數(shù)值積分算法與MATLAB實現(xiàn)陳悅

1、東北大學秦皇島分校數(shù)值計算課程設計報告數(shù)值積分算法及MATLAB實現(xiàn)學 院數(shù)學與統(tǒng)計學院專 業(yè)信息與計算科學學 號5133201姓 名陳悅指導教師姜玉山 張建波成 績教師評語：指導教師簽字： 2015年07月14日1 緒論數(shù)值分析是計算數(shù)學的一個主要部分，計算數(shù)學是數(shù)學科學的一個分支，它研究用計算機求解各種數(shù)學問題的數(shù)值檢索方其理論與軟件的實現(xiàn).而數(shù)值分析主要研究數(shù)值計算.現(xiàn)科學技術(shù)的發(fā)展與進步提出了越來越多的復雜的數(shù)值計算問題，這些問題的圓滿解決已遠人工手算所能勝任，必須依靠電子計算機快速準確的數(shù)據(jù)處理能力.這種用計算機處理數(shù)值問題的方法，成為科學計算.今天，科學計算的應用范圍非常廣泛，天氣

2、預報、工程設計、流體計算、經(jīng)濟規(guī)劃和預測以及國防尖端的一些科研項目，如核武器的研制、導彈和火箭的發(fā)射等，始終是科學計算最為活躍的領域.1.1 數(shù)值積分介紹數(shù)值積分是數(shù)值分析的重要環(huán)節(jié)，實際問題當中常常需要計算積分，有些數(shù)值方法，如微分方程和積分方程的求解，也都和積分計算相聯(lián)系.求某函數(shù)的定積分時，在多數(shù)情況下，被積函數(shù)的原函數(shù)很難用初等函數(shù)表達出來，因此能夠借助微積分學的牛頓-萊布尼茲公式計算定積分的機會是不多的.另外，許多實際問題中的被積函數(shù)往往是列表函數(shù)或其他形式的非連續(xù)函數(shù)，對這類函數(shù)的定積分，也不能用不定積分方法求解.由于以上原因，數(shù)值積分的理論與方法一直是計算數(shù)學研究的基本課題.對微

3、積分學做出杰出貢獻的數(shù)學大師，如I.牛頓、L.歐拉、C.F.高斯、拉格朗日等人都在數(shù)值積分這個領域作出了各自的貢獻，并奠定了這個分支的理論基礎.構(gòu)造數(shù)值積分公式最通常的方法是用積分區(qū)間上的n 次插值多項式代替被積函數(shù)，由此導出的求積公式稱為插值型求積公式.特別在節(jié)點分布等距的情形稱為牛頓-科特斯公式，例如梯形公式(Trapezoidal Approximations)與拋物線公式(Approximations Using Parabolas)就是最基本的近似公式.但它們的精度較差.龍貝格算法是在區(qū)間逐次分半過程中，對梯形公式的近似值進行加權(quán)平均獲得準確程度較高的積分近似值的一種方法，它具有公式

4、簡練、計算結(jié)果準確、使用方便、穩(wěn)定性好等優(yōu)點，因此在等距情形宜采用龍貝格求積公式(Rhomberg Integration).當用不等距節(jié)點進行計算時，常用高斯型求積公式計算，它在節(jié)點數(shù)目相同情況下，準確程度較高，穩(wěn)定性好，而且還可以計算無窮積分.數(shù)值積分還是微分方程數(shù)值解法的重要依據(jù).許多重要公式都可以用數(shù)值積分方程導出.現(xiàn)探討數(shù)值積分算法以及運用MATLAB軟件的具體實現(xiàn)1.2 MATLAB軟件MATLAB是美國MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學軟件，用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計算的高級技術(shù)計算語言和交互式環(huán)境，主要包括MATLAB和Simulink兩大部分.MATLAB

5、是matrix&laboratory兩個詞的組合，意為矩陣工廠（矩陣實驗室）.是由美國mathworks公司發(fā)布的主要面對科學計算、可視化以及交互式程序設計的高科技計算環(huán)境.它將數(shù)值分析、矩陣計算、科學數(shù)據(jù)可視化以及非線性動態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強大功能集成在一個易于使用的視窗環(huán)境中，為科學研究、工程設計以及必須進行有效數(shù)值計算的眾多科學領域提供了一種全面的解決方案，并在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設計語言（如C、Fortran）的編輯模式，代表了當今國際科學計算軟件的先進水平.MATLAB和Mathematica、Maple并稱為三大數(shù)學軟件.它在數(shù)學類科技應用軟件中在數(shù)值計算

6、方面首屈一指.MATLAB可以進行矩陣運算、繪制函數(shù)和數(shù)據(jù)、實現(xiàn)算法、創(chuàng)建用戶界面、連接其他編程語言的程序等，主要應用于工程計算、控制設計、信號處理與通訊、圖像處理、信號檢測、金融建模設計與分析等領域.MATLAB的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達式與數(shù)學、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB來解算問題要比用C，F(xiàn)ORTRAN等語言完成相同的事情簡捷得多，并且MATLAB也吸收了像Maple等軟件的優(yōu)點，使MATLAB成為一個強大的數(shù)學軟件.在新的版本中也加入了對C，F(xiàn)ORTRAN，C+，JAVA的支持.2 數(shù)值積分的基本概念 一般的，我們可以在區(qū)間上適當選取某些節(jié)點，然后用的加權(quán)平均得

7、到平均高度的近似值，這樣構(gòu)造出的求積公式具有下列形式：，式中稱為求積節(jié)點；稱為求積系數(shù)，亦稱伴隨節(jié)點的權(quán).權(quán)僅僅與節(jié)點的選取有關，而不依賴于被積函數(shù)的具體形式.2.1 代數(shù)精度的概念如果某個求積公式對于次數(shù)不超過的多項式均能準確的成立，但對于次多項式就不準確成立，則稱該求積公式具有次代數(shù)精度（或代數(shù)精確值）一般地，欲使求積公式具有次代數(shù)精度，只要令它對于都能準確成立，這就要求:2.2 求積公式的余項令求積公式的余項為，其中.；區(qū)間可以是有限的或無限的.構(gòu)造求積公式的問題就是確定和使得在某種意義下盡可能地小.3 數(shù)值積分方法及MATLAB實現(xiàn)3.1 復合辛普森公式 插值型求積公式用插值多項式替換

8、積分中的被積函數(shù)，然后計算作為積分的近似值，這樣建立的求積公式稱為插值型求積公式.用插值多項式的表達式，代入得，其中: .其余項為:.3.1.2 牛頓-科特斯公式介紹 取等距節(jié)點，把積分區(qū)間剖分成等分.令步長，并記，則個節(jié)點為，代入得:=.這種等距節(jié)點的插值型求積公式通常稱為牛頓-科特斯公式. 辛普森公式利用牛頓-科特斯公式，取=2，此時為，即為辛普森公式，其余項為.3.1.4 復合辛普森公式將積分區(qū)間分成等分，分點為，其中，記區(qū)間的中點為，在每個小區(qū)間上用辛普森公式，則得到所謂的復合辛普森公式：.余項為，.3.1.5 復合辛普森公式的MATLAB實現(xiàn)代碼如下：function s=xinpu

9、sen(fun,a,b,n)h=(b-a)/ns1=0;s2=0;for k=0:(n-1) x=a+h*k; s1=s1+feval(fun,x);endfor k=0:(n-1) x=a+h*(k+1/2); s2=s2+feval(fun,x);ends=h/6*(feval(fun,a)+feval(fun,b)+2*s1+4*s2);3.2 龍貝格公式3.2.1 梯形法的遞推化將區(qū)間分成等份，共有個分點，如果將求積區(qū)間再二分一次，則分點增至個，用復合梯形公式求得該子區(qū)間上的積分值為，將每個子區(qū)間上的積分值相加得=.得到遞推公式：.3.2.2 龍貝格算法公式當在上充分光滑時， 可證用逼

10、近的截斷誤差是：=按理查森外推法：，其中，為滿足的適當正數(shù) .取序列：.用來逼近的誤差為，這種算法就是龍貝格算法.3.2.3 龍貝格算法MATLAB實現(xiàn)代碼如下：function s=longbeige(fun,a,b,tol)if nargin<4，tol=1e-4;endi=1;j=1;h=b-a;T(1,1)=h*(feval(fun,a)+feval(fun,b)/2;T(i+1,j)=T(I,j)/2+sum(feval(fun,a+h/2:h:b-h/2)*h/2;T(i+1,j+1)=(4j*T(i+1,j)-T(i.j)/(4j-1);while (abs(T(i+1,i

11、+1)-T(I,i)>tol) i=i+1;h=h/2; T(i+1,1)=T(I,1)/2+sum(feval(fun,a+h/2:h:b-h/2)*h/2; for j=1:i T(i+1,j+1)=(4j*T(i+1,j)-T(I,j)/(4j-1); endendTs=T(i+1,j+1);3.3 自適應法自適應積分法是一種比較經(jīng)濟而且快速的求積分的方法.他能自動地在被積函數(shù)變化劇烈的區(qū)域增多節(jié)點，而在被積函數(shù)變化平緩的地方減少節(jié)點.因此它是一種不均勻區(qū)間的積分方法.按照子區(qū)間上的積分方式它可以分為自適應辛普森積分法和自適應梯形積分法.通常是采用自適應辛普森積分法作為子區(qū)間的積分

12、方式. 自適應積分法的基本步驟如下：(1) 將積分區(qū)間分成兩個相等的1級子區(qū)間和，且；(2) 在上述兩個1級子區(qū)間上用辛普森積分得到積分和;(3) 將子區(qū)間分成兩個相等的2級子區(qū)間和;(4) ;(5) 比較和， 如果| - |<，其中為整體積分所需要的精度，則認為子區(qū)間上的積分已達到所需精度，不需要再細分;否則就需要再細分，對每個2級子區(qū)間做同樣的判斷1級子區(qū)間的操作過程完全與上面相同.3.4 高斯法對已知求積公式可以討論它的代數(shù)精度，反之也可以按照代數(shù)精度要求導出求積公式.對于求積公式，當求積節(jié)點（）固定時，公式有個待定參數(shù)，故此時可要求滿足對“準確”這樣個約束條件，從而使之至少具有次

13、代數(shù)精度.進一步，可考慮將也視為待定參數(shù)，這樣公式的待定參數(shù)就有個，從而可望公式的代數(shù)精度達到.此類高精度的求積公式稱為高斯型公式，而對應的節(jié)點稱為區(qū)間上的高斯點.3.4.1 高斯法的MATLAB實現(xiàn)代碼如下：function g=gaosi(fname,a,b,n,m)switch m case 1 t=0;A=1; case 2 t=-1/sqrt(3),1/sqrt(3);A=1,1; case 3 t=-sqrt(0.6),0.0,sqrt(0.6);A=5/9,8/9,5/9; case 4 t=-0.8612136,-0.339981,0.339981,0.861136; A=0.

14、347855,0.652145,0.652145,0.347855; case 5 t=-0.906180,-0.538469,0.0,0.538469,0.906180; A=0.236927,0.478629,0.568889,0.478629,0.236927; case 6 t=-0.932470,-0.661209,-0.238619,0.238619,0.661209,0.932470; A=0.171325,0.360762,0.467914,0.467914,0.360762,0.171325; otherwise errorendx=linspace(a,b,n+1);g=0

15、;for i=1:n g=g+gsint(fname,x(i),x(i+1),A,t);endfunction g=gsint(fname,a,b,A,t)g=(b-a)/2*sum(A.*feval(fname,(b-a)/2*t+(a+b)/2);3.5 多重積分法考慮二重積分，它是曲面與平面區(qū)域圍成的體積，對于矩形區(qū)域.可將它寫成累次積分若用復合辛普森公式，可分別將分成N，M等份，步長，先對積分應用復合辛普森公式，令，.從而得：.4 數(shù)值積分方法比較例：用數(shù)值積分方法計算方程的值.4.1 復合辛普森公式求解>> fun=inline('4./(1+x.2)')

16、;>> xinpusen(fun,0,1,10)ans = 3.2749259863031184.2 龍貝格算法求解longbeige(inline('4./(1+x.2)'),0,1,1e-6)T = 3.0000 3.1000 3.1333 3.1312 3.1416 3.1421 3.1390 3.1416 3.1416 3.1416 3.1409 3.1416 3.1416 3.1416 3.1416 3.1414 3.1416 3.1416 3.1416 3.1416 3.1416ans =4.3 高斯算法求解>> gaosi(inline(&

17、#39;4./(1+x.2)'),0,1,2,3)ans =>> gaosi(inline('4./(1+x.2)'),0,1,4,4)ans =4.4 三種方法比較分析結(jié)果顯示每一個算法都接近真實值，但龍貝格算法相比較復合辛普森算法，高斯算法來說更加接近.對于代數(shù)精度來說，復合辛普森的代數(shù)精度為11，龍貝格代數(shù)精度為11，高斯代數(shù)精度為11.可見代數(shù)精度相同時，龍貝格的求積精度最小，所以相同條件下龍貝格求積公式最能接近準確值.總結(jié)隨著數(shù)學實驗的興起， 對整個數(shù)學課程教學改革起到了積極的推動作用， 我們要熟悉的運用各種數(shù)學軟件，解決數(shù)學運算中繁瑣的問題，實現(xiàn)學習的簡單，快捷化.同時意識到用MATLAB編程時，要實現(xiàn)代碼的層次性，做到有規(guī)有矩，那樣才能把MATLAB運用自如.這次課程設計，用MATLAB實驗對數(shù)值積分進行了實現(xiàn)，簡介了5種不同的數(shù)值積分的方法，并且實現(xiàn)了其中的3中方法，實現(xiàn)過程中發(fā)現(xiàn)了各種方法之間的區(qū)別和