高等數(shù)學(xué)1.3條件概率與獨(dú)立性

1、1.3 條件概率與獨(dú)立性條件概率與獨(dú)立性第一章第一章 隨機(jī)事件與概率隨機(jī)事件與概率一、條件概率的定義：一、條件概率的定義：1、定義定義1.3: : 設(shè)設(shè)A與與B是兩個(gè)事件是兩個(gè)事件, ,且且 P(B) 0, , 稱稱為在事件為在事件B發(fā)生的條件下發(fā)生的條件下A發(fā)生的發(fā)生的條件概率條件概率.PB 條條件件概概率率符符合合概概率率定定義義中中的的條條 即即注注三三(),P ABP A BP B()() =( )AP A B 非非負(fù)負(fù)性性對(duì)對(duì)任任一一事事件件有有 (1),()0 ;PB規(guī)規(guī)范范性性對(duì)對(duì)必必然然事事件件有有 (2),() =1 ;A A 可可列列可可加加性性設(shè)設(shè)是是兩兩兩兩互互斥斥的的

2、事事件件 則則有有12(3),11iiiiPA BP A B() =()注注 (1)一般概率所具有的性質(zhì)一般概率所具有的性質(zhì), 條件概率均滿足條件概率均滿足.條條件件概概率率定定義義中中的的式式子子可可變變形形, , 即即 (2)nA AAn,設(shè)設(shè)是是任任意意 個(gè)個(gè)事事件件12,P ABP B P A BP B()( ) () ( ( ) 0)2、定理定理1.3(乘法公式乘法公式):nnnP A AAP A P A AP AA AA12121121() =() ()()- -nP A AA若若則則有有121() 0, - -P BP B 條條件件概概率率定定義義中中的的與與是是(3) ( )

3、0 ( )0, B等等價(jià)價(jià)的的 也也就就是是說說事事件件 已已經(jīng)經(jīng)發(fā)發(fā)生生 .例例1.18(Polya模型模型)在有在有a個(gè)紅球、個(gè)紅球、b個(gè)黑球的袋中隨機(jī)個(gè)黑球的袋中隨機(jī)中連續(xù)中連續(xù)取球取球4次，試求第一、二次取到紅球且第三、次，試求第一、二次取到紅球且第三、四次取到黑球的概率四次取到黑球的概率 .于于是所求概率為是所求概率為iA ii 以以表表示示 第第 次次取取到到紅紅解解球球( = 1,2,3,4),取一球，記下顏色放回，并加入取一球，記下顏色放回，并加入c個(gè)同色球個(gè)同色球. . 若在袋若在袋iA ii則則表表示示 第第 次次取取到到黑黑球球( = 1,2,3,4),P A A A A

4、1234()P A P A A P A A A P A A A A1213124123=() () () ()aa + cbb + ca + b a + b + c a + b + c a + b + c=23例例1.19設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡, , 第一次落下時(shí)打第一次落下時(shí)打破的概率為破的概率為7/ /10 , 若前兩次落下未打破若前兩次落下未打破, 第三次落下第三次落下打破的概率為打破的概率為9/ /10 , 求透鏡落下三次而未打破的概率求透鏡落下三次而未打破的概率 .于于是所求概率為是所求概率為iA ii 設(shè)設(shè) 表表示示 第第 次次落落下下鏡鏡解解透透打打破破

5、( = 1,2,3),破的概率為破的概率為1/ /2 , 若第一次落下未打破若第一次落下未打破, 第二次落下打第二次落下打P A A AP A P A A P A A A123121312() =() () ()1793= 111=21010200 二二、獨(dú)立性：、獨(dú)立性：1、定義定義1.4: : 設(shè)設(shè)A與與B是兩個(gè)事件是兩個(gè)事件, ,且且 P(B) 0, , 若若則稱事件則稱事件A 與與B相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 簡稱簡稱A 與與B獨(dú)立獨(dú)立.P A BP A ,() =( )AB 僅僅推推 與與 是是獨(dú)獨(dú)立立的的, , 其其證證余余類類似似. .2、定理定理1.4:設(shè)設(shè)A與與B是兩個(gè)事件是兩個(gè)事件

6、, , 若滿足等式若滿足等式P ABP A P B ,() =( ) ( ) 則事件則事件A 與與B獨(dú)立獨(dú)立 .AA BBABAB因因= P AP ABABP ABP AB= P ABP AP ABP AP A P B所所以以= P AP BP A P B=1=AB即即 與與 獨(dú)獨(dú)立立. .注注 獨(dú)立性概念可推廣到一般情況獨(dú)立性概念可推廣到一般情況 . .則稱事件則稱事件A ,B ,C相互獨(dú)立相互獨(dú)立 .P ABP A P B ,() =( ) ( ) P ACP A P C ,() =( ) ( ) P BCP B P C ,() =( ) ( ) P ABCP A P B P C ,()

7、=( ) ( ) ( ) 3、定義定義1.5: : 設(shè)設(shè)A, , B, , C是三個(gè)事件是三個(gè)事件, , 若滿足如下等式若滿足如下等式注注 要注意三個(gè)事件要注意三個(gè)事件相互獨(dú)立相互獨(dú)立與與兩兩相互獨(dú)立兩兩相互獨(dú)立的的區(qū)別區(qū)別 . .n A AAn設(shè)設(shè)是是 個(gè)個(gè)事事件件 若若對(duì)對(duì)于于其其中中的的任任意意 個(gè)個(gè)12, , 2,4、定義定義1.6: :n任任意意 個(gè)個(gè)任任意意 個(gè)個(gè)事事件件的的積積事事件件的的概概率率, , 均均等等于于3, ,nA AA.各各事事件件概概率率之之積積則則稱稱事事件件相相互互獨(dú)獨(dú)立立 12, , (1) 推論推論1.4: :若若A1 , A2 , , An 相互獨(dú)立相

8、互獨(dú)立, 則其中任意則其中任意k個(gè)個(gè)(2kn)事件均獨(dú)立事件均獨(dú)立 . .(2) 推論推論1.5: :若若A1 , A2 , , An 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 則將這則將這n個(gè)事個(gè)事件中若干個(gè)件中若干個(gè) Ai 換作其對(duì)立事件換作其對(duì)立事件, 則所得則所得 的的n個(gè)事件仍獨(dú)立個(gè)事件仍獨(dú)立 . A An設(shè)設(shè)是是隨隨機(jī)機(jī)事事件件序序列列 若若序序列列中中任任意意 個(gè)個(gè)事事件件12, 5、定義定義1.7: : P P P P性性分分別別為為將將1234, , 均是相互獨(dú)立的均是相互獨(dú)立的 , 則稱這個(gè)事件序列是相互獨(dú)立事件則稱這個(gè)事件序列是相互獨(dú)立事件注注 在實(shí)際應(yīng)用中在實(shí)際應(yīng)用中, 若兩事件若兩事件A與

9、與B之間沒有關(guān)聯(lián)或者之間沒有關(guān)聯(lián)或者序列序列 .關(guān)聯(lián)很微弱關(guān)聯(lián)很微弱, 就認(rèn)為它們是獨(dú)立的就認(rèn)為它們是獨(dú)立的 .例例1.20設(shè)有設(shè)有4個(gè)獨(dú)立工作的元件個(gè)獨(dú)立工作的元件1 , 2 , 3 , 4 . 它們的可靠它們的可靠系系統(tǒng)統(tǒng)的的可可靠靠性性 . .它它們們按按右右圖圖聯(lián)聯(lián)接接, , 試試求求這這個(gè)個(gè)1234iA i =i設(shè)設(shè)表表示示 第第 個(gè)個(gè)元元件件正正常常工工作作 , ,解解 1,2,3,4B表表示示 系系統(tǒng)統(tǒng)能能正正常常工工作作, ,B = AA AA= A A AA A由由圖圖知知 123412314P B ( )= P A A AP A AP A A A A123141234()

10、+()() = P A P A P AP A AP A P A P A P A123141234() () ()+()() () () () = p p pp pp p p p123141234+ = P A A AA A12314()例例1.21三人獨(dú)立地破譯一份密碼三人獨(dú)立地破譯一份密碼, , 已知各人能譯出的已知各人能譯出的概率分別為概率分別為1/5 , 1/3 , 1/4 . . 問三人中至少有一人能將問三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率是多少此密碼譯出的概率是多少?iAi =i設(shè)設(shè)表表示示 第第 個(gè)個(gè)解解 人人能能譯譯出出密密碼碼 , , 則則 1,2,3,4P A=/ , P A=/ , P A=/123()1 5()1 3()1 4B再再設(shè)設(shè) 表表示示 密密碼碼被被譯譯出出 , , 則則 B = AAA123P B