南京市、鹽城市2014屆高三數(shù)學(xué)第二次模擬考試題目

1、江蘇省南京、鹽城市2014屆高三第二次模擬考試 數(shù) 學(xué) 2014.03注意事項：1本試卷共4頁，包括填空題（第1題第14題）、解答題（第15題第20題）兩部分本試卷滿分為160分，考試時間為120分鐘2答題前，請務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級、學(xué)號寫在答題紙的密封線內(nèi)試題的答案寫在答題紙上對應(yīng)題目的答案空格內(nèi)考試結(jié)束后，交回答題紙參考公式：柱體的體積公式：VSh，其中S為柱體的底面積，h為柱體的高圓柱的側(cè)面積公式：S側(cè)2Rh，其中R為圓柱的底面半徑，h為圓柱的高一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，計70分. 不需寫出解答過程，請把答案寫在答題紙的指定位置上）1函數(shù)f(x)lnx的定義域為

2、2已知復(fù)數(shù)z12i，z2a2i(i為虛數(shù)單位，aR)若z1z2為實數(shù)，則a的值為 150 200 250 300 350 400 4500.005a0.0010.0040.003O成績/分(第3題圖)3某地區(qū)教育主管部門為了對該地區(qū)模擬考試成績進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取了150分到450分之間的1000名學(xué)生的成績，并根據(jù)這1000名學(xué)生的成績畫出樣本的頻率分布直方圖(如圖)，則成績在300，350)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)共有 k1開始輸出k結(jié)束S6 S1YN SS(k1)2 kk1(第6題圖)4盒中有3張分別標(biāo)有1，2，3的卡片從盒中隨機(jī)抽取一張記下號碼后放回，再隨機(jī)抽取一張記下號碼，則兩次抽取的卡片號碼中至

3、少有一個為偶數(shù)的概率為 5已知等差數(shù)列an的公差d不為0，且a1，a3，a7成等比數(shù)列，則的值為 6執(zhí)行如圖所示的流程圖，則輸出的k的值為 xxyO22(第7題圖)7函數(shù)f(x)Asin(x)(A，為常數(shù)，A0，0，0)的圖象如下圖所示，則f()的值為 8在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線1(a0，b0)的兩條漸近線與拋物線y24x的準(zhǔn)線相交于A，B兩點若AOB的面積為2，則雙曲線的離心率為 9表面積為12的圓柱，當(dāng)其體積最大時，該圓柱的底面半徑與高的比為 10已知|1，|2，AOB，則與的夾角大小為 11在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點P(5，3)作直線l與圓x2y24相交于A，B兩點，若OAO

4、B，則直線l的斜率為 12已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)0x1時，f(x)x2，當(dāng)x0時，f(x1)f(x)f(1)，且 若直線ykx與函數(shù)yf(x)的圖象恰有5個不同的公共點，則實數(shù)k的值為 13在ABC中，點D在邊BC上，且DC2BD，ABADAC3k1，則實數(shù)k的取值范圍為 14設(shè)函數(shù)f(x)axsinxcosx若函數(shù)f(x)的圖象上存在不同的兩點A，B，使得曲線yf(x)在點A，B處的切線互相垂直，則實數(shù)a的取值范圍為 二、解答題（本大題共6小題，計90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)）15(本小題滿分14分)PBCDEA(第15題

5、圖)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAB平面ABCD，PAPB， BPBC，E為PC的中點 （1）求證：AP平面BDE； （2）求證：BE平面PAC16(本小題滿分14分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角的頂點是坐標(biāo)原點，始邊為x軸的正半軸，終邊與單位圓O交于點A(x1 ，y1 )，(，)將角終邊繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，交單位圓于點B(x2，y2)ABDOCxy(第16題圖)（1）若x1，求x2；（2）過A，B作x軸的垂線，垂足分別為C，D，記AOC及 BOD的面積分別為S1，S2，且S1S2，求tan的值17(本小題滿分14分)APMNBC(第17題圖)如圖，經(jīng)過村莊A有兩

6、條夾角為60的公路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M、N (異于村莊A)，要求PMPNMN2(單位：千米)如何設(shè)計，使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠(yuǎn))18 (本小題滿分16分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1(ab0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2，一條準(zhǔn)線方程為x2P為橢圓C上一點，直線PF1交橢圓C于另一點Q（1）求橢圓C的方程；（2）若點P的坐標(biāo)為(0，b)，求過P，Q，F(xiàn)2三點的圓的方程；（3）若，且，2，求的最大值19(本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)ex，a，bR，且a0（1）若a2，b1

7、，求函數(shù)f(x)的極值；（2）設(shè)g(x)a(x1)exf(x) 當(dāng)a1時，對任意x(0，)，都有g(shù)(x)1成立，求b的最大值； 設(shè)g(x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù)若存在x1，使g(x)g(x)0成立，求的取值范圍20(本小題滿分16分)已知數(shù)列an的各項都為正數(shù)，且對任意nN*，a2n1，a2n，a2n1成等差數(shù)列，a2n，a2n1，a2n2成等比數(shù)列（1）若a21，a53，求a1的值；（2）設(shè)a1a2，求證：對任意nN*，且n2，都有南京市2014屆高三年級第二次模擬考試 數(shù)學(xué)附加題 2014.03注意事項：1附加題供選修物理的考生使用2本試卷共40分，考試時間30分鐘3答題前，考生務(wù)必將自己的姓

8、名、學(xué)校、班級、學(xué)號寫在答題紙的密封線內(nèi)試題的答案寫在答題紙上對應(yīng)題目的答案空格內(nèi)考試結(jié)束后，交回答題紙21【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分請在答卷卡指定區(qū)域內(nèi)作答解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟A選修41：幾何證明選講如圖，ABC為圓的內(nèi)接三角形，ABAC，BD為圓的弦，且BDAC過點A作圓的切線與AEBCFD第21題A圖DB的延長線交于點E，AD與BC交于點F （1）求證：四邊形ACBE為平行四邊形； （2）若AE6，BD5，求線段CF的長.B選修42：矩陣與變換 已知矩陣A的一個特征值為2，其對應(yīng)的一個特征向量為 （1）求矩陣A； （2）若A

9、，求x，y的值C選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中，求曲線r2cos關(guān)于直線(rR)對稱的曲線的極坐標(biāo)方程D選修45：不等式選講已知x，yR，且|xy|，|xy|，求證：|x5y|1【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分請在答卷卡指定區(qū)域內(nèi)作答解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟22（本小題滿分10分）某中學(xué)有4位學(xué)生申請A，B，C三所大學(xué)的自主招生若每位學(xué)生只能申請其中一所大學(xué)，且申請其中任何一所大學(xué)是等可能的（1）求恰有2人申請A大學(xué)的概率；（2）求被申請大學(xué)的個數(shù)X的概率分布列與數(shù)學(xué)期望E(X)23（本小題滿分10分） 設(shè)f(n)是定義在N*上的增函數(shù)，f(4)5，且

10、滿足：任意nN*，f(n)Z；任意m，nN*，有f(m)f(n)f(mn)f(mn1)（1）求f(1)，f(2)，f(3)的值；（2）求f(n)的表達(dá)式參考答案一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計70分.1(0，1 24 3300 4 52 64 71 8 9 1060 111或 1222 13(，) 141，1二、解答題15證：（1）設(shè)ACBDO，連結(jié)OE因為ABCD為矩形，所以O(shè)是AC的中點因為E是PC中點，所以O(shè)EAP 4分因為AP平面BDE，OE平面BDE，所以AP平面BDE 6分（2）因為平面PAB平面ABCD，BCAB，平面PAB平面ABCDAB，所以BC平面PAB 8分因

11、為AP平面PAB，所以BCPA因為PBPA，BCPBB，BC，PB平面PBC，所以PA平面PBC 12分因為BE平面PBC，所以PABE因為BPPC，且E為PC中點，所以BEPC因為PAPCP，PA，PC平面PAC，所以BE平面PAC 14分16解：（1）解法一：因為x1，y10，所以y1 所以sin，cos 2分所以x2cos()coscossinsin 6分 解法二：因為x1，y10，所以y1A(，)，則(，)，2分 (x2，y2)， 因為|cosAOB，所以x2y2 4分 又x22y221，聯(lián)立消去y2得50 x2230x270 解得x2或，又x20，所以x2 6分 解法三：因為x1，y

12、10，所以y1 因此A(，)，所以tan2分 所以tan()7，所以直線OB的方程為y7x 4分 由得x，又x20，所以x2 6分（2）S1sincossin2 8分因為(，)，所以(，) 所以S2sin()cos()sin(2)cos210分 因為S1S2，所以sin2cos2，即tan2 12分 所以，解得tan2或tan 因為(，)，所以tan214分17、解法一：設(shè)AMN，在AMN中，因為MN2，所以AMsin(120) 2分在APM中，cosAMPcos(60) 6分AP2AM2MP22 AMMPcosAMPsin2(120)422 sin(120) cos(60) 8分sin2(6

13、0) sin(60) cos(60)41cos (2120) sin(2120)4sin(2120)cos (2120)sin(2150)，(0，120) 12分 當(dāng)且僅當(dāng)2150270，即60時，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2答：設(shè)計AMN為60時，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小14分APMNBC第17題圖D解法二(構(gòu)造直角三角形)：設(shè)PMD，在PMD中，PM2，PD2sin，MD2cos 2分在AMN中，ANMPMD，AMsin，ADsin2cos，(時，結(jié)論也正確)6分AP2AD2PD2(sin2cos)2(2sin)2sin2sincos4cos24sin2 8分sin24s

14、in2cos2sin(2)，(0，) 12分當(dāng)且僅當(dāng)2，即時，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2 此時AMAN2，PAB30 14分解法三：設(shè)AMx，ANy，AMN在AMN中，因為MN2，MAN60，所以MN2AM2AN22 AMANcosMAN，即x2y22xycos60x2y2xy4 2分因為，即，所以siny，cos 6分cosAMPcos(60)cossiny8分在AMP中，AP2AM2PM22 AMPMcosAMP，即AP2x2422xx24x(x2y)42xy12分因為x2y2xy4，4xyx2y22xy，即xy4所以AP212，即AP2當(dāng)且僅當(dāng)xy2時，AP取得最大值2 答

15、：設(shè)計AMAN2 km時，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小14分 解法四(坐標(biāo)法)：以AB所在的直線為x軸，A為坐標(biāo)原點，建立直角坐標(biāo)系設(shè)M(x1，0)，N(x2，x2)，P(x0，y0)MN2，(x1x2)23x4 2分MN的中點K(，x2) MNP為正三角形，且MN2PK，PKMNPK2(x0)2(y0x2)23， kMNkPK1，即1， 6分 y0x2(x0)，(y0x2)2(x0)2(1)(x0)23，即 (x0)23，(x0)2xx00 x0x2，x0x12x2，y0x1 8分AP2xy(2x2x1)2xx4x2x1x244x1x244212， 12分即AP2 答：設(shè)計AMAN2 km

16、時，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小14分解法五(變換法)：以AB所在的直線為x軸，A為坐標(biāo)原點，建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)PMNBCxy設(shè)M(x1，0)，N(x2，x2)，P(x0，y0)MN2，(x1x2)23x4即x4x42x1x242x1x24x1x2，即x1x22 4分MNP為正三角形，且MN2PK，PKMN順時針方向旋轉(zhuǎn)60后得到(x0x1，y0)，(x2x1，x2) ，即x0x1(x2x1)x2，y0(x2x1)x2x02x2x1，y0x1 8分AP2xy(2x2x1)2xx4x2x1x2 44x1x244212， 12分即AP2 答：設(shè)計AMAN2 km時，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小1

17、4分APMNBCFE解法六(幾何法)：由運動的相對性，可使PMN不動，點A在運動由于MAN60，點A在以MN為弦的一段圓弧(優(yōu)弧)上，4分設(shè)圓弧所在的圓的圓心為F，半徑為R，由圖形的幾何性質(zhì)知：AP的最大值為PFR 8分在AMN中，由正弦定理知：2R，R， 10分FMFNR，又PMPN，PF是線段MN的垂直平分線設(shè)PF與MN交于E，則FE2FM2ME2R212即FE，又PE 12PF，AP的最大值為PFR2 答：設(shè)計AMAN2 km時，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小14分18、（1）解：由題意得 解得c1，a22，所以b2a2c21 所以橢圓的方程為y21 2分 （2）因為P(0，1)，F(xiàn)1(

18、1，0)，所以PF1的方程為xy10由 解得或所以點Q的坐標(biāo)為(，) 4分解法一：因為kPFkPF1，所以PQF2為直角三角形 6分因為QF2的中點為(，)，QF2，所以圓的方程為(x)2(y)2 8分解法二：設(shè)過P，Q，F(xiàn)2三點的圓為x2y2DxEyF0，則 解得 所以圓的方程為x2y2xy0 8分（3）解法一：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則(x11，y1)，(1x2，y2)因為，所以即所以解得x2 12分所以x1x2y1y2x2(1x2)yx22(1)x2()2(1)() 14分因為，2，所以22，當(dāng)且僅當(dāng)，即1時，取等號所以，即最大值為 16分解法二：當(dāng)PQ斜率不存在時， 在y

19、21中，令x1得y 所以，此時 2 當(dāng)PQ斜率存在時，設(shè)為k，則PQ的方程是yk(x1)， 由得(12k2)x24k2x2k220， 韋達(dá)定理 4設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2) ， 則 的最大值為，此時 819、解：（1）當(dāng)a2，b1時，f (x)(2)ex，定義域為(，0)(0，)所以f (x)ex 2分令f (x)0，得x11，x2，列表x(，1)1(1，0)(0，)(，)f (x)f (x)極大值極小值由表知f (x)的極大值是f (1)e1，f (x)的極小值是f ()44分（2） 因為g (x)(axa)exf (x)(ax2a)ex，當(dāng)a1時，g (x)(x2)ex因為g (

20、x)1在x（0，）上恒成立，所以bx22x在x（0，）上恒成立 8分記h(x)x22x（x0），則h(x)當(dāng)0x1時，h(x)0，h(x)在（0，1）上是減函數(shù)；當(dāng)x1時，h(x)0，h(x)在（1，）上是增函數(shù)所以h(x)minh(1)1e1 所以b的最大值為1e1 10分解法二：因為g (x)(axa)exf (x)(ax2a)ex，當(dāng)a1時，g (x)(x2)ex因為g (x)1在x（0，）上恒成立，所以g(2)e20，因此b0 6分g(x)(1)ex(x2)ex因為b0，所以：當(dāng)0x1時，g(x)0，g(x)在（0，1）上是減函數(shù)；當(dāng)x1時，g(x)0，g(x)在（1，）上是增函數(shù)所以

21、g(x)ming(1)(1b)e1 8分因為g (x)1在x（0，）上恒成立，所以(1b)e11，解得b1e1因此b的最大值為1e1 10分解法一：因為g (x)(ax2a)ex，所以g (x)(axa)ex由g (x)g (x)0，得(ax2a)ex(axa)ex0，整理得2ax33ax22bxb0存在x1，使g (x)g (x)0成立，等價于存在x1，2ax33ax22bxb0成立 12分因為a0，所以設(shè)u(x)（x1），則u(x)因為x1，u(x)0恒成立，所以u(x)在（1，）是增函數(shù)，所以u(x)u(1)1，所以1，即的取值范圍為（1，） 16分解法二：因為g (x)(ax2a)ex

22、，所以g (x)(axa)ex由g (x)g (x)0，得(ax2a)ex(axa)ex0，整理得2ax33ax22bxb0存在x1，使g (x)g (x)0成立，等價于存在x1，2ax33ax22bxb0成立 12分設(shè)u(x)2ax33ax22bxb(x1)u(x)6ax26ax2b6ax(x1)2b-2b 當(dāng)b0時，u(x) 0此時u(x)在1，)上單調(diào)遞增，因此u(x)u(1)ab因為存在x1，2ax33ax22bxb0成立所以只要ab0即可，此時10 13分當(dāng)b0時，令x01，得u(x0)b0，又u(1)ab0于是u(x)0，在(1，x0)上必有零點即存在x1，2ax33ax22bxb

23、0成立，此時0 15分綜上有的取值范圍為（1，） 16分20、解：（1）解法一：因為a3，a4，a5成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則a332d，a43d因為a2，a3，a4成等比數(shù)列，所以a2 3分因為a21，所以1，解得d2，或d因為an0，所以d 因為a1，a2，a3成等差數(shù)列，所以a12a2a32(32d)5分解法二：因為a1，a2，a3成等差數(shù)列，a2，a3，a4成等比數(shù)列，a3，a4，a5成等差數(shù)列，則，3分則，解得或（舍），所以。5分解法三：因為a1，a2，a3成等差數(shù)列，則，因為a2，a3，a4成等比數(shù)列，則3分因為a3，a4，a5成等差數(shù)列，則，則解得：或；當(dāng)時，（與矛盾，故舍去），

24、所以5分（注：沒有舍去一解，扣1分）（2）證法一：因為a2n1，a2n，a2n1成等差數(shù)列，a2n，a2n1，a2n2成等比數(shù)列，所以2a2na2n1a2n1， aa2na2n2；所以aa2n2a2n，n2所以2a2n因為an0，所以2 7分即數(shù)列是等差數(shù)列 所以(n1)()由a1，a2及a2n1，a2n，a2n1是等差數(shù)列，a2n，a2n1，a2n2是等比數(shù)列，可得a48分 所以(n1)()所以a2n10分所以a2n2 從而a2n1所以a2n112分 當(dāng)n2m，mN*時， 0 14分當(dāng)n2m1，mN*，m2時， 0 綜上，對一切nN*，n2，有 16分證法二：若n為奇數(shù)且n3時，則an，an

25、1，an2成等差數(shù)列因為0，所以9分若n為偶數(shù)且n2時，則an，an1，an2成等比數(shù)列，所以11分由可知，對任意n2，nN*， 13分又因為，因為a1a2，所以0，即15分綜上，16分21、A選修41：幾何證明選講解：（1）因為AE與圓相切于點A，所以BAEACB因為ABAC，所以ABCACB所以ABCBAE所以AEBC因為BDAC，所以四邊形ACBE為平行四邊形4分（2）因為AE與圓相切于點A，所以AE2EB(EBBD)，即62EB(EB5)，解得BE4根據(jù)（1）有ACBE4，BCAE6設(shè)CFx，由BDAC，得，即，解得x，即CF10分B、解：（1）由題意，得 2，即 解得a2，b4所以A

26、 5分 （2）解法一：A，即 ， 所以 8分解得 10分解法二：因為A，所以A1 7分 因為A，所以A1 所以 10分C、解法一：以極點為坐標(biāo)原點，極軸為x軸建立直角坐標(biāo)系，則曲線r2cos的直角坐標(biāo)方程為 (x1)2y21，且圓心C為(1，0)4分直線的直角坐標(biāo)方程為yx，因為圓心C(1，0)關(guān)于yx的對稱點為(0，1)，所以圓心C關(guān)于yx的對稱曲線為x2(y1)21 8分所以曲線r2cos關(guān)于直線(rR)對稱的曲線的極坐標(biāo)方程為r2sin10分解法二：設(shè)曲線r2cos上任意一點為(r，)，其關(guān)于直線對稱點為(r，)，則 6分將(r，)代入r2cos，得r2cos()，即r2sin所以曲線r

27、2cos關(guān)于直線(rR)對稱的曲線的極坐標(biāo)方程為r2sin10分D、證： 因為|x5y|3(xy)2(xy)| 5分由絕對值不等式性質(zhì)，得|x5y|3(xy)2(xy)|3(xy)|2(xy)|3|xy|2|xy|321即|x5y|1 10分22（本小題滿分10分）解（1）記“恰有2人申請A大學(xué)”為事件A， P(A) 答：恰有2人申請A大學(xué)的概率為 4分（2）X的所有可能值為1，2，3P(X1)，P(X2)，P(X3)X的概率分布列為：X123P所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)123 10分23解：（1）因為f(1)f(4)f(4)f(4)，所以5 f(1)10，則f(1)21分 因為f(n)是單調(diào)增函數(shù)， 所以2f(1)f(2)f(3)f(4)5 因為f(n)Z，所以f(2)3，f(3)4 3分（2）解：由（1）可猜想f (n)n+1 證明：因為f (n)單調(diào)遞增，所以f (n+1)f (n)，又f(n)Z， 所以f (n+1)f (n)+1 首先證明：f (n)n+1 因為f (1)2，所以