追及問題的解題研究

1、追及問題的解題研究 追及問題是運(yùn)動(dòng)學(xué)中比較常見的一類問題，此類問題的綜合性強(qiáng)，往往涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上物體的運(yùn)動(dòng)過程，每個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律又不盡相同.追及問題的解題方法較多，題目常?？梢砸活}多解，從而培養(yǎng)考生的思維能力和解題能力. 一、追及問題的特點(diǎn)分析1追上與追不上的臨界條件兩物體（追與被追）的速度相等常是追上、追不上及兩者距離有極值的臨界條件2常見的兩類追及形式 (1)速度大者減速(如勻減速直線運(yùn)動(dòng))追速度小者(如勻速運(yùn)動(dòng))兩者速度相等時(shí)，若追者位移仍小于被追者位移與初始兩者間距之和，則永遠(yuǎn)追不上，此時(shí)兩者間距最小兩者速度相等時(shí)，若追者位移恰等于被追者位移與初始兩者間距之和，則剛好追上，也是兩

2、者避免碰撞的臨界條件若相遇時(shí)追者速度仍大于被追者的速度，則被追者還能再一次與追者相遇，兩者速度相等時(shí)，兩者間距離有一個(gè)較大值(2)速度小者加速(如初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng))追速度大者(如勻速運(yùn)動(dòng))一定能追上，當(dāng)兩者速度相等時(shí)兩者間有最大距離當(dāng)追者位移等于被追者位移與初始兩者間距之和時(shí)，后者追上前者即相遇二、追及問題的解題思路及方法1.物理分析法 分析追及問題，其實(shí)質(zhì)就是分析兩物體在相同時(shí)間內(nèi)是否到達(dá)同一位置.追及問題的求解一般要涉及兩物體的不同運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，以及兩物體之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系.所以，在分析追及問題時(shí)，要緊抓“一個(gè)圖三個(gè)關(guān)系式”，即過程示意圖，速度關(guān)系式、時(shí)間關(guān)系式和位移關(guān)系式.同時(shí)在分析追

3、及問題時(shí)，要注意抓住題目中的關(guān)鍵字眼，充分挖掘題目中的隱含條件，如“剛好”、“恰好”、“最多”、“至少”等解決追及問題的思路如下：分析兩物體的運(yùn)動(dòng)情況 畫出過程示意圖抓住兩者速度關(guān)系由時(shí)間和位移關(guān)系列方程調(diào)研1 A、B兩列火車在同一軌道上同向行駛，A車在前，其速度vA10 m/s，B車在后，其速度vB30 m/s.因大霧能見度低，B車在距A車700 m時(shí)才發(fā)現(xiàn)前方有A車，這時(shí)B車立即剎車，但要經(jīng)過1 800 m B車才能停止問A車若按原速度前進(jìn)，兩車是否會(huì)相撞？說明理由 【分析】 根據(jù)兩車的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)畫出它們的運(yùn)動(dòng)過程示意圖（一個(gè)草圖），如圖所示由題意可知，兩車不相撞的速度臨界條件是B車減速到與

4、A車速度相等（速度關(guān)系）.aB=vB2/(2x)=0.25m/s2B車減速至vA10 m/s的時(shí)間t80 s在這段時(shí)間（時(shí)間關(guān)系）內(nèi)A車的位移為：xAvAt800 m則在這段時(shí)間內(nèi)B車的位移為：xBvBt-aBt2/21 600 m兩車的位移關(guān)系：xB1 600mxA+x01 500 m，所以A、B兩車在速度相同之前已經(jīng)相撞2.數(shù)學(xué)方法 應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問題的能力，是高考重點(diǎn)考查的五種能力之一.所謂數(shù)學(xué)方法就是對(duì)物理問題的分析和處理運(yùn)用數(shù)學(xué)關(guān)系式來解決，在追及問題中常用的數(shù)學(xué)方法有不等式、二次函數(shù)的極值、一元二次方程的判別式等.調(diào)研2 甲、乙兩車相距s，同時(shí)同向運(yùn)動(dòng)，乙在前面做加速度為a1

5、，初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，甲在后面做加速度為a2，初速度為v0的勻加速運(yùn)動(dòng)，試討論兩車在運(yùn)動(dòng)過程中相遇次數(shù)與加速度的關(guān)系.【分析】 設(shè)甲經(jīng)過時(shí)間t追上乙，它們相遇時(shí)有x甲x乙=s. 由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：x甲=v0t+a2t2/2，x乙= a1t2/2 對(duì)進(jìn)行討論：（1）當(dāng)a1a2時(shí)，式t只有一個(gè)正解，則相遇一次.（2）當(dāng)a1=a2時(shí)，x甲-x乙=s，所以t=s/v0，t只有一個(gè)解，則相遇一次.（3）當(dāng)a1a2時(shí)，若v022（a1-a2）s，式無解，即不相遇，若v02=2（a1-a2）s，式t只有一個(gè)解，即相遇一次.若v022（a1-a2）s，式t有兩個(gè)正解，即相遇兩次. 3.圖像法 圖像在中學(xué)物理

6、解題中應(yīng)用十分廣泛,它能形象地表達(dá)物理規(guī)律,直觀地?cái)⑹鑫锢磉^程,并簡潔地表示物理量間的各種關(guān)系.所以圖像法是解決物理問題的一種重要方法.在追及問題中，一般根據(jù)兩物體的運(yùn)動(dòng)情況，畫出運(yùn)動(dòng)物體的位移-時(shí)間圖像或者速度-時(shí)間圖像，然后根據(jù)它們的運(yùn)動(dòng)關(guān)系解題.調(diào)研3 兩輛完全相同的汽車，沿水平直路一前一后勻速行駛，速度均為v0，若前車突然以恒定的加速度剎車，在它剛停住時(shí)，后車以前車剎車時(shí)的加速度開始剎車.已知前車在剎車過程中所行駛的距離為s，若要保證兩輛車在上述情況中不相撞，則兩車在勻速行駛時(shí)保持的距離至少應(yīng)為 A.s B.2s C.3s D.4s【分析】 根據(jù)題意畫出前車剎車后做勻減速運(yùn)動(dòng)的速度-時(shí)

7、間圖線（如圖線），前車經(jīng)過時(shí)間t停下來，在這段時(shí)間內(nèi)，后車做勻速運(yùn)動(dòng)（如圖線），在t時(shí)刻后車也開始剎車，后車以同樣的加速度做勻減速運(yùn)動(dòng)(如圖線).由速度-時(shí)間圖像的物理意義可知,前車經(jīng)過的位移大小等于OAt的面積，大小為，而后車經(jīng)過的位移大小等于梯形OADC的面積，所以，兩車在勻速行駛時(shí)保持的距離至少應(yīng)為平行四邊形AtCD的面積，其大小為2s，即選項(xiàng)B正確.答案：B4.相對(duì)運(yùn)動(dòng)法我們研究物體的運(yùn)動(dòng)情況，通常選取地面作為參考系.有時(shí)為了研究方便，可以靈活選取參考系.當(dāng)選取其他物體作為參考系時(shí)，被研究的物體的運(yùn)動(dòng)就是相對(duì)這個(gè)物體的.調(diào)研4 在水平軌道上有兩列火車A和B相距x，A車在后面做初速度為v

8、0、加速度大小為2a的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，而B車與A車同時(shí)做初速度為零、加速度為a的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，兩車運(yùn)動(dòng)方向相同要使兩車不相撞，則A車的初速度v0應(yīng)滿足什么條件？【分析】 選取B車為參考系，認(rèn)為B車靜止不動(dòng).A車相對(duì)B車做勻減速運(yùn)動(dòng)，A車的相對(duì)初速度為v0，相對(duì)加速度為a-2a-a-3a，相對(duì)位移為x，車追上B車且剛好不相撞的條件是：A車相對(duì)B車的末速度v0由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式vt2-v02=2as得：0-v02=2(-3a)x所以即要使兩車不相撞，A車的初速度v0應(yīng)滿足的條件是點(diǎn)評(píng) 本題巧選B車作為參考系，從而使解題更簡單.在用相對(duì)運(yùn)動(dòng)方法解題時(shí)，當(dāng)選取恰當(dāng)?shù)膮⒖枷岛?，要特別注意被研究物體的相對(duì)速度

9、、相對(duì)位移和相對(duì)加速度等. 三、類追及問題的例析 狹義的追及問題指兩交通工具（如自行車、汽車等）在公路上相互追趕所涉及的追及、相遇問題，廣義的追及問題指兩運(yùn)動(dòng)物體在同一直線或封閉圖形上運(yùn)動(dòng)所涉及的追及、相遇問題.我們把兩運(yùn)動(dòng)物體發(fā)生相互作用所涉及運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律的問題都可以看成類追及問題.這類問題可以用追及問題的解題思路和解題方法來解決.調(diào)研5 在水平長直的軌道上，有一長度為L=2 m的平板車在外力控制下始終保持速度v0=4 m/s做勻速直線運(yùn)動(dòng)某時(shí)刻將一質(zhì)量為m=1 kg的小滑塊輕放到車面的中點(diǎn)，已知滑塊與車面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為=0.2（g=10 m/s2）（1）當(dāng)滑塊放到車面中點(diǎn)的同時(shí)對(duì)該滑塊施加

10、一個(gè)與車運(yùn)動(dòng)方向相同的恒力F，要保證滑塊不從車的左端掉下，恒力F大小應(yīng)該滿足什么條件？（2）在（1）的情況下，力F取最小值，要保證滑塊不從車上掉下，力F的作用時(shí)間應(yīng)該在什么范圍內(nèi)?【分析】 (1)物理分析法 根據(jù)滑塊和平板車的運(yùn)動(dòng)情況，畫出它們的過程示意圖（一個(gè)草圖），如圖所示當(dāng)滑塊放到車面中點(diǎn)的同時(shí)對(duì)該滑塊施加一個(gè)與車運(yùn)動(dòng)方向相同的恒力F，滑塊在恒力F和摩擦力f共同作用下以加速度a1向右勻加速運(yùn)動(dòng)，平板車保持速度v0做勻速直線運(yùn)動(dòng).滑塊恰好不從平板車的左端滑下來的條件是當(dāng)滑塊相對(duì)平板車向左運(yùn)動(dòng)到左端時(shí)速度剛好為v0(速度關(guān)系)由牛頓第二定律得：F+mg=ma1設(shè)滑塊經(jīng)過時(shí)間t1（時(shí)間關(guān)系）剛

11、好運(yùn)動(dòng)到平板車的左端，速度為v0，則t1=v0/a1滑塊的位移s2=a1t12/2平板車在水平面上運(yùn)動(dòng)的位移s1=v0t1由圖可知：s1-s2=L/2（位移關(guān)系）聯(lián)立以上各式解得：F=6 N要保證滑塊不從車的左端掉下，恒力F大小應(yīng)該滿足：F6 N.（2）解法一 圖像法 根據(jù)題意畫出滑塊做勻加速運(yùn)動(dòng)的速度-時(shí)間圖線（如圖線），經(jīng)過時(shí)間t1滑塊剛好運(yùn)動(dòng)到平板車的左端，其速度大小為v0.在t1時(shí)間內(nèi)平板車做勻速直線運(yùn)動(dòng)(如圖線).由速度-時(shí)間圖像的物理意義可知,滑塊經(jīng)過的位移大小等于OBC的面積，而平板車經(jīng)過的位移大小等于矩形OABC的面積，而OAB面積的大小為L/2由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和圖像的幾何關(guān)系可得

12、：t1=0.5 s（解略）滑塊運(yùn)動(dòng)到平板車左端后，在水平恒力F的作用下，以加速度大小a2向右勻加速運(yùn)動(dòng)（如圖線），經(jīng)過一段時(shí)間t2后撤去F，滑塊在摩擦力作用下，以加速度大小a3向右勻減速運(yùn)動(dòng)（如圖線），滑到平板車右端的速度為v0，則此情況下，F(xiàn)的作用時(shí)間最長.平板車一直做勻速運(yùn)動(dòng)（如圖線）.由速度-時(shí)間圖像的物理意義可知,滑塊經(jīng)過的位移大小等于多邊形OADBC的面積，而平板車經(jīng)過的位移大小等于矩形OABC的面積，而DAB面積的大小為L根據(jù)牛頓第二定律有：F-mg=ma2,mg=ma3由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和圖像的幾何關(guān)系可得：力F=6 N，要保證滑塊不從車上掉下，力F的作用時(shí)間t應(yīng)該取的范圍為：t1tt1+t2即0.5 st1.08 s.解法二 相對(duì)運(yùn)動(dòng)法選取平板車作為參考系，要使滑塊不從平板車的左端掉下來滑塊相對(duì)平板車從車面中點(diǎn)開始向左做勻減速運(yùn)動(dòng)，滑塊的相對(duì)初速度為-v0，相對(duì)加速度為a1，相對(duì)位移為L/2，滑塊剛好不從平板車的左端掉下來的速度條件是：滑塊的相對(duì)末速度v0由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式：v=v0+at所以t1=v0/a1=0.5 s選取平