三角函數(shù)求值問(wèn)題基本解題方法(1)

1、三角函數(shù)求值問(wèn)題基本解題方法三角函數(shù)的求值問(wèn)題，由于涉及的三角公式較多，問(wèn)題的解法也比較靈活，但也會(huì)呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性湊角法一些求值問(wèn)題通過(guò)觀察角之間的關(guān)系，并充分利用角之間的關(guān)系，往往是湊出特殊角，可以實(shí)現(xiàn)順利解答例求的值解析原式評(píng)注三角求值主要借助消除三個(gè)方面的差異解答，即消除函數(shù)名稱差異，或者式子結(jié)構(gòu)的差異，或者角度之間的差異，湊角法體現(xiàn)的就是消除非特殊角與特殊角之間的差異本題注意若將第一步中的分子化為，或者化為，都沒(méi)有上面的方法簡(jiǎn)捷，請(qǐng)同學(xué)們進(jìn)行操作比較，分析原因，并注意湊角也需謹(jǐn)慎選擇！降冪法一些涉及高次三角式的求值問(wèn)題，往往借助已知及，或降冪公式等借助降冪策略解答例若，求的值解析由

2、，得，（舍去）由，又可得，則，又由，得，故，代值可得評(píng)注若求出的值后直接簡(jiǎn)單代入，則運(yùn)算量將大得多，而主動(dòng)降冪后就截然不同了涉及非單角形式的三角函數(shù)問(wèn)題，有時(shí)也需要考慮降冪進(jìn)而化為一個(gè)角的三角函數(shù)形式解答，遇到“高次”問(wèn)題就特別注意聯(lián)想“降冪法”解答配對(duì)法根據(jù)一些三角式的特征，適當(dāng)進(jìn)行配對(duì)，有時(shí)可以實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的順利解答例已知，且，求的值解析設(shè)，令，則，其中，又，故，故可解得則，或，或，又，則或評(píng)注三角函數(shù)中的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)是一對(duì)互余函數(shù)，有很多對(duì)稱的結(jié)論，如等，因此在解決一些三角求值，求證等問(wèn)題時(shí)，可以構(gòu)造對(duì)偶式，實(shí)施配對(duì)策略，嘗試進(jìn)行巧妙解答換元法很多給值求值問(wèn)題都是給的單角的某一三角函數(shù)

3、值，但有時(shí)會(huì)出現(xiàn)給出復(fù)合角的三角函數(shù)值求值的問(wèn)題，此時(shí)，利用換元法可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的已知單角的三角函數(shù)值求值問(wèn)題例求的值解析令，則原式評(píng)注教材求值問(wèn)題往往是已知單角三角函數(shù)值求值，而近幾年的高考和期末考試試題，則青睞于已知復(fù)合角的三角函數(shù)值求值，因此備考時(shí)要特別注意此點(diǎn)，解答此類問(wèn)題的換元法或整體思想也都十分重要對(duì)本題，若直接將三部分借助兩角和的正弦公式與余弦公式展開，則要繁雜得多方程法 根據(jù)已知構(gòu)造所求量的方程解答例若，試求的值解析令，則，由已知，有，即，得，或（舍去）即，又，整理可得，解得或評(píng)注將已知轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵方程的思想方法是解答諸多三角函數(shù)問(wèn)題的基本大法，如求三角函

4、數(shù)的解析式等問(wèn)題一般地，若題目中有個(gè)需要確定的未知數(shù)，則只要構(gòu)造個(gè)方程解答即可討論法涉及含有參數(shù)或正負(fù)情形的三角問(wèn)題，往往需要借助討論法進(jìn)行解答例已知中，求解析由，得當(dāng)時(shí)，因?yàn)槭堑膬?nèi)角，需要滿足，有，而余弦函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù)，得，但，故此情形不合題意可以驗(yàn)證符合題意，故評(píng)注分類討論是將問(wèn)題化整為零，進(jìn)而化難為易的重要思想方法，一般含有絕對(duì)值的三角函數(shù)問(wèn)題，涉及未確定象限的角的問(wèn)題等，都要首先考慮“討論”！平方法分析已知和所求，有時(shí)借助“取平方”的方法可以實(shí)現(xiàn)順利解題例已知，求的值解析有，兩式兩邊平方后對(duì)應(yīng)相加，可得，即評(píng)注學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要掌握一些基本的操作技能，而“取”就是其中的重要一種，除了“取平

5、方”外，常見的還有“取對(duì)數(shù)”，“取倒數(shù)”等操作，需要注意體會(huì)本題就是借助平方關(guān)系實(shí)現(xiàn)整體消元后解答的猜想法根據(jù)已知數(shù)據(jù)的特征進(jìn)行必要的猜想，能更好的解決求值問(wèn)題例已知，且為第二象限角，則解析由及，可得評(píng)注實(shí)際上，將與聯(lián)立所得二元二次方程組只有兩組解，即或，依題意只可取前者學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，要培養(yǎng)對(duì)數(shù)據(jù)的敏感性，能根據(jù)數(shù)據(jù)特征進(jìn)行積極聯(lián)想，進(jìn)而適當(dāng)猜想，能有效提高解題速度，而且猜想是一種重要的推理形式，并不是“胡猜亂想”，要緊扣已知和所求進(jìn)行圖象法根據(jù)已知條件，借助圖象才能更好的解決對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)問(wèn)題例已知函數(shù)的圖象與直線在軸右側(cè)的與軸距離最近的相鄰三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)的值解析如右圖，設(shè)三個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為，由三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性，則有，有，又，解得故函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)，代入可得評(píng)注數(shù)和形是數(shù)學(xué)的兩大支柱，三角函數(shù)的很多問(wèn)題都有圖形背景，在解決問(wèn)題時(shí)，要充分借助圖形進(jìn)行直觀分析，往往能更快捷的實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解答，注意培養(yǎng)做草圖的能力等比性質(zhì)法借助比例的性質(zhì)，有時(shí)可以實(shí)現(xiàn)快速解答三角函數(shù)問(wèn)題例求證解析若（或），因?yàn)椋?，或，?yàn)證可知等式成立若，則由，及比例性