數(shù)學(xué)建模高斯擴(kuò)散模型

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上4-2高斯擴(kuò)散模式 平均風(fēng)速； Q源強(qiáng)是指污染物排放速率。與空氣中污染物質(zhì)的濃度成正比，它是研究空氣污染問題的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。通常：（）瞬時(shí)點(diǎn)源的源強(qiáng)以一次釋放的總量表示；（）連續(xù)點(diǎn)源以單位時(shí)間的釋放量表示；（）連續(xù)線源以單位時(shí)間單位長度的排放量表示；（）連續(xù)面源以單位時(shí)間單位面積的排放量表示。y側(cè)向擴(kuò)散參數(shù)，污染物在y方向分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差，是距離y的函數(shù)，m；z豎向擴(kuò)散參數(shù)，污染物在z方向分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差，是距離z的函數(shù)，m；未知量濃度c、待定函數(shù)A(x)、待定系數(shù)a、b；式、組成一方程組，四個(gè)方程式有四個(gè)未知數(shù)，故方程式可解。二、高斯擴(kuò)散模式（一）連續(xù)點(diǎn)源的擴(kuò)散連續(xù)點(diǎn)源一般

2、指排放大量污染物的煙囪、放散管、通風(fēng)口等。排放口安置在地面的稱為地面點(diǎn)源，處于高空位置的稱為高架點(diǎn)源。1. 大空間點(diǎn)源擴(kuò)散 高斯擴(kuò)散公式的建立有如下假設(shè)：風(fēng)的平均流場穩(wěn)定，風(fēng)速均勻，風(fēng)向平直；污染物的濃度在y、z軸方向符合正態(tài)分布；污染物在輸送擴(kuò)散中質(zhì)量守恒；污染源的源強(qiáng)均勻、連續(xù)。圖59所示為點(diǎn)源的高斯擴(kuò)散模式示意圖。有效源位于坐標(biāo)原點(diǎn)o處，平均風(fēng)向與x軸平行，并與x軸正向同向。假設(shè)點(diǎn)源在沒有任何障礙物的自由空間擴(kuò)散，不考慮下墊面的存在。大氣中的擴(kuò)散是具有y與z兩個(gè)坐標(biāo)方向的二維正態(tài)分布，當(dāng)兩坐標(biāo)方向的隨機(jī)變量獨(dú)立時(shí)，分布密度為每個(gè)坐標(biāo)方向的一維正態(tài)分布密度函數(shù)的乘積。由正態(tài)分布的假設(shè)條件，

3、參照正態(tài)分布函數(shù)的基本形式式（515），取0，則在點(diǎn)源下風(fēng)向任一點(diǎn)的濃度分布函數(shù)為： （516）式中 C空間點(diǎn)（x，y，z）的污染物的濃度，mg/m3； A（x）待定函數(shù)； y、z分別為水平、垂直方向的標(biāo)準(zhǔn)差，即y、x方向的擴(kuò)散參數(shù)，m。 由守恒和連續(xù)假設(shè)條件和，在任一垂直于x軸的煙流截面上有： （517）式中 q源強(qiáng)，即單位時(shí)間內(nèi)排放的污染物，g/s； u平均風(fēng)速，m/s。 將式（516）代入式（517）, 由風(fēng)速穩(wěn)定假設(shè)條件，A與y、z無關(guān)，考慮到和，積分可得待定函數(shù)A（x）： （518）將式（518）代入式（516），得大空間連續(xù)點(diǎn)源的高斯擴(kuò)散模式 （519）式中，擴(kuò)散系數(shù)y、z與大氣穩(wěn)

4、定度和水平距離x有關(guān)，并隨x的增大而增加。當(dāng)y0，z0時(shí)，A（x）C（x，0,0），即A（x）為x軸上的濃度，也是垂直于x軸截面上污染物的最大濃度點(diǎn)Cmax。當(dāng)x，y及z，則C0，表明污染物以在大氣中得以完全擴(kuò)散。 2高架點(diǎn)源擴(kuò)散 在點(diǎn)源的實(shí)際擴(kuò)散中，污染物可能受到地面障礙物的阻擋，因此應(yīng)當(dāng)考慮地面對擴(kuò)散的影響。處理的方法是，或者假定污染物在擴(kuò)散過程中的質(zhì)量不變，到達(dá)地面時(shí)不發(fā)生沉降或化學(xué)反應(yīng)而全部反射；或者污染物在沒有反射而被全部吸收，實(shí)際情況應(yīng)在這兩者之間。（1）高架點(diǎn)源擴(kuò)散模式。點(diǎn)源在地面上的投影點(diǎn)o作為坐標(biāo)原點(diǎn)，有效源位于z軸上某點(diǎn)， zH。高架有效源的高度由兩部分組成，即Hhh，其中

5、h為排放口的有效高度，h是熱煙流的浮升力和煙氣以一定速度豎直離開排放口的沖力使煙流抬升的一個(gè)附加高度，如圖510所示。 當(dāng)污染物到達(dá)地面后被全部反射時(shí)，可以按照全反射原理，用“像源法”來求解空間某點(diǎn)k的濃度。圖510中k點(diǎn)的濃度顯然比大空間點(diǎn)源擴(kuò)散公式（519）計(jì)算值大，它是位于(0，0，H)的實(shí)源在k點(diǎn)擴(kuò)散的濃度和反射回來的濃度的疊加。反射濃度可視為由一與實(shí)源對稱的位于(0，0，H)的像源（假想源）擴(kuò)散到k點(diǎn)的濃度。由圖可見，k點(diǎn)在以實(shí)源為原點(diǎn)的坐標(biāo)系中的垂直坐標(biāo)為(z-H)，則實(shí)源在k點(diǎn)擴(kuò)散的濃度為式（519）的坐標(biāo)沿z軸向下平移距離H： （520）k點(diǎn)在以像源為原點(diǎn)的坐標(biāo)系中的垂直坐標(biāo)為

6、(zH)，則像源在k點(diǎn)擴(kuò)散的濃度為式（519）的坐標(biāo)沿z軸向上平移距離H： （521）由此，實(shí)源Cs與像源Cx之和即為k點(diǎn)的實(shí)際污染物濃度：（522） 若污染物到達(dá)地面后被完全吸收，則Cx0，污染物濃度C（x，y，z，H）Cs，即式（520）。 （2）地面全部反射時(shí)的地面濃度。實(shí)際中，高架點(diǎn)源擴(kuò)散問題中最關(guān)心的是地面濃度的分布狀況，尤其是地面最大濃度值和它離源頭的距離。在式（522）中，令z0，可得高架點(diǎn)源的地面濃度公式： （523） 上式中進(jìn)一步令y0則可得到沿x軸線上的濃度分布： （524） 地面濃度分布如圖圖511所示。y方向的濃度以x軸為對稱軸按正態(tài)分布；沿x軸線上，在污染物排放源附近

7、地面濃度接近于零，然后順風(fēng)向不斷增大，在離源一定距離時(shí)的某處，地面軸線上的濃度達(dá)到最大值，以后又逐漸減小。 地面最大濃度值Cmax及其離源的距離xmax可以由式（524）求導(dǎo)并取極值得到。令，由于y、z均為x的未知函數(shù)，最簡單的情況可假定y/z常數(shù)，則當(dāng) （525） 時(shí)，得地面濃度最大值 （526）由式（525）可以看出，有效源H越高， xmax處的z值越大，而zxmax，則Cmax出現(xiàn)的位置離污染源的距離越遠(yuǎn)。式（526）表明，地面上最大濃度Cmax與有效源高度的平方及平均風(fēng)速成反比，增加H可以有效地防止污染物在地面某一局部區(qū)域的聚積。式（525）和式（526）是在估算大氣污染時(shí)經(jīng)常選用的計(jì)

8、算公式。由于它們是在 y/z常數(shù)的假定下得到的，應(yīng)用于小尺度湍流擴(kuò)散更合適。除了極穩(wěn)定或極不穩(wěn)定的大氣條件，通?？稍O(shè)y/z2估算最大地面濃度，其估算值與孤立高架點(diǎn)源(如電廠煙囪)附近的環(huán)境監(jiān)測數(shù)據(jù)比較一致。通過理論或經(jīng)驗(yàn)的方法可得zf（x）的具體表達(dá)式，代入（525）可求出最大濃度點(diǎn)離源的距離xmax，具體可查閱我國GB384091制定地方大氣污染物排放標(biāo)準(zhǔn)的技術(shù)方法。3. 地面點(diǎn)源擴(kuò)散對于地面點(diǎn)源，則有效源高度H0。當(dāng)污染物到達(dá)地面后被全部反射時(shí)，可令式（522）中H0，即得出地面連續(xù)點(diǎn)源的高斯擴(kuò)散公式: （527）其濃度是大空間連續(xù)點(diǎn)源擴(kuò)散式（519）或地面無反射高架點(diǎn)源擴(kuò)散式（520）在

9、H0時(shí)的兩倍，說明煙流的下半部分完全對稱反射到上部分，使得濃度加倍。若取y與z等于零，則可得到沿x軸線上的濃度分布： （528）如果污染物到達(dá)地面后被完全吸收，其濃度即為地面無反射高架點(diǎn)源擴(kuò)散式（520）在H0時(shí)的濃度，也即大空間連續(xù)點(diǎn)源擴(kuò)散式（519）。高斯擴(kuò)散模式的一般適用條件是：地面開闊平坦，性質(zhì)均勻，下墊面以上大氣湍流穩(wěn)定；擴(kuò)散處于同一大氣溫度層結(jié)中，擴(kuò)散范圍小于10km；擴(kuò)散物質(zhì)隨空氣一起運(yùn)動，在擴(kuò)散輸送過程中不產(chǎn)生化學(xué)反應(yīng)，地面也不吸收污染物而全反射；平均風(fēng)向和風(fēng)速平直穩(wěn)定，且u12m/s。 高斯擴(kuò)散模式適應(yīng)大氣湍流的性質(zhì)，物理概念明確，估算污染濃度的結(jié)果基本上能與實(shí)驗(yàn)資料相吻合，

10、且只需利用常規(guī)氣象資料即可進(jìn)行簡單的數(shù)學(xué)運(yùn)算，因此使用最為普遍。（二）連續(xù)線源的擴(kuò)散 當(dāng)污染物沿一水平方向連續(xù)排放時(shí)，可將其視為一線源，如汽車行駛在平坦開闊的公路上。線源在橫風(fēng)向排放的污染物濃度相等，這樣，可將點(diǎn)源擴(kuò)散的高斯模式對變量y積分，即可獲得線源的高斯擴(kuò)散模式。但由于線源排放路徑相對固定，具有方向性，若取平均風(fēng)向?yàn)閤軸，則線源與平均風(fēng)向未必同向。所以線源的情況較復(fù)雜，應(yīng)當(dāng)考慮線源與風(fēng)向夾角以及線源的長度等問題。 如果風(fēng)向和線源的夾角45，無限長連續(xù)線源下風(fēng)向地面濃度分布為： （529）當(dāng)45時(shí)，以上模式不能應(yīng)用。如果風(fēng)向和線源的夾角垂直，即90，可得： （530） 對于有限長的線源，線

11、源末端引起的“邊緣效應(yīng)”將對污染物的濃度分布有很大影響。隨著污染物接受點(diǎn)距線源的距離增加，“邊源效應(yīng)”將在橫風(fēng)向距離的更遠(yuǎn)處起作用。因此在估算有限長污染源形成的濃度分布時(shí)，“邊源效應(yīng)”不能忽視。對于橫風(fēng)向的有限長線源，應(yīng)以污染物接受點(diǎn)的平均風(fēng)向?yàn)閤軸。若線源的范圍是從y1到y(tǒng)2，且y1y2，則有限長線源地面濃度分布為： （531）式中，s1y1/y，s2y2/y，積分值可從正態(tài)概率表中查出。（三）連續(xù)面源的擴(kuò)散 當(dāng)眾多的污染源在一地區(qū)內(nèi)排放時(shí)，如城市中家庭爐灶的排放，可將它們作為面源來處理。因?yàn)檫@些污染源排放量很小但數(shù)量很大，若依點(diǎn)源來處理，將是非常繁雜的計(jì)算工作。常用的面源擴(kuò)散模式為虛擬點(diǎn)源

12、法，即將城市按污染源的分布和高低不同劃分為若干個(gè)正方形，每一正方形視為一個(gè)面源單元，邊長一般在0.510km之間選取。這種方法假設(shè)：有一距離為x0的虛擬點(diǎn)源位于面源單元形心的上風(fēng)處，如圖5-12所示，它在面源單元中心線處產(chǎn)生的煙流寬度為2y04.3y0，等于面源單元寬度B；面源單元向下風(fēng)向擴(kuò)散的濃度可用虛擬點(diǎn)源在下風(fēng)向造成的同樣的濃度所代替。根據(jù)污染物在面源范圍內(nèi)的分布狀況，可分為以下兩種虛擬點(diǎn)源擴(kuò)散模式： 第一種擴(kuò)散模式假定污染物排放量集中在各面源單元的形心上。由假設(shè)可得： （532） 由確定的大氣穩(wěn)定度級別和上式求出的，應(yīng)用PG曲線圖（見下節(jié)）可查取xo。再由(x0x)分布查出y和z，則面

13、源下風(fēng)向任一處的地面濃度由下式確定： （533）上式即為點(diǎn)源擴(kuò)散的高斯模式（524），式中H取面源的平均高度，m。如果排放源相對較高，而且高度相差較大，也可假定z方向上有一虛擬點(diǎn)源，由源的最初垂直分布的標(biāo)準(zhǔn)差確定，再由求出，由求出z，由(x0x) 求出y，最后代入式（533）求出地面濃度。 第二種擴(kuò)散模式假定污染物濃度均勻分布在面源的y方向，且擴(kuò)散后的污染物全都均勻分布在長為(x0x)8的弧上，如圖5-12所示。因此，利用式（532）求y后，由穩(wěn)定度級別應(yīng)用PG曲線圖查出x0，再由(x0x) 查出z，則面源下風(fēng)向任一點(diǎn)的地面濃度由下式確定： （534）三、擴(kuò)散參數(shù)及煙流抬升高度的確定高斯擴(kuò)散公

14、式的應(yīng)用效果依賴于公式中的各個(gè)參數(shù)的準(zhǔn)確程度，尤其是擴(kuò)散參數(shù)y、z及煙流抬升高度h的估算。其中，平均風(fēng)速u取多年觀測的常規(guī)氣象數(shù)據(jù)；源強(qiáng)q可以計(jì)算或測定，而y、z及h與氣象條件和地面狀況密切相關(guān)。1. 擴(kuò)散參數(shù)y、z的估算擴(kuò)散參數(shù)y、z是表示擴(kuò)散范圍及速率大小的特征量，也即正態(tài)分布函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。為了能較符合實(shí)際地確定這些擴(kuò)散參數(shù)，許多研究工作致力于把濃度場和氣象條件結(jié)合起來，提出了各種符合實(shí)驗(yàn)條件的擴(kuò)散參數(shù)估計(jì)方法。其中應(yīng)用較多的由是帕斯奎爾(Pasquill) 和吉福特(Gifford)提出的擴(kuò)散參數(shù)估算方法，也稱為PG擴(kuò)散曲線，如圖513和圖514所示。由圖可見，只要利用當(dāng)?shù)爻Ｒ?guī)氣象觀測資

15、料，由表51查取帕斯奎爾大氣穩(wěn)定度等級，即可確定擴(kuò)散參數(shù)。擴(kuò)散參數(shù)具有如下規(guī)律：隨著離源距離增加而增大；不穩(wěn)定大氣狀態(tài)時(shí)的值大于穩(wěn)定大氣狀態(tài)，因此大氣湍流運(yùn)動愈強(qiáng)，值愈大；以上兩種條件相同時(shí)，粗糙地面上的值大于平坦地面。由于利用常規(guī)氣象資料便能確定帕斯奎爾大氣穩(wěn)定度，因此PG擴(kuò)散曲線簡便實(shí)用。但是，PG擴(kuò)散曲線是利用觀測資料統(tǒng)計(jì)結(jié)合理論分析得到的，其應(yīng)用具有一定的經(jīng)驗(yàn)性和局限性。y是利用風(fēng)向脈動資料和有限的擴(kuò)散觀測資料作出的推測估計(jì)，z是在近距離應(yīng)用了地面源在中性層結(jié)時(shí)的豎直擴(kuò)散理論結(jié)果，也參照一些擴(kuò)散試驗(yàn)資料后的推算，而穩(wěn)定和強(qiáng)不穩(wěn)定兩種情況的數(shù)據(jù)純系推測結(jié)果。一般，PG擴(kuò)散曲線較適用于近地源的小尺度擴(kuò)散和開闊平坦的地形。實(shí)踐表明，y的近似估計(jì)與實(shí)際狀況比較符合，但要對地面粗糙度和取樣時(shí)間進(jìn)行修正；z的估計(jì)值與溫度層結(jié)的關(guān)系很大，適用于近地源的lkm以內(nèi)的擴(kuò)散。因此，大氣擴(kuò)散參數(shù)的準(zhǔn)確定量描述仍是深入研究的課題。估算地面最大濃度值Cmax及其離源的距離xmax時(shí)，可