含參量反常積分的一致收斂性的判別方法

1、含參量反常積分的一致收斂性的判別方法摘 要: 本文從含參量反常積分的定義及含參量反常積分的一致收斂的定義出發(fā),敘述了含參量反常積分的一致收斂性的四種判別法,并且給出了一些例子.關(guān)鍵詞: 區(qū)域;收斂;一致收斂前言含參量反常積分是微積分學(xué)中一類重要的積分,研究含參量反常積分及其一致收斂性,可以為分析討論函數(shù)的性質(zhì)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).本文歸納了判別含參量反常積分的一致收斂性的五種方法:一致收斂定義、魏爾斯特拉斯M判別法、狄利克雷判別法和阿貝爾判別法,并且給出了典型例子以說明每種判別法的特點(diǎn).1.定義定義1 設(shè)函數(shù)定義在無界區(qū)域上，若對每一個(gè)固定的,反常積分 (1)都收斂,則它的值是在上取值的函數(shù),當(dāng)記這

2、個(gè)函數(shù)為時(shí),則有 ，, (2) 稱式(1)為定義在上的含參量的無窮反常積分,或簡稱含參量反常積分.2.含參量反常積分一致收斂性的判別法定義2 若含參量反常積分(1)與函數(shù)對任給的正數(shù),總存在某一實(shí)數(shù),使得當(dāng)時(shí),對一切,都有 ,即 ,則稱含參量反常積分(1)在上一致收斂于.或簡單的說含參量積分(1)在上一致收斂.定義3 設(shè)函數(shù)在區(qū)域上有定義，若對的某些值, 為函數(shù)的瑕點(diǎn)，則稱 (3)為含參量的無界函數(shù)反常積分，或簡稱含參量反常積分。若對每一個(gè)，積分(3)都收斂，其積分值在上一致收斂的定義是定義4 對任給正數(shù),總存在某正數(shù),使得當(dāng)時(shí),對一切,都有,則稱含參量反常積分在上一致收斂.定理1（一致收斂的

3、柯西準(zhǔn)則） 含參量反常積分(1)在一致收斂的充要條件是：對任給正數(shù),總存在某一實(shí)數(shù),使得當(dāng)時(shí),對一切,都有.例1 證明含參量反常積分 (4)在上一致收斂(其中),但在內(nèi)不一致收斂.證 做變量代換,得 , (5)其中.由于收斂,故對任給正數(shù),總存在正數(shù),使當(dāng)時(shí),就有 .取,則當(dāng)時(shí),對一切,由(5)式有,所以(4)在上一致收斂.現(xiàn)在證明(4)在內(nèi)不一致收斂.由一致收斂定義,只要證明存在某一正數(shù),使對任何實(shí)數(shù),總相應(yīng)地存在某個(gè)及某個(gè),使得.由于非正常積分收斂,故對任何正數(shù)與,總存在某個(gè),使得. 即 . (6)現(xiàn)令,由(5)及不等式(6)的左端就有 .所以(4)在內(nèi)不一致收斂.定理2 含參量反常積分在

4、上一致收斂的充要條件是：對任一趨于的遞增數(shù)列（其中）,函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在上一致收斂.例2 證明：若在上連續(xù),又在上收斂,但在處發(fā)散,則在上不一致收斂.證 用反證法,假如積分在上一致收斂,則對于任給,總存在,當(dāng)時(shí)對一切恒有.由假設(shè)在上連續(xù),所以是的連續(xù)含數(shù).在上面不等式中令,得到當(dāng)時(shí),.而是任給的,因此在處收斂,這與假設(shè)矛盾,所以積分在上不一致收斂.魏爾斯特拉斯M判別法 設(shè)有函數(shù),使得,.若收斂,則在上一致收斂.例3 證明含參量反常積分 (7)在上一致收斂.證 由于對任何實(shí)數(shù)都有及反常積分收斂,故由魏爾斯特拉斯判別法,含參量反常積分(7)在上一致收斂.狄利克雷判別法 設(shè)(i) 對一切實(shí)數(shù),含參量正常積

5、分對參量在上一致有界,即存在正數(shù),對一切及一切,都有;(ii) 對每一個(gè),函數(shù)關(guān)于是單調(diào)遞減且當(dāng)時(shí),對參量一致地收斂于0,則含參量反常積分在上一致收斂.阿貝爾判別法 設(shè)(i)在上一致收斂;(ii) 對每一個(gè),函數(shù)關(guān)于是單調(diào)的單調(diào)函數(shù),對參量在上一致有界.則含參量反常積分在上一致收斂.例4證明含參量反常積分 (8) 在上一致收斂.證 由于反常積分收斂(當(dāng)然對于參量,它在上一致收斂),函數(shù)對每一個(gè)關(guān)于單調(diào),且對任何,都有.故由阿貝爾判別法即得含參量反常積分(8)在上一致收斂.例5 證明(i)在 上一致收斂;(ii)在上不一致收斂.證 (i) ,有 ,而收斂.故 在 上一致收斂.(ii) 因 在處不連續(xù),而 在內(nèi)連續(xù),由連續(xù)性定理知,在上不一致收斂.結(jié)束語本文介紹了含參量反常積分的定義、定理和一致收斂性的判別方法，對我們今后的學(xué)習(xí)將會有很大的幫助. 參考文獻(xiàn):1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編,數(shù)學(xué)分析(下冊)北京:高等教育出版社,20012 錢吉林,數(shù)學(xué)