追及問題的解題研究

1、追及問題的解題研究 追及問題是運動學中比較常見的一類問題，此類問題的綜合性強，往往涉及兩個或兩個以上物體的運動過程，每個物體的運動規(guī)律又不盡相同.追及問題的解題方法較多，題目常常可以一題多解，從而培養(yǎng)考生的思維能力和解題能力. 一、追及問題的特點分析1追上與追不上的臨界條件兩物體（追與被追）的速度相等常是追上、追不上及兩者距離有極值的臨界條件2常見的兩類追及形式 (1)速度大者減速(如勻減速直線運動)追速度小者(如勻速運動)兩者速度相等時，若追者位移仍小于被追者位移與初始兩者間距之和，則永遠追不上，此時兩者間距最小兩者速度相等時，若追者位移恰等于被追者位移與初始兩者間距之和，則剛好追上，也是兩

2、者避免碰撞的臨界條件若相遇時追者速度仍大于被追者的速度，則被追者還能再一次與追者相遇，兩者速度相等時，兩者間距離有一個較大值(2)速度小者加速(如初速度為零的勻加速直線運動)追速度大者(如勻速運動)一定能追上，當兩者速度相等時兩者間有最大距離當追者位移等于被追者位移與初始兩者間距之和時，后者追上前者即相遇二、追及問題的解題思路及方法1.物理分析法 分析追及問題，其實質(zhì)就是分析兩物體在相同時間內(nèi)是否到達同一位置.追及問題的求解一般要涉及兩物體的不同運動性質(zhì)，以及兩物體之間的運動關(guān)系.所以，在分析追及問題時，要緊抓“一個圖三個關(guān)系式”，即過程示意圖，速度關(guān)系式、時間關(guān)系式和位移關(guān)系式.同時在分析追

3、及問題時，要注意抓住題目中的關(guān)鍵字眼，充分挖掘題目中的隱含條件，如“剛好”、“恰好”、“最多”、“至少”等解決追及問題的思路如下：分析兩物體的運動情況 畫出過程示意圖抓住兩者速度關(guān)系由時間和位移關(guān)系列方程調(diào)研1 A、B兩列火車在同一軌道上同向行駛，A車在前，其速度vA10 m/s，B車在后，其速度vB30 m/s.因大霧能見度低，B車在距A車700 m時才發(fā)現(xiàn)前方有A車，這時B車立即剎車，但要經(jīng)過1 800 m B車才能停止問A車若按原速度前進，兩車是否會相撞？說明理由 【分析】 根據(jù)兩車的運動性質(zhì)畫出它們的運動過程示意圖（一個草圖），如圖所示由題意可知，兩車不相撞的速度臨界條件是B車減速到與

4、A車速度相等（速度關(guān)系）.aB=vB2/(2x)=0.25m/s2B車減速至vA10 m/s的時間t80 s在這段時間（時間關(guān)系）內(nèi)A車的位移為：xAvAt800 m則在這段時間內(nèi)B車的位移為：xBvBt-aBt2/21 600 m兩車的位移關(guān)系：xB1 600mxA+x01 500 m，所以A、B兩車在速度相同之前已經(jīng)相撞2.數(shù)學方法 應(yīng)用數(shù)學知識處理物理問題的能力，是高考重點考查的五種能力之一.所謂數(shù)學方法就是對物理問題的分析和處理運用數(shù)學關(guān)系式來解決，在追及問題中常用的數(shù)學方法有不等式、二次函數(shù)的極值、一元二次方程的判別式等.調(diào)研2 甲、乙兩車相距s，同時同向運動，乙在前面做加速度為a1

5、，初速度為零的勻加速運動，甲在后面做加速度為a2，初速度為v0的勻加速運動，試討論兩車在運動過程中相遇次數(shù)與加速度的關(guān)系.【分析】 設(shè)甲經(jīng)過時間t追上乙，它們相遇時有x甲x乙=s. 由運動學公式得：x甲=v0t+a2t2/2，x乙= a1t2/2 對進行討論：（1）當a1a2時，式t只有一個正解，則相遇一次.（2）當a1=a2時，x甲-x乙=s，所以t=s/v0，t只有一個解，則相遇一次.（3）當a1a2時，若v022（a1-a2）s，式無解，即不相遇，若v02=2（a1-a2）s，式t只有一個解，即相遇一次.若v022（a1-a2）s，式t有兩個正解，即相遇兩次. 3.圖像法 圖像在中學物理

6、解題中應(yīng)用十分廣泛,它能形象地表達物理規(guī)律,直觀地敘述物理過程,并簡潔地表示物理量間的各種關(guān)系.所以圖像法是解決物理問題的一種重要方法.在追及問題中，一般根據(jù)兩物體的運動情況，畫出運動物體的位移-時間圖像或者速度-時間圖像，然后根據(jù)它們的運動關(guān)系解題.調(diào)研3 兩輛完全相同的汽車，沿水平直路一前一后勻速行駛，速度均為v0，若前車突然以恒定的加速度剎車，在它剛停住時，后車以前車剎車時的加速度開始剎車.已知前車在剎車過程中所行駛的距離為s，若要保證兩輛車在上述情況中不相撞，則兩車在勻速行駛時保持的距離至少應(yīng)為 A.s B.2s C.3s D.4s【分析】 根據(jù)題意畫出前車剎車后做勻減速運動的速度-時

7、間圖線（如圖線），前車經(jīng)過時間t停下來，在這段時間內(nèi)，后車做勻速運動（如圖線），在t時刻后車也開始剎車，后車以同樣的加速度做勻減速運動(如圖線).由速度-時間圖像的物理意義可知,前車經(jīng)過的位移大小等于OAt的面積，大小為，而后車經(jīng)過的位移大小等于梯形OADC的面積，所以，兩車在勻速行駛時保持的距離至少應(yīng)為平行四邊形AtCD的面積，其大小為2s，即選項B正確.答案：B4.相對運動法我們研究物體的運動情況，通常選取地面作為參考系.有時為了研究方便，可以靈活選取參考系.當選取其他物體作為參考系時，被研究的物體的運動就是相對這個物體的.調(diào)研4 在水平軌道上有兩列火車A和B相距x，A車在后面做初速度為v

8、0、加速度大小為2a的勻減速直線運動，而B車與A車同時做初速度為零、加速度為a的勻加速直線運動，兩車運動方向相同要使兩車不相撞，則A車的初速度v0應(yīng)滿足什么條件？【分析】 選取B車為參考系，認為B車靜止不動.A車相對B車做勻減速運動，A車的相對初速度為v0，相對加速度為a-2a-a-3a，相對位移為x，車追上B車且剛好不相撞的條件是：A車相對B車的末速度v0由運動學公式vt2-v02=2as得：0-v02=2(-3a)x所以即要使兩車不相撞，A車的初速度v0應(yīng)滿足的條件是點評 本題巧選B車作為參考系，從而使解題更簡單.在用相對運動方法解題時，當選取恰當?shù)膮⒖枷岛?，要特別注意被研究物體的相對速度

9、、相對位移和相對加速度等. 三、類追及問題的例析 狹義的追及問題指兩交通工具（如自行車、汽車等）在公路上相互追趕所涉及的追及、相遇問題，廣義的追及問題指兩運動物體在同一直線或封閉圖形上運動所涉及的追及、相遇問題.我們把兩運動物體發(fā)生相互作用所涉及運動學規(guī)律的問題都可以看成類追及問題.這類問題可以用追及問題的解題思路和解題方法來解決.調(diào)研5 在水平長直的軌道上，有一長度為L=2 m的平板車在外力控制下始終保持速度v0=4 m/s做勻速直線運動某時刻將一質(zhì)量為m=1 kg的小滑塊輕放到車面的中點，已知滑塊與車面間的動摩擦因數(shù)為=0.2（g=10 m/s2）（1）當滑塊放到車面中點的同時對該滑塊施加

10、一個與車運動方向相同的恒力F，要保證滑塊不從車的左端掉下，恒力F大小應(yīng)該滿足什么條件？（2）在（1）的情況下，力F取最小值，要保證滑塊不從車上掉下，力F的作用時間應(yīng)該在什么范圍內(nèi)?【分析】 (1)物理分析法 根據(jù)滑塊和平板車的運動情況，畫出它們的過程示意圖（一個草圖），如圖所示當滑塊放到車面中點的同時對該滑塊施加一個與車運動方向相同的恒力F，滑塊在恒力F和摩擦力f共同作用下以加速度a1向右勻加速運動，平板車保持速度v0做勻速直線運動.滑塊恰好不從平板車的左端滑下來的條件是當滑塊相對平板車向左運動到左端時速度剛好為v0(速度關(guān)系)由牛頓第二定律得：F+mg=ma1設(shè)滑塊經(jīng)過時間t1（時間關(guān)系）剛

11、好運動到平板車的左端，速度為v0，則t1=v0/a1滑塊的位移s2=a1t12/2平板車在水平面上運動的位移s1=v0t1由圖可知：s1-s2=L/2（位移關(guān)系）聯(lián)立以上各式解得：F=6 N要保證滑塊不從車的左端掉下，恒力F大小應(yīng)該滿足：F6 N.（2）解法一 圖像法 根據(jù)題意畫出滑塊做勻加速運動的速度-時間圖線（如圖線），經(jīng)過時間t1滑塊剛好運動到平板車的左端，其速度大小為v0.在t1時間內(nèi)平板車做勻速直線運動(如圖線).由速度-時間圖像的物理意義可知,滑塊經(jīng)過的位移大小等于OBC的面積，而平板車經(jīng)過的位移大小等于矩形OABC的面積，而OAB面積的大小為L/2由運動學公式和圖像的幾何關(guān)系可得

12、：t1=0.5 s（解略）滑塊運動到平板車左端后，在水平恒力F的作用下，以加速度大小a2向右勻加速運動（如圖線），經(jīng)過一段時間t2后撤去F，滑塊在摩擦力作用下，以加速度大小a3向右勻減速運動（如圖線），滑到平板車右端的速度為v0，則此情況下，F(xiàn)的作用時間最長.平板車一直做勻速運動（如圖線）.由速度-時間圖像的物理意義可知,滑塊經(jīng)過的位移大小等于多邊形OADBC的面積，而平板車經(jīng)過的位移大小等于矩形OABC的面積，而DAB面積的大小為L根據(jù)牛頓第二定律有：F-mg=ma2,mg=ma3由運動學公式和圖像的幾何關(guān)系可得：力F=6 N，要保證滑塊不從車上掉下，力F的作用時間t應(yīng)該取的范圍為：t1tt1+t2即0.5 st1.08 s.解法二 相對運動法選取平板車作為參考系，要使滑塊不從平板車的左端掉下來滑塊相對平板車從車面中點開始向左做勻減速運動，滑塊的相對初速度為-v0，相對加速度為a1，相對位移為L/2，滑塊剛好不從平板車的左端掉下來的速度條件是：滑塊的相對末速度v0由運動學公式：v=v0+at所以t1=v0/a1=0.5 s選取平