2021年北京市高考數(shù)學(xué)試題-[附答案]

1、內(nèi)裝訂線內(nèi)裝訂線學(xué)校:_姓名：_班級：_考號：_外裝訂線2021年北京市高考數(shù)學(xué)試題題號一二三四總分得分注意事項(xiàng)：1答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2請將答案正確填寫在答題卡上評卷人得分一、單選題1已知集合，則（       ）ABCD2在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿足，則（       ）ABCD3已知是定義在上的函數(shù)，那么“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“函數(shù)在上的最大值為”的（       ）A

2、充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件4某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（       ）ABCD5若雙曲線離心率為，過點(diǎn)，則該雙曲線的方程為（       ）ABCD6中國共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定指出，中國共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長(單位:cm)成等差數(shù)列，對應(yīng)的寬為(單位: cm),且長與寬之比都相等，已知，則A64B96C128D1607函數(shù)是A奇

3、函數(shù)，且最大值為2B偶函數(shù)，且最大值為2C奇函數(shù)，且最大值為D偶函數(shù)，且最大值為8某一時間段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個時段的降雨量（單位：）24h降雨量的等級劃分如下：在綜合實(shí)踐活動中，某小組自制了一個底面直徑為200 mm，高為300 mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如圖所示)，則這24h降雨量的等級是A小雨B中雨C大雨D暴雨9已知直線（為常數(shù)）與圓交于點(diǎn)，當(dāng)變化時，若的最小值為2，則       ABCD10已知是

4、各項(xiàng)均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且，若，則的最大值為（       ）A9B10C11D12評卷人得分二、填空題11在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為_12若點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)為，寫出的一個取值為_13已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：若，恰 有2個零點(diǎn)；存在負(fù)數(shù)，使得恰有個1零點(diǎn)；存在負(fù)數(shù)，使得恰有個3零點(diǎn)；存在正數(shù)，使得恰有個3零點(diǎn)其中所有正確結(jié)論的序號是_評卷人得分三、雙空題14已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，垂直軸與于點(diǎn).若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_； 的面積為_15已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則 _；_.評卷人得

5、分四、解答題16在中，（1）求；（2）再從條件、條件、條件這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求邊上中線的長條件：；條件：的周長為；條件：的面積為；17如圖：在正方體中，為中點(diǎn)，與平面交于點(diǎn)（1）求證：為的中點(diǎn)；（2）點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求的值18在核酸檢測中, “k合1” 混采核酸檢測是指：先將k個人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測,如果這k個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陰性，得到每人的檢測結(jié)果都為陰性，檢測結(jié)束:如果這k個人中有人感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陽性，此時需對每人再進(jìn)行1次檢測,得到每人的檢測結(jié)果，檢測結(jié)束.現(xiàn)對100人進(jìn)行核酸檢測，假設(shè)其中只有2人感

6、染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測結(jié)果準(zhǔn)確.（I）將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數(shù);(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設(shè)X是檢測的總次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).(II）將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設(shè)Y是檢測的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)19已知函數(shù)（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值20已知橢圓一個頂 點(diǎn)，以橢圓的四個頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四

7、邊形面積為（1）求橢圓E的方程；（2）過點(diǎn)P(0，-3)的直線l斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與直線交y=-3交于點(diǎn)M，N，當(dāng)|PM|+|PN|15時，求k的取值范圍21設(shè)p為實(shí)數(shù).若無窮數(shù)列滿足如下三個性質(zhì)，則稱為數(shù)列： ，且；，（1）如果數(shù)列的前4項(xiàng)為2，-2，-2，-1，那么是否可能為數(shù)列？說明理由；（2）若數(shù)列是數(shù)列，求；（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.是否存在數(shù)列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說明理由試卷第6頁，共6頁參考答案：1B【解析】【分析】結(jié)合題意利用并集的定義計(jì)算即可.【詳解】由題意可得：.故選：B.2D【解析】【分析】由題意利用

8、復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【詳解】由題意可得：.故選：D.3A【解析】【分析】利用兩者之間的推出關(guān)系可判斷兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上的最大值為，若在上的最大值為，比如，但在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故在上的最大值為推不出在上單調(diào)遞增，故“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“在上的最大值為”的充分不必要條件，故選：A.4A【解析】【分析】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體（三棱錐），根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可計(jì)算該幾何體的表面積.【詳解】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體-正三棱錐，其側(cè)面為等腰直角三角形，底面等邊三角形，由三視圖可得該正三棱錐的側(cè)棱長為1，故其表面積為，故選：A.5B

9、【解析】【分析】分析可得，再將點(diǎn)代入雙曲線的方程，求出的值，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】，則，則雙曲線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，解得，故，因此，雙曲線的方程為.故選：B6C【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列公差為，求得，得到，結(jié)合黨旗長與寬之比都相等和，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，五種規(guī)格黨旗的長(單位:cm)成等差數(shù)列，設(shè)公差為，因?yàn)?，可得，可得，又由長與寬之比都相等，且，可得，所以.故選：C.7D【解析】【分析】由函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷奇偶性；利用二倍角公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷最大值.【詳解】由題意，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，又，所以當(dāng)時，取最大值.故

10、選：D.8B【解析】【分析】計(jì)算出圓錐體積，除以圓面的面積即可得降雨量，即可得解.【詳解】由題意，一個半徑為的圓面內(nèi)的降雨充滿一個底面半徑為，高為的圓錐，所以積水厚度，屬于中雨.故選：B.9C【解析】【分析】先求得圓心到直線距離，即可表示出弦長，根據(jù)弦長最小值得出【詳解】由題可得圓心為，半徑為2，則圓心到直線的距離，則弦長為，則當(dāng)時，弦長取得最小值為，解得.故選：C.10C【解析】【分析】使數(shù)列首項(xiàng)、遞增幅度均最小，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)及求和公式求得可能的最大值，然后構(gòu)造數(shù)列滿足條件，即得到的最大值【詳解】若要使n盡可能的大，則，遞增幅度要盡可能小，不妨設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列，其前

11、n項(xiàng)和為，則，所以.對于，取數(shù)列各項(xiàng)為(，,則，所以n的最大值為11故選：C11【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理求出通項(xiàng)公式并整理化簡，然后令的指數(shù)為零，求解并計(jì)算得到答案.【詳解】的展開式的通項(xiàng)令，解得，故常數(shù)項(xiàng)為故答案為：.12（滿足即可）【解析】【分析】根據(jù)在單位圓上，可得關(guān)于軸對稱，得出求解.【詳解】與關(guān)于軸對稱，即關(guān)于軸對稱， ，則，當(dāng)時，可取的一個值為.故答案為：（滿足即可）.13【解析】【分析】由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于，當(dāng)時，由，可得或，正確；對于，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解

12、得，所以，存在，使得只有一個零點(diǎn)，正確；對于，當(dāng)直線過點(diǎn)時，解得，所以，當(dāng)時，直線與曲線有兩個交點(diǎn)，若函數(shù)有三個零點(diǎn)，則直線與曲線有兩個交點(diǎn)，直線與曲線有一個交點(diǎn)，所以，此不等式無解，因此，不存在，使得函數(shù)有三個零點(diǎn)，錯誤；對于，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，當(dāng)時，函數(shù)有三個零點(diǎn)，正確.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，求解此類問題的一般步驟：（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問題；（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；（3）得解，即由

13、列出的式子求出參數(shù)的取值范圍14     5     【解析】【分析】根據(jù)焦半徑公式可求的橫坐標(biāo)，求出縱坐標(biāo)后可求.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的方程為，故且.因?yàn)椋獾?，故，所以，故答案為?；.15     0     3【解析】【分析】根據(jù)坐標(biāo)求出，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算直接計(jì)算即可.【詳解】以交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系如圖所示：則，.故答案為：0；3.16（1）；（2）答案不唯一，具體見解析【解析】【分析】（1）由正弦定理化邊為角即可

14、求解；（2）若選擇：由正弦定理求解可得不存在；若選擇：由正弦定理結(jié)合周長可求得外接圓半徑，即可得出各邊，再由余弦定理可求；若選擇：由面積公式可求各邊長，再由余弦定理可求.【詳解】（1），則由正弦定理可得，解得；（2）若選擇：由正弦定理結(jié)合（1）可得，與矛盾，故這樣的不存在；若選擇：由（1）可得，設(shè)的外接圓半徑為，則由正弦定理可得，則周長，解得，則，由余弦定理可得邊上的中線的長度為：；若選擇：由（1）可得，即，則，解得，則由余弦定理可得邊上的中線的長度為：.17（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】(1)首先將平面進(jìn)行擴(kuò)展，然后結(jié)合所得的平面與直線的交點(diǎn)即可證得題中的結(jié)論；(2)建立空間直角坐

15、標(biāo)系，利用空間直角坐標(biāo)系求得相應(yīng)平面的法向量，然后解方程即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】(1)如圖所示，取的中點(diǎn)，連結(jié)，由于為正方體，為中點(diǎn)，故，從而四點(diǎn)共面，即平面CDE即平面，據(jù)此可得：直線交平面于點(diǎn)，當(dāng)直線與平面相交時只有唯一的交點(diǎn)，故點(diǎn)與點(diǎn)重合，即點(diǎn)為中點(diǎn).(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向分別為軸，軸，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長為2，設(shè)，則：，從而：，設(shè)平面的法向量為：，則：，令可得：，設(shè)平面的法向量為：，則：，令可得：，從而：，則：，整理可得：，故（舍去）.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的線面關(guān)系和二面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，對于立體幾何中角的

16、計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.18（1）次；分布列見解析；期望為；（2）【解析】【分析】（1）由題設(shè)條件還原情境，即可得解；求出X的取值情況，求出各情況下的概率，進(jìn)而可得分布列，再由期望的公式即可得解；（2）求出兩名感染者在一組的概率，進(jìn)而求出，即可得解.【詳解】（1）對每組進(jìn)行檢測，需要10次；再對結(jié)果為陽性的組每個人進(jìn)行檢測，需要10次；所以總檢測次數(shù)為20次；由題意，可以取20，30，則的分布列:所以；（2）由題意，可以取25，30，兩名感染者在同一組的概率為，不在同一組的概率為，則.19（1）；（2）函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，最

17、大值為，最小值為.【解析】【分析】（1）求出、的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；（2）由可求得實(shí)數(shù)的值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，由此可得出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，則，此時，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）因?yàn)?，則，由題意可得，解得，故，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以，.20（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓所過的點(diǎn)及四個頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積可求，從而可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)，求出直線的方程后可得的橫坐標(biāo)，從而可得，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理化簡，從而可求的范圍，注意判別式的要求.【詳解】

18、（1）因?yàn)闄E圓過，故，因?yàn)樗膫€頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為，故，即，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)，因?yàn)橹本€的斜率存在，故，故直線，令，則，同理.直線，由可得，故，解得或.又，故，所以又故即，綜上，或.21（1）不可以是數(shù)列；理由見解析；（2）；（3）存在；【解析】【分析】(1)由題意考查的值即可說明數(shù)列不是數(shù)列；(2)由題意首先確定數(shù)列的前4項(xiàng)，然后討論計(jì)算即可確定的值；(3)構(gòu)造數(shù)列，易知數(shù)列是的，結(jié)合(2)中的結(jié)論求解不等式即可確定滿足題意的實(shí)數(shù)的值.【詳解】(1)因 為 所以，因 為所 以所以數(shù)列，不可能是數(shù)列.(2)性質(zhì)，由性質(zhì)，因此或，或，若，由性質(zhì)可知，即或，矛盾；若，由有，矛盾.因此只能是.又因?yàn)榛?，所以?若，則，不滿足，舍去.當(dāng)，則前四項(xiàng)為:0，0，0，1，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，經(jīng)驗(yàn)證命題成立，假設(shè)當(dāng)時命題成立，當(dāng)時：若，則