平面解析幾何初步

1、第七章 平面解析幾何初步§7.1直線和圓的方程一、知識導(dǎo)學(xué)1兩點間的距離公式:不論A(1，1)，B(2，2)在坐標平面上什么位置，都有d=|AB|=，特別地，與坐標軸平行的線段的長|AB|=|21|或|AB|=|2-1|.2定比分點公式:定比分點公式是解決共線三點A(1，1)，B(2，2)，P(，)之間數(shù)量關(guān)系的一個公式，其中的值是起點到分點與分點到終點的有向線段的數(shù)量之比.這里起點、分點、終點的位置是可以任意選擇的，一旦選定后的值也就隨之確定了.若以A為起點，B為終點，P為分點，則定比分點公式是.當P點為AB的中點時，=1，此時中點坐標公式是.3直線的傾斜角和斜率的關(guān)系（1）每一條

2、直線都有傾斜角，但不一定有斜率.（2）斜率存在的直線，其斜率與傾斜角之間的關(guān)系是=tan.4確定直線方程需要有兩個互相獨立的條件。直線方程的形式很多，但必須注意各種形式的直線方程的適用范圍.名稱方程說明適用條件斜截式為直線的斜率b為直線的縱截距傾斜角為90°的直線不能用此式點斜式() 為直線上的已知點，為直線的斜率傾斜角為90°的直線不能用此式兩點式=()，()是直線上兩個已知點與兩坐標軸平行的直線不能用此式截距式+=1為直線的橫截距b為直線的縱截距過（0，0）及與兩坐標軸平行的直線不能用此式一般式，分別為斜率、橫截距和縱截距A、B不全為零5兩條直線的夾角。當兩直線的斜率,

3、都存在且· -1時，tan=，當直線的斜率不存在時，可結(jié)合圖形判斷.另外還應(yīng)注意到：“到角”公式與“夾角”公式的區(qū)別.6怎么判斷兩直線是否平行或垂直？判斷兩直線是否平行或垂直時，若兩直線的斜率都存在，可以用斜率的關(guān)系來判斷；若直線的斜率不存在，則必須用一般式的平行垂直條件來判斷.（1）斜率存在且不重合的兩條直線1，2，有以下結(jié)論：12=，且1212·= -1（2）對于直線1，2，當1，2，1，2都不為零時，有以下結(jié)論：12=1212+12 = 01與2相交1與2重合=7點到直線的距離公式.（1）已知一點P（）及一條直線：，則點P到直線的距離d=；（2）兩平行直線1:，2:之

4、間的距離d=.8確定圓方程需要有三個互相獨立的條件。圓的方程有兩種形式，要知道兩種形式之間的相互轉(zhuǎn)化及相互聯(lián)系（1）圓的標準方程：，其中（，b）是圓心坐標，是圓的半徑；（2）圓的一般方程：（0），圓心坐標為（-，-），半徑為=.二、疑難知識導(dǎo)析1直線與圓的位置關(guān)系的判定方法.（1）方法一直線：；圓：.一元二次方程（2）方法二直線:；圓：，圓心（，b）到直線的距離為d=2兩圓的位置關(guān)系的判定方法.設(shè)兩圓圓心分別為O1、O2，半徑分別為1，2，|O1O2|為圓心距，則兩圓位置關(guān)系如下：|O1O2|>1+2兩圓外離；|O1O2|=1+2兩圓外切；|1-2|<|O1O2|<1+2兩圓

5、相交；| O1O2 |=|1-2|兩圓內(nèi)切；0<| O1O2|<| 1-2|兩圓內(nèi)含.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1直線l經(jīng)過P（2,3）,且在x,y軸上的截距相等,試求該直線方程.錯解：設(shè)直線方程為:,又過P(2,3),求得a=5直線方程為x+y-5=0.錯因：直線方程的截距式:的條件是:0且b0,本題忽略了這一情形.正解：在原解的基礎(chǔ)上,再補充這樣的過程:當直線過(0,0)時,此時斜率為:,直線方程為y=x綜上可得:所求直線方程為x+y-5=0或y=x .例2已知動點P到y(tǒng)軸的距離的3倍等于它到點A(1,3)的距離的平方,求動點P的軌跡方程.錯解：設(shè)動點P坐標為(x,y).由已知3 化簡

6、3=x2-2x+1+y2-6y+9 . 當x0時得x2-5x+y2-6y+10=0 . 當x0時得x2+ x+y2-6y+10=0 . 錯因：上述過程清楚點到y(tǒng)軸距離的意義及兩點間距離公式,并且正確應(yīng)用絕對值定義將方程分類化簡,但進一步研究化簡后的兩個方程,配方后得(x-)2+(y-3)2 = 和 (x+)2+(y-3)2 = - 兩個平方數(shù)之和不可能為負數(shù),故方程的情況不會出現(xiàn).正解：接前面的過程,方程化為(x-)2+(y-3)2 = ,方程化為(x+)2+(y-3)2 = - ,由于兩個平方數(shù)之和不可能為負數(shù),故所求動點P的軌跡方程為: (x-)2+(y-3)2 = (x0)例3m是什么數(shù)

7、時，關(guān)于x,y的方程（2m2+m-1）x2+（m2-m+2）y2+m+2=0的圖象表示一個圓？錯解：欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一個圓，只要A=C0， 得2m2+m-1=m2-m+2，即m2+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3，當m=1或m=-3時，x2和y2項的系數(shù)相等，這時，原方程的圖象表示一個圓錯因：A=C，是Ax2+Cy2+F=0表示圓的必要條件，而非充要條件，其充要條件是：A=C0且0.正解：欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一個圓，只要A=C0， 得2m2+m-1=m2-m+2，即m2+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3，(1) 當m=1時，方程為2x2+2y2=-3

8、不合題意，舍去.(2) 當m=-3時，方程為14x2+14y2=1,即x2+y2=,原方程的圖形表示圓.例4自點A(-3，3)發(fā)出的光線L射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x2+y2-4x-4y+70相切，求光線L所在的直線方程.錯解：設(shè)反射光線為L,由于L和L關(guān)于x軸對稱，L過點A(-3，3)，點A關(guān)于x軸的對稱點A(-3，-3)，于是L過A(-3，-3).設(shè)L的斜率為k，則L的方程為y-(-3)kx-(-3)，即kx-y+3k-30，已知圓方程即(x-2)2+(y-2)21，圓心O的坐標為(2，2)，半徑r1因L和已知圓相切，則O到L的距離等于半徑r1即整理得12k2-25k+

9、120解得kL的方程為y+3(x+3)即4x-3y+30因L和L關(guān)于x軸對稱故L的方程為4x+3y+30.錯因：漏解正解：設(shè)反射光線為L,由于L和L關(guān)于x軸對稱，L過點A(-3，3)，點A關(guān)于x軸的對稱點A(-3，-3)，于是L過A(-3，-3).設(shè)L的斜率為k，則L的方程為y-(-3)kx-(-3)，即kx-y+3k-30，已知圓方程即(x-2)2+(y-2)21，圓心O的坐標為(2，2)，半徑r1因L和已知圓相切，則O到L的距離等于半徑r1即整理得12k2-25k+120解得k或kL的方程為y+3(x+3);或y+3(x+3)。即4x-3y+30或3x-4y-30因L和L關(guān)于x軸對稱故L的

10、方程為4x+3y+30或3x+4y-30.例5求過直線和圓的交點，且滿足下列條件之一的圓的方程：（1） 過原點；（2）有最小面積.解：設(shè)所求圓的方程是： 即：（1）因為圓過原點，所以，即故所求圓的方程為：.（2） 將圓系方程化為標準式，有：當其半徑最小時，圓的面積最小，此時為所求.故滿足條件的圓的方程是.點評：（1）直線和圓相交問題，這里應(yīng)用了曲線系方程，這種解法比較方便；當然也可以待定系數(shù)法。（2）面積最小時即圓半徑最小。也可用幾何意義，即直線與相交弦為直徑時圓面積最小.例6（06年遼寧理科）已知點A()，B()（0）是拋物線上的兩個動點，O是坐標原點，向量滿足.設(shè)圓C的方程為（1）證明線段

11、AB是圓C的直徑；（2）當圓C的圓心到直線的距離的最小值為時，求的值.解：（1）證明，（）2（）2，整理得：00設(shè)M（）是以線段AB為直徑的圓上的任意一點，則0即0整理得：故線段AB是圓C的直徑.（2）設(shè)圓C的圓心為C（），則，又0，0，04所以圓心的軌跡方程為設(shè)圓心C到直線的距離為，則當時，有最小值，由題設(shè)得2.四、典型習(xí)題導(dǎo)練1直線截圓得的劣弧所對的圓心角為 （ ）A. B. C. D.2.已知直線x=a(a0)和圓(x-1)2+y2=4相切 ，那么a的值是( )A.5 B.4 C.3 D.23. 如果實數(shù)x、y滿足等式(x-2)2+y2，則的最大值為：.4.設(shè)正方形ABCD（A、B、C、

12、D順時針排列）的外接圓方程為x2+y2-6x+a=0（a<9），C、D點所在直線l的斜率為.（1）求外接圓圓心M點的坐標及正方形對角線AC、BD的斜率；（2）如果在x軸上方的A、B兩點在一條以原點為頂點，以x軸為對稱軸的拋物線上，求此拋物線的方程及直線l的方程；（3）如果ABCD的外接圓半徑為2，在x軸上方的A、B兩點在一條以x軸為對稱軸的拋物線上，求此拋物線的方程及直線l的方程.5.如圖，已知圓C：（x+4）2+y2=4。圓D的圓心D在y軸上且與圓C外切。圓 D與y軸交于A、B兩點，點P為(-3，0).（1）若點D坐標為（0，3），求APB的正切值；（2）當點D在y軸上運動時，求APB

13、的正切值的最大值；（3）在x軸上是否存在定點Q，當圓D在y軸上運動時，AQB是定值？如果存在，求出點Q坐標；如果不存在，說明理由.§7.2圓錐曲線一、知識導(dǎo)學(xué)1橢圓定義：在平面內(nèi)，到兩定點距離之和等于定長（定長大于兩定點間的距離）的動點的軌跡.2橢圓的標準方程：，（）3.橢圓的第二定義:一動點到定點的距離和它到一條定直線的距離的比是一個內(nèi)常數(shù)，那么這個點的軌跡叫做橢圓. 其中定點叫做焦點，定直線叫做準線，常數(shù)就是離心率橢圓的第二定義與第一定義是等價的，它是橢圓兩種不同的定義方式.4橢圓的準線方程對于，左準線；右準線.對于，下準線；上準線.5.焦點到準線的距離（焦參數(shù)）橢圓的準線方程有

14、兩條，這兩條準線在橢圓外部，與短軸平行，且關(guān)于短軸對稱.6.橢圓的參數(shù)方程.7雙曲線的定義：平面內(nèi)到兩定點的距離的差的絕對值為常數(shù)（小于）的動點的軌跡叫雙曲線. 即. 這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距.8雙曲線的標準方程及特點： （1）雙曲線的標準方程有焦點在x軸上和焦點y軸上兩種： 焦點在軸上時雙曲線的標準方程為：(,)； 焦點在軸上時雙曲線的標準方程為：(,)(2)有關(guān)系式成立，且.其中與b的大小關(guān)系:可以為.9.焦點的位置:從橢圓的標準方程不難看出橢圓的焦點位置可由方程中含字母、項的分母的大小來確定，分母大的項對應(yīng)的字母所在的軸就是焦點所在的軸. 而雙曲線是根據(jù)項的正負

15、來判斷焦點所在的位置，即項的系數(shù)是正的，那么焦點在軸上；項的系數(shù)是正的，那么焦點在軸上.10雙曲線的幾何性質(zhì)：（1）范圍、對稱性 由標準方程，從橫的方向來看，直線x=-,x=之間沒有圖象，從縱的方向來看，隨著x的增大，y的絕對值也無限增大，所以曲線在縱方向上可無限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲線. 雙曲線不封閉，但仍稱其對稱中心為雙曲線的中心.（2）頂點頂點：，特殊點：實軸：長為2, 叫做半實軸長. 虛軸：長為2b，b叫做虛半軸長.雙曲線只有兩個頂點，而橢圓則有四個頂點，這是兩者的又一差異.（3）漸近線過雙曲線的漸近線（）.（4）離心率雙曲線的焦距與實軸長的比，叫做雙曲線的離心率. 范圍：雙曲線形

16、狀與e的關(guān)系：，e越大，即漸近線的斜率的絕對值就大，這時雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊. 由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開口就越闊.11 雙曲線的第二定義：到定點F的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)的點的軌跡是雙曲線. 其中，定點叫做雙曲線的焦點，定直線叫做雙曲線的準線.常數(shù)e是雙曲線的離心率12雙曲線的準線方程：對于來說，相對于左焦點對應(yīng)著左準線，相對于右焦點對應(yīng)著右準線；焦點到準線的距離（也叫焦參數(shù)）.對于來說，相對于上焦點對應(yīng)著上準線；相對于下焦點對應(yīng)著下準線拋物線圖形方程焦點準線13. 拋物線定義：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線. 定點F叫做拋物線的焦

17、點，定直線叫做拋物線的準線.二、疑難知識導(dǎo)析橢圓、雙曲線、拋物線同屬于圓錐曲線，它們的定義、標準方程及其推導(dǎo)過程以及簡單的幾何性質(zhì)都存在著相似之處，也有著一定的區(qū)別,因此，要準確地理解和掌握三種曲線的特點以及它們之間的區(qū)別與聯(lián)系1等軸雙曲線定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線. 等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為：；（2）漸近線互相垂直；（3）離心率.2共漸近線的雙曲線系如果已知一雙曲線的漸近線方程為，那么此雙曲線方程就一定是：或?qū)懗?3共軛雙曲線以已知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙曲線. 雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點在

18、同一圓上. 確定雙曲線的共軛雙曲線的方法：將1變?yōu)?1.4拋物線的幾何性質(zhì)（1）范圍因為p0，由方程可知，這條拋物線上的點M的坐標(x，y)滿足不等式x0，所以這條拋物線在y軸的右側(cè)；當x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸（2）對稱性以y代y，方程不變，所以這條拋物線關(guān)于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸（3）頂點拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的頂點在方程中，當y=0時，x=0，因此拋物線的頂點就是坐標原點（4）離心率拋物線上的點M與焦點的距離和它到準線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示由拋物線的定義可知，e=119.拋物線的焦半徑公式：拋物線，拋物

19、線，拋物線，拋物線，三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1設(shè)雙曲線的漸近線為：，求其離心率.錯解：由雙曲線的漸近線為：，可得：，從而剖析：由雙曲線的漸近線為是不能確定焦點的位置在x軸上的，當焦點的位置在y軸上時，故本題應(yīng)有兩解，即：或.例2設(shè)點P(x,y)在橢圓上，求的最大、最小值.錯解：因，得：，同理得：，故最大、最小值分別為3,-3.剖析：本題中x、y除了分別滿足以上條件外，還受制約條件的約束.當x=1時,y此時取不到最大值2,故x+y的最大值不為3.其實本題只需令，則，故其最大值為，最小值為.例3已知雙曲線的右準線為，右焦點,離心率,求雙曲線方程.錯解一：故所求的雙曲線方程為錯解二： 由焦點知故所求的雙曲

20、線方程為錯因：這兩個解法都是誤認為雙曲線的中心在原點，而題中并沒有告訴中心在原點這個條件。由于判斷錯誤，而造成解法錯誤。隨意增加、遺漏題設(shè)條件，都會產(chǎn)生錯誤解法.解法一： 設(shè)為雙曲線上任意一點，因為雙曲線的右準線為，右焦點，離心率，由雙曲線的定義知 整理得 解法二： 依題意，設(shè)雙曲線的中心為,則 解得 ,所以 故所求雙曲線方程為 例4設(shè)橢圓的中心是坐標原點，長軸在軸上，離心率，已知點到這個橢圓上的最遠距離是，求這個橢圓的方程.錯解：依題意可設(shè)橢圓方程為則 ，所以 ，即 設(shè)橢圓上的點到點的距離為，則所以當時，有最大值，從而也有最大值。所以 ，由此解得：于是所求橢圓的方程為錯因：盡管上面解法的最后

21、結(jié)果是正確的，但這種解法卻是錯誤的。結(jié)果正確只是碰巧而已。由當時，有最大值，這步推理是錯誤的，沒有考慮到的取值范圍.事實上，由于點在橢圓上，所以有，因此在求的最大值時，應(yīng)分類討論.正解：若，則當時，（從而）有最大值.于是從而解得.所以必有，此時當時，（從而）有最大值，所以，解得于是所求橢圓的方程為例5從橢圓,(>b>0)上一點M向x軸所作垂線恰好通過橢圓的左焦點F1，A、B分別是橢圓長、短軸的端點，ABOM.設(shè)Q是橢圓上任意一點，當QF2AB時，延長QF2與橢圓交于另一點P，若F1PQ的面積為20，求此時橢圓的方程.解：本題可用待定系數(shù)法求解.b=c,=c，可設(shè)橢圓方程為.PQAB

22、,kPQ=-，則PQ的方程為y=(x-c)，代入橢圓方程整理得5x2-8cx+2c2=0，根據(jù)弦長公式，得,又點F1到PQ的距離d=c ,由故所求橢圓方程為.例6已知橢圓：，過左焦點F作傾斜角為的直線交橢圓于A、B兩點，求弦AB的長.解：a=3,b=1,c=2; 則F（-2，0）由題意知：與聯(lián)立消去y得：設(shè)A（、B（，則是上面方程的二實根，由違達定理，又因為A、B、F都是直線上的點，所以|AB|=點評：也可利用“焦半徑”公式計算.例7（06年全國理科）設(shè)P是橢圓短軸的一個端點，Q為橢圓上的一個動點，求PQ的最大值.解： 依題意可設(shè)P（0,1），Q（），則PQ，又因為Q在橢圓上，所以，PQ2.因

23、為1，1，若，則1，當時，PQ取最大值；若1，則當時，PQ取最大值2.例8已知雙曲線的中心在原點，過右焦點F（2，0）作斜率為的直線，交雙曲線于M、N 兩點，且=4，求雙曲線方程.解：設(shè)所求雙曲線方程為，由右焦點為（2，0）.知C=2，b2=4-2則雙曲線方程為，設(shè)直線MN的方程為：，代入雙曲線方程整理得：(20-82)x2+122x+54-322=0 設(shè)M（x1,y1）,N(x2,y2),則，.解得，.故所求雙曲線方程為：.點評：利用待定系數(shù)法求曲線方程，運用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系將兩根之和與積整體代入，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的整體思想，也簡化了計算，要求學(xué)生熟練掌握.四、典型習(xí)題導(dǎo)練1.設(shè)雙曲線兩

24、焦點為F1、F2,點Q為雙曲線上除頂點外的任一點,過F1作F1QF2的平分線的垂線,垂足為P,則點P的軌跡是（ ）A.橢圓的一部分 B.雙曲線的一部分C.拋物線的一部分 D.圓的一部分.2已知點(-2，3)與拋物線y2=2px(p0)的焦點 的距離是5，則p=.3.平面內(nèi)有兩定點上，求一點P使取得最大值或最小值，并求出最大值和最小值.4.已知橢圓的離心率為.（1）若圓（x-2）2+(y-1)2=與橢圓相交于A、B兩點且線段AB恰為圓的直徑，求橢圓方程；（2）設(shè)L為過橢圓右焦點F的直線，交橢圓于M、N兩點，且L的傾斜角為600，求的值.5.已知拋物線方程為，直線過拋物線的焦點F且被拋物線截得的弦

25、長為3，求p的值6.線段AB過x軸正半軸上一點M（m,0）（m>0），端點A、B到x軸距離之積為，以x軸為對稱軸，過A，O，B三點作拋物線.（1）求拋物線方程；（2）若的取值范圍.§7.3 點、直線和圓錐曲線一、知識導(dǎo)學(xué)1 點M(x0，y0)與圓錐曲線C：f(x，y)=0的位置關(guān)系已知（ab0）的焦點為F1、F2, （a0,b0）的焦點為F1、F2，(p0)的焦點為F，一定點為P(x0，y0)，M點到拋物線的準線的距離為d，則有：上述結(jié)論可以利用定比分點公式，建立兩點間的關(guān)系進行證明2直線AxBC=0與圓錐曲線Cf(x，y)0的位置關(guān)系：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為：相交、相

26、切、相離對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點，但并不是相切；對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但并不相切這三種位置關(guān)系的判定條件可引導(dǎo)學(xué)生歸納為：設(shè)直線:Ax+By+C=0,圓錐曲線C:f(x,y)=0,由消去y(或消去x)得:ax2+bx+c=0,=b2-4ac,（若a0時），0相交 0相離 = 0相切注意：直線與拋物線、雙曲線有一個公共點是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件二、疑難知識導(dǎo)析1橢圓的焦半徑公式：（左焦半徑）,（右焦半徑）,其中是離心率。 焦點在y軸上的橢圓的焦半徑公式：（ 其中分別是橢圓的下上焦點）.焦半徑公式的兩種形式的

27、區(qū)別只和焦點的左右有關(guān)，而與點在左在右無關(guān). 可以記為：左加右減，上減下加.2雙曲線的焦半徑定義：雙曲線上任意一點M與雙曲線焦點的連線段，叫做雙曲線的焦半徑.焦點在x軸上的雙曲線的焦半徑公式：焦點在y軸上的雙曲線的焦半徑公式： （ 其中分別是雙曲線的下上焦點）3雙曲線的焦點弦：定義：過焦點的直線割雙曲線所成的相交弦。焦點弦公式： 當雙曲線焦點在x軸上時，過左焦點與左支交于兩點時： ；過右焦點與右支交于兩點時：。當雙曲線焦點在y軸上時，過左焦點與左支交于兩點時：；過右焦點與右支交于兩點時：。4雙曲線的通徑：定義：過焦點且垂直于對稱軸的相交弦.5直線和拋物線（1）位置關(guān)系：相交（兩個公共點或一個公

28、共點）；相離（無公共點）；相切（一個公共點）.聯(lián)立，得關(guān)于x的方程當（二次項系數(shù)為零），唯一一個公共點（交點）；當，則若，兩個公共點（交點）；，一個公共點（切點）；，無公共點 （相離）.（2）相交弦長：弦長公式：.（3）焦點弦公式： 拋物線， .拋物線， .拋物線， .拋物線，.（4）通徑：定義：過焦點且垂直于對稱軸的相交弦. 通徑：.（5）常用結(jié)論：和和.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1求過點的直線，使它與拋物線僅有一個交點.錯解： 設(shè)所求的過點的直線為，則它與拋物線的交點為，消去得整理得 直線與拋物線僅有一個交點，解得所求直線為正解： 當所求直線斜率不存在時，即直線垂直軸，因為過點，所以即軸，它正好與

29、拋物線相切.當所求直線斜率為零時，直線為y = 1平行軸，它正好與拋物線只有一個交點.一般地，設(shè)所求的過點的直線為,則，令解得k = ,所求直線為綜上，滿足條件的直線為：例2已知曲線C：與直線L：僅有一個公共點，求m的范圍.錯解：曲線C：可化為，聯(lián)立，得：，由0,得.錯因：方程與原方程并不等價，應(yīng)加上.正解：原方程的對應(yīng)曲線應(yīng)為橢圓的上半部分.（如圖），結(jié)合圖形易求得m的范圍為.注意：在將方程變形時應(yīng)時時注意范圍的變化，這樣才不會出錯.例3已知雙曲線，過P(1,1)能否作一條直線L與雙曲線交于A、B兩點，且P為AB中點.錯解：（1）過點P且與x軸垂直的直線顯然不符合要求.（2）設(shè)過P的直線方程

30、為，代入并整理得：，又解之得：k=2，故直線方程為：y=2x-1,即直線是存在的.正解：接以上過程，考慮隱含條件“>0”，當k=2時代入方程可知<0，故這樣的直線不存在.yxOACDBP例4已知A、B是圓與x軸的兩個交點，CD是垂直于AB的動弦，直線AC和DB相交于點P，問是否存在兩個定點E、F, 使 | | PE | PF | | 為定值？若存在，求出E、F的坐標；若不存在，請說明理由. 解：由已知得 A (1, 0 )、B ( 1, 0 ),設(shè) P ( x, y ), C ( ) , 則 D (), 由A、C、P三點共線得 由D、B、P三點共線得 × 得 又 , ，

31、代入得 ，即點P在雙曲線上， 故由雙曲線定義知，存在兩個定點E (, 0 )、F (, 0 )（即此雙曲線的焦點），使 | | PE | PF | | = 2 (即此雙曲線的實軸長為定值).例5已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在坐標軸上，直線y=x+1 與該橢圓相交于P和Q，且OPOQ，PQ=，求橢圓的方程.解：設(shè)所求橢圓的方程為=1. 依題意知，點P、Q的坐標滿足方程組：將代入，整理得， 設(shè)方程的兩個根分別為、，則直線y=x+1和橢圓的交點為P(,+1)，Q(,+1)由題設(shè)OPOQ，OP=，可得整理得解這個方程組，得 或 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，由式得 (1) 或 (2)解方程組(1)、(2)得

32、 或故所求橢圓方程為=1 ， 或 =1.例6已知橢圓C1：1，拋物線C2：，且C1、C2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點。（1）當AB軸時，求、的值，并判斷拋物線C2的焦點是否在直線AB上；（2）若，且拋物線C2的焦點在直線AB上，求的值及直線AB的方程.解：（1）當AB軸時，點A、B關(guān)于軸對稱，所以0，直線AB的方程為1，從而點A的坐標為（1，）或（1，），因為點A在拋物線上，所以，.此時，拋物線C2的焦點坐標為（，0），該焦點不在直線AB上. (2)當拋物線C2的焦點在直線AB上時，由（1）知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為.由消去得設(shè)A、B的坐標分別為（）、（）.則，是方程的兩根，.

33、因為AB既是過C1的右焦點的弦，又是C2的焦點的弦，所以AB（2）（2）4，且AB（）（）.從而4所以，即解得.因為C2的焦點F、（）在直線上，所以，即當時直線AB的方程為；當時直線AB的方程為.四、典型習(xí)題導(dǎo)練1頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線被直線l：y=2x+1截得的弦長為，則拋物線方程為2.直線m：y=kx+1和雙曲線x2y2=1的左支交于A、B兩點，直線l過點P（2，0）和線段AB的中點，則直線l在y軸上的截距b的取值范圍為3試求m的取值范圍.4設(shè)過原點的直線l與拋物線y2=4(x1)交于A、B兩點，且以AB為直徑的圓恰好過拋物線的焦點F，（1）求直線l的方程；（2）求|AB|的長.

34、5 如圖，過拋物線y2=4x的頂點O作任意兩條互相垂直的弦OM、ON，求(1)MN與x軸交點的坐標；(2)求MN中點的軌跡方程.9設(shè)曲線C的方程是yx3-x，將C沿x軸、y軸正向分別平行移動t,s單 位長度后得曲線C1.(1)寫出曲線C1的方程；(2)證明曲線C與C1關(guān)于點A()對稱；(3)如果曲線C與C1有且僅有一個公共點，證明s且t0.§7.4軌跡問題一、知識導(dǎo)學(xué)1.方程的曲線在平面直角坐標系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點的集合或軌跡 )上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解；(2)以這個方程的解為坐標的點都是

35、曲線上的點.那么這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線.2.點與曲線的關(guān)系 若曲線C的方程是f(x,y)=0，則點P0(x0,y0)在曲線C上f(x0,y0)=0；點P0(x0,y0)不在曲線C上f(x0,y0)0兩條曲線的交點 若曲線C1，C2的方程分別為f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,則點P0(x0,y0)是C1，C2的交點方程組有n個不同的實數(shù)解，兩條曲線就有n個不同的交點；方程組沒有實數(shù)解，曲線就沒有交點.3.圓錐曲線的統(tǒng)一定義平面內(nèi)的動點P(x,y)到一個定點F(c,0)的距離與到不通過這個定點的一條定直線l的距離之比是一個常數(shù)e(e0),則動點的軌跡叫做圓錐曲線.其

36、中定點F(c,0)稱為焦點，定直線l稱為準線，正常數(shù)e稱為離心率.當0e1時，軌跡為橢圓當e=1時，軌跡為拋物線當e1時，軌跡為雙曲線4.坐標變換（1）坐標變換 在解析幾何中，把坐標系的變換(如改變坐標系原點的位置或坐標軸的方向)叫做坐標變換.實施坐標變換時，點的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點的坐標與曲線的方程.坐標軸的平移：坐標軸的方向和長度單位不改變，只改變原點的位置，這種坐標系的變換叫做坐標軸的平移，簡稱移軸.（2）坐標軸的平移公式 設(shè)平面內(nèi)任意一點M，它在原坐標系xOy中的坐標是（x,y)，在新坐標系x Oy中的坐標是(x,y).設(shè)新坐標系的原點O在原坐標系xOy中

37、的坐標是(h,k)，則(1) 或 (2)公式(1)或(2)叫做平移(或移軸)公式.二、疑難知識導(dǎo)析1.在求曲線軌跡方程的過程中,要注意：(1)理解題意,弄清題目中的已知和結(jié)論,發(fā)現(xiàn)已知和未知的關(guān)系,進行知識的重新組合；(2)合理進行數(shù)學(xué)語言間的轉(zhuǎn)換,數(shù)學(xué)語言包括文字語言、符號語言和圖形語言,通過審題畫出必要的圖形或示意圖,把不宜于直接計算的關(guān)系化為能直接進行數(shù)學(xué)處理的關(guān)系式,把不便于進行數(shù)學(xué)處理的語言化為便于數(shù)學(xué)處理的語言；(3)注意挖掘題目中的隱含條件；(4)注意反饋和檢驗.2.求軌跡方程的基本方法有：(1)直接法：若動點滿足的幾何條件是一些幾何量的等量關(guān)系,則將這些關(guān)系“翻譯”成x,y的關(guān)

38、系式,由此得到軌跡方程.一般步驟是：建立坐標系設(shè)點列式代換化簡、整理.(2)定義法：即當動點的軌跡滿足的條件符合某種特殊曲線的定義時,則可根據(jù)這種曲線的定義建立方程.(3)待定系數(shù)法：已知動點的軌跡是某種圓錐曲線,則可先設(shè)出含有待定系數(shù)的方程,再根據(jù)動點滿足的條件確定待定系數(shù).(4)相關(guān)點法：當動點P(x,y)隨著另一動點Q(x1,y1)的運動而運動時,而動點Q在某已知曲線上,且Q點的坐標可用P點的坐標來表示,則可代入動點Q的方程中,求得動點P的軌跡方程.(5)參數(shù)法：當動點P的坐標x、y之間的直接關(guān)系不易建立時,可適當?shù)剡x取中間變量t,并用t表示動點的坐標x、y,從而得到動點軌跡的參數(shù)方程

39、,消去t,便可得動點P的普通方程.另外,還有交軌法、幾何法等.3.在求軌跡問題時常用的數(shù)學(xué)思想是：(1)函數(shù)與方程的思想：求平面曲線的軌跡方程,是將幾何條件(性質(zhì))表示為動點坐標x、y的方程及函數(shù)關(guān)系；(2)數(shù)形結(jié)合的思想：由曲線的幾何性質(zhì)求曲線方程是“數(shù)”與“形”的有機結(jié)合；(3)等價轉(zhuǎn)化的思想：通過坐標系使“數(shù)”與“形”相互結(jié)合,在解決問題時又需要相互轉(zhuǎn)化.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足APB=90°，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程.解：設(shè)AB的中點為R，坐標為(x,y)，則在RtABP中，|AR|=|PR

40、|.又因為R是弦AB的中點，依垂徑定理：在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此點R在一個圓上，而當R在此圓上運動時，Q點即在所求的軌跡上運動.設(shè)Q(x,y)，R(x1,y1)，因為R是PQ的中點，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得10=0整理得 x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程. 技巧與方法：對某些較復(fù)雜的探求軌跡方程的問題，可先確定一個較易于求得的點的軌跡方程，再以此點作為主動點，所求的軌跡上的點為相關(guān)點，求得軌跡方程.例2某檢驗員通常用一個直徑為2

41、cm和一個直徑為1 cm的標準圓柱，檢測一個直徑為3 cm的圓柱，為保證質(zhì)量，有人建議再插入兩個合適的同號標準圓柱，問這兩個標準圓柱的直徑為多少？解：設(shè)直徑為3,2,1的三圓圓心分別為O、A、B，問題轉(zhuǎn)化為求兩等圓P、Q,使它們與O相內(nèi)切，與A、B相外切.建立如圖所示的坐標系，并設(shè)P的半徑為r,則|PA|+|PO|=1+r+1.5r=2.5點P在以A、O為焦點，長軸長2.5的橢圓上，其方程為=1 同理P也在以O(shè)、B為焦點，長軸長為2的橢圓上，其方程為(x)2+y2=1 由、可解得，r=故所求圓柱的直徑為 cm.例3 直線L：與圓O：相交于A、B兩點，當k變動時，弦AB的中點M的軌跡方程.錯解：

42、易知直線恒過定點P（5,0），再由，得：，整理得：分析：求動點軌跡時應(yīng)注意它的完備性與純粹性。本題中注意到點M應(yīng)在圓內(nèi)，故易求得軌跡為圓內(nèi)的部分，此時.例4已知A、B為兩定點，動點M到A與到B的距離比為常數(shù),求點M的軌跡方程，并注明軌跡是什么曲線.解：建立坐標系如圖所示，設(shè)|AB|=2a,則A(a,0）,B(a,0).設(shè)M(x,y）是軌跡上任意一點.則由題設(shè)，得=,坐標代入，得=,化簡得(12)x2+(12)y2+2a(1+2)x+(12)a2=0(1)當=1時，即|MA|=|MB|時，點M的軌跡方程是x=0，點M的軌跡是直線(y軸).(2)當1時，點M的軌跡方程是x2+y2+x+a2=0.點

43、M的軌跡是以(，0)為圓心，為半徑的圓.例5若拋物線y=ax2-1上，總存在不同的兩點A、B關(guān)于直線y+x=0對稱，求實數(shù)a的取值范圍.分析：若存在A、B關(guān)于直線y+x=0對稱，A、B必在與直線y+x=0垂直的直線系中某一條與拋物線y=ax2-1相交的直線上，并且A、B的中點M恒在直線y+x=0上.解：如圖所示，設(shè)與直線y+x=0垂直的直線系方程為y=x+b由得ax2-x-(b+1)=0令0 即 (-1)-4a-(b+1)0 整理得4ab+4a+10 在的條件下，由可以得到直線y=x+b、拋物線y=ax2-1的交點A、B的中點M的坐標為（,+b）,要使A、B關(guān)于直線y+x=0對稱，則中點M應(yīng)該

44、在直線y+x=0上，所以有+（+b）=0 即 b=-代入解不等式得 a因此，當a時，拋物線y=ax2-1上總存在不同的兩點A、B關(guān)于直線y+x=0對稱.四、典型習(xí)題導(dǎo)練1.已知橢圓的焦點是F1、F2，P是橢圓上的一個動點，如果延長F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么動點Q的軌跡是( )A.圓B.橢圓C.雙曲線的一支D.拋物線2.高為5 m和3 m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10 m，如果把兩旗桿底部的坐標分別確定為A(5，0)、B(5，0)，則地面觀測兩旗桿頂端仰角相等的點的軌跡方程是_.3設(shè)直線2x-y-=0與y軸的交點為P，點P把圓(x+1)2+y2 25的直徑分為兩段，則其長度

45、之比是4.已知A、B、C是直線上的三點，且|AB|=|BC|=6，O切直線于點A，又過B、C作O異于的兩切線，設(shè)這兩切線交于點P，求點P的軌跡方程.5.雙曲線=1的實軸為A1A2，點P是雙曲線上的一個動點，引A1QA1P，A2QA2P，A1Q與A2Q的交點為Q，求Q點的軌跡方程.6.已知橢圓=1(ab0),點P為其上一點，F(xiàn)1、F2為橢圓的焦點，F(xiàn)1PF2的外角平分線為，點F2關(guān)于的對稱點為Q，F(xiàn)2Q交于點R.(1)當P點在橢圓上運動時，求R形成的軌跡方程；(2)設(shè)點R形成的曲線為C，直線l：y=k(x+a)與曲線C相交于A、B兩點，當AOB的面積取得最大值時，求k的值.§75綜合問

46、題選講一、知識導(dǎo)學(xué) (一)直線和圓的方程1理解直線的斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式，掌握直線方程的點斜式、兩點式、一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程. 2掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點到直線的距離公式，能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系.3了解二元一次不等式表示平面區(qū)域. 4了解線性規(guī)劃的意義，并會簡單的應(yīng)用.5了解解析幾何的基本思想，了解坐標法.6掌握圓的標準方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程.(二)圓錐曲線方程1 掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì).2 掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì).3 掌握拋物線的定義、

47、標準方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì).4了解圓錐曲線的初步應(yīng)用.（三）目標1.能正確導(dǎo)出由一點和斜率確定的直線的點斜式方程；從直線的點斜式方程出發(fā)推導(dǎo)出直線方程的其他形式，斜截式、兩點式、截距式；能根據(jù)已知條件，熟練地選擇恰當?shù)姆匠绦问綄懗鲋本€的方程，熟練地進行直線方程的不同形式之間的轉(zhuǎn)化，能利用直線的方程來研究與直線有關(guān)的問題了.2.能正確畫出二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域，知道線性規(guī)劃的意義，知道線性約束條件、線性目標函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念，能正確地利用圖解法解決線性規(guī)劃問題，并用之解決簡單的實際問題，了解線性規(guī)劃方法在數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用；會用線性規(guī)劃方法解決一些實際問題.3.理

48、解“曲線的方程”、“方程的曲線”的意義，了解解析幾何的基本思想，掌握求曲線的方程的方法.4掌握圓的標準方程：（r0），明確方程中各字母的幾何意義，能根據(jù)圓心坐標、半徑熟練地寫出圓的標準方程，能從圓的標準方程中熟練地求出圓心坐標和半徑，掌握圓的一般方程：，知道該方程表示圓的充要條件并正確地進行一般方程和標準方程的互化，能根據(jù)條件，用待定系數(shù)法求出圓的方程，理解圓的參數(shù)方程（為參數(shù)），明確各字母的意義，掌握直線與圓的位置關(guān)系的判定方法.5正確理解橢圓、雙曲線和拋物線的定義，明確焦點、焦距的概念；能根據(jù)橢圓、雙曲線和拋物線的定義推導(dǎo)它們的標準方程；記住橢圓、雙曲線和拋物線的各種標準方程；能根據(jù)條件，

49、求出橢圓、雙曲線和拋物線的標準方程；掌握橢圓、雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)：范圍、對稱性、頂點、離心率、準線（雙曲線的漸近線）等，從而能迅速、正確地畫出橢圓、雙曲線和拋物線；掌握、b、之間的關(guān)系及相應(yīng)的幾何意義；利用橢圓、雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)，確定橢圓、雙曲線和拋物線的標準方程，并解決簡單問題；理解橢圓、雙曲線和拋物線的參數(shù)方程，并掌握它的應(yīng)用；掌握直線與橢圓、雙曲線和拋物線位置關(guān)系的判定方法.二、疑難知識導(dǎo)析 1 直線的斜率是一個非常重要的概念，斜率反映了直線相對于軸的傾斜程度.當斜率存在時，直線方程通常用點斜式或斜截式表示，當斜率不存在時，直線方程為=（R）.因此，利用直線的點斜式或斜截式

50、方程解題時，斜率存在與否，要分別考慮. 直線的截距式是兩點式的特例，、b分別是直線在軸、軸上的截距，因為0，b0，所以當直線平行于軸、平行于軸或直線經(jīng)過原點，不能用截距式求出它的方程，而應(yīng)選擇其它形式求解.求解直線方程的最后結(jié)果，如無特別強調(diào)，都應(yīng)寫成一般式.當直線或的斜率不存在時，可以通過畫圖容易判定兩條直線是否平行與垂直在處理有關(guān)圓的問題，除了合理選擇圓的方程，還要注意圓的對稱性等幾何性質(zhì)的運用，這樣可以簡化計算.2.用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程時，要分清焦點在軸上還是軸上，還是兩種都存在.注意橢圓定義、性質(zhì)的運用，熟練地進行、b、間的互求，并能根據(jù)所給的方程畫出橢圓.求雙曲線的標準方程

51、應(yīng)注意兩個問題： 正確判斷焦點的位置； 設(shè)出標準方程后，運用待定系數(shù)法求解.雙曲線的漸近線方程為或表示為.若已知雙曲線的漸近線方程是，即，那么雙曲線的方程具有以下形式：，其中是一個不為零的常數(shù).雙曲線的標準方程有兩個和（0，b0）.這里，其中|=2c.要注意這里的、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同.求拋物線的標準方程，要線根據(jù)題設(shè)判斷拋物線的標準方程的類型，再求拋物線的標準方程，要線根據(jù)題設(shè)判斷拋物線的標準方程的類型，再由條件確定參數(shù)的值.同時，應(yīng)明確拋物線的標準方程、焦點坐標、準線方程三者相依并存，知道其中拋物線的標準方程、焦點坐標、準線方程三者相依并存，知道其中一個，就可以求出其他兩個

52、.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1已知點T是半圓O的直徑AB上一點，AB=2、OT=(0<<1)，以AB為直腰作直角梯形，使垂直且等于AT，使垂直且等于BT，交半圓于P、Q兩點，建立如圖所示的直角坐標系.(1)寫出直線的方程；（2）計算出點P、Q的坐標；（3）證明：由點P發(fā)出的光線，經(jīng)AB反射后，反射光線通過點Q. 解: (1 ) 顯然, 于是 直線的方程為； （2）由方程組 解出 、； （3）,.由直線PT的斜率和直線QT的斜率互為相反數(shù)知，由點P發(fā)出的光線經(jīng)點T反射，反射光線通過點Q.例2設(shè)P是圓M：(-5)2+(-5)2=1上的動點，它關(guān)于A(9, 0)的對稱點為Q，把P繞原點依逆時針方

53、向旋轉(zhuǎn)90°到點S，求|SQ|的最值.解：設(shè)P(,)，則Q(18-, -)，記P點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為+，則S點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為： (+)·=-+，即S(-, )其中可以看作是點P到定點B(9, -9)的距離，共最大值為最小值為，則|SQ|的最大值為，|SQ|的最小值為.例4已知兩點M（-1，0），N（1，0）且點P使成公差小于零的等差數(shù)列，（1）點P的軌跡是什么曲線？（2）若點P坐標為，為的夾角，求tan.解：（1）記P（, ），由M（-1，0）N（1，0）得 所以 于是， 是公差小于零的等差數(shù)列等價于 即 所以，點P的軌跡是以原點為圓心，為半徑的右半圓.（2）點P的坐標為。. 因為 0， 所以 .例4艦A在艦B的正東6千米處，艦C在艦B的北偏西30°且與B