在解積分方程時(shí), 情況不同. 因?yàn)榉e分方程不但給出函數(shù)關(guān)系, 還可能同時(shí)給出初值.【例4】解微分方程.【解】將變量看作自變量時(shí), 這是一階線性微分方程.將方程代入一階線性微分方程解的公式, 二高階常系數(shù)線性微分方程【例4】（02119）已知函數(shù)滿足方程及，（）求的表達(dá)式；（）求曲線的拐點(diǎn).【解】（）的特征方程為，特征根為，所以，方程的通解為，代入，得，則，故.（）曲線方程為,.當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ,而時(shí),;可見(jiàn)是唯一拐點(diǎn).【例5】求解微分方程，并求滿足的特解.【解】.方程的通解為.由初始條件,得.【例6】求微分方程的通解. 解題思路:

10、在用待定系數(shù)法求該方程的特解時(shí), 注意此方程右端是兩個(gè)函數(shù)和之和, 所以需要分別求出方程的特解和的特解. 然后得到原方程的一個(gè)特解. 【解】 高階線性. 首先求出對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解:. 然后用待定系數(shù)法求非齊次方程的特解. 因?yàn)椴皇翘卣鞲? 所以該方程具有形如的特解, 將其代入方程求出. 再用待定系數(shù)法求非齊次方程的特解. 由于純虛數(shù)是特征根, 所以該方程具有形如的特解, 將其代入方程求出, 所以. 因此原方程的一個(gè)特解為, 原方程的通解是.三解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)【例7】設(shè)線性無(wú)關(guān)函數(shù)都是非齊次方程的解，為任意常數(shù)，則該非齊次方程的通解是 (A) (B) (C) (D) 【例8】函數(shù)滿足的一個(gè)微分方程是 (A) (B) (C) (D) 【解】由所給解的形式，可知原微分方程對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的特征根為 .則對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的特征方程為 .故對(duì)應(yīng)的齊次微分方程為 .又為原微分方程的一個(gè)特解，而為特征單根，故原非齊次線性微分方程右端的非齊次項(xiàng)應(yīng)具有形式（為常數(shù)）.所以綜合比較四個(gè)選項(xiàng)，應(yīng)選. 四綜合題【例10】設(shè)，其中函數(shù)在內(nèi)滿足以下條件：，且，(1) 求所滿足的一階微分方程；(2) 求出的表達(dá)式【解】 (1) 由 = =，故所滿足的一階微分方程為.(2) =，將代入上式