圓錐曲線(xiàn)高考題匯總附答案

1、2013-2018年圓錐曲線(xiàn)高考題匯總角度問(wèn)題1、（18文）設(shè)拋物線(xiàn)，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)（1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線(xiàn)的方程；（2）證明：解：（1）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，l的方程為x=2，可得M的坐標(biāo)為（2，2）或（2，2）所以直線(xiàn)BM的方程為y=或（2）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，AB為MN的垂直平分線(xiàn)，所以ABM=ABN當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為，M（x1，y1），N（x2，y2），則x1>0，x2>0由得ky22y4k=0，可知y1+y2=，y1y2=4直線(xiàn)BM，BN的斜率之和為將，及y1+y2，y1y2的表達(dá)式代入式分子，可得所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的傾斜角互補(bǔ)，

2、所以ABM+ABN綜上，ABM=ABN2、（18理）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線(xiàn)的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：.解：（1）由已知得，l的方程為x=1.由已知可得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為或.所以AM的方程為或.（2）當(dāng)l與x軸重合時(shí)，.當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線(xiàn)，所以.當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為，則，直線(xiàn)MA，MB的斜率之和為.由得.將代入得.所以，.則.從而，故MA，MB的傾斜角互補(bǔ)，所以.綜上，.3、（15理卷一）在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線(xiàn)C:y=x24與直線(xiàn)l:y=kx+a(a>0)交于M,N兩點(diǎn).()當(dāng)k=0時(shí),

3、分別求C在點(diǎn)M和N處的切線(xiàn)方程;()y軸上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí),總有OPM=OPN?說(shuō)明理由.解析()由題設(shè)可得M(2a,a),N(-2a,a)或M(-2a,a),N(2a,a).又y'=x2,故y=x24在x=2a處的導(dǎo)數(shù)值為a,C在點(diǎn)(2a,a)處的切線(xiàn)方程為y-a=a(x-2a),即ax-y-a=0.y=x24在x=-2a處的導(dǎo)數(shù)值為-a,C在點(diǎn)(-2a,a)處的切線(xiàn)方程為y-a=-a(x+2a),即ax+y+a=0.故所求切線(xiàn)方程為ax-y-a=0和ax+y+a=0.(5分)()存在符合題意的點(diǎn),證明如下:設(shè)P(0,b)為符合題意的點(diǎn),M(x1,y1),N(x2,y2)

4、,直線(xiàn)PM,PN的斜率分別為k1,k2.將y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.從而k1+k2=y1-bx1+y2-bx2=2kx1x2+(a-b)(x1+x2)x1x2=k(a+b)a.當(dāng)b=-a時(shí),有k1+k2=0,則直線(xiàn)PM的傾斜角與直線(xiàn)PN的傾斜角互補(bǔ),故OPM=OPN,所以點(diǎn)P(0,-a)符合題意.(12分)定點(diǎn)問(wèn)題1、（17理卷2）已知橢圓C：（a>b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.（1）求C的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線(xiàn)P2A

5、與直線(xiàn)P2B的斜率的和為1，證明：l過(guò)定點(diǎn).由題設(shè)，故.即.解得.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，欲使l：，即，所以l過(guò)定點(diǎn)（2，）2、（17理卷二）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：上，過(guò)M做x軸的垂線(xiàn)，垂足為N，點(diǎn)P滿(mǎn)足.(1) 求點(diǎn)P的軌跡方程；設(shè)點(diǎn)Q在直線(xiàn)x=-3上，且.證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線(xiàn)l過(guò)C的左焦點(diǎn)F. 【解析】（1）設(shè)，即代入橢圓方程，得到點(diǎn)的軌跡方程。過(guò)與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)為：當(dāng)時(shí)，代入得過(guò)且垂直于的直線(xiàn)過(guò)的左焦點(diǎn)。定值問(wèn)題1、（15文卷二）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22,點(diǎn)(2,2)在C上.()求C的方程;()直線(xiàn)l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸,l

6、與C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M.證明:直線(xiàn)OM的斜率與直線(xiàn)l的斜率的乘積為定值.解析()由題意有a2-b2a=22,4a2+2b2=1,解得a2=8,b2=4.所以C的方程為x28+y24=1.()設(shè)直線(xiàn)l:y=kx+b(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).將y=kx+b代入x28+y24=1得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.故xM=x1+x22=-2kb2k2+1,yM=k·xM+b=b2k2+1.于是直線(xiàn)OM的斜率kOM=yMxM=-12k,即kOM·k=-12.所以直線(xiàn)OM的斜率與直線(xiàn)l的斜率的乘積為定值.2、（

7、15理卷二）已知橢圓C:9x2+y2=m2(m>0),直線(xiàn)l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸,l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M.()證明:直線(xiàn)OM的斜率與l的斜率的乘積為定值;()若l過(guò)點(diǎn)m3,m,延長(zhǎng)線(xiàn)段OM與C交于點(diǎn)P,四邊形OAPB能否為平行四邊形?若能,求此時(shí)l的斜率;若不能,說(shuō)明理由.()設(shè)直線(xiàn)l:y=kx+b(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).將y=kx+b代入9x2+y2=m2得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,故xM=x1+x22=-kbk2+9,yM=kxM+b=9bk2+9.于是直線(xiàn)OM的斜率kOM=yMxM=-9k,即

8、kOM·k=-9.所以直線(xiàn)OM的斜率與l的斜率的乘積為定值.()四邊形OAPB能為平行四邊形.因?yàn)橹本€(xiàn)l過(guò)點(diǎn)m3,m,所以l不過(guò)原點(diǎn)且與C有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是k>0,k3.由()得OM的方程為y=-9kx.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為xP.由y=-9kx,9x2+y2=m2得xP2=k2m29k2+81,即xP=±km3k2+9.將點(diǎn)m3,m的坐標(biāo)代入l的方程得b=m(3-k)3,因此xM=k(k-3)m3(k2+9).四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線(xiàn)段AB與線(xiàn)段OP互相平分,即xP=2xM.于是±km3k2+9=2×k(k-3)m3(k2+9),解得k

9、1=4-7,k2=4+7.因?yàn)閗i>0,ki3,i=1,2,所以當(dāng)l的斜率為4-7或4+7時(shí),四邊形OAPB為平行四邊形.范圍問(wèn)題1、（16理卷一）設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A,直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過(guò)B作AC的平行線(xiàn)交AD于點(diǎn)E.()證明|EA|+|EB|為定值,并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程;()設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線(xiàn)C1,直線(xiàn)l交C1于M,N兩點(diǎn),過(guò)B且與l垂直的直線(xiàn)與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍.()因?yàn)閨AD|=|AC|,EBAC,故EBD=ACD=ADC.所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|

10、=|AD|.又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+y2=16,從而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.(2分)由題設(shè)得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由橢圓定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為x24+y23=1(y0).(4分)()當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),設(shè)l的方程為y=k(x-1)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2).由y=k(x-1),x24+y23=1得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.則x1+x2=8k24k2+3,x1x2=4k2-124k2+3.所以|MN|=1+k2|x1-x2|=12(k2+1)4k2+3.(6分)過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與l垂直的直線(xiàn)m:y=-1k

11、(x-1),A到m的距離為2k2+1,所以|PQ|=242-2k2+12=44k2+3k2+1.故四邊形MPNQ的面積S=12|MN|PQ|=121+14k2+3.(10分)可得當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),四邊形MPNQ面積的取值范圍為(12,83).當(dāng)l與x軸垂直時(shí),其方程為x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四邊形MPNQ的面積為12.綜上,四邊形MPNQ面積的取值范圍為12,83).(12分)2、（16理卷二）已知橢圓E:x2t+y23=1的焦點(diǎn)在x軸上,A是E的左頂點(diǎn),斜率為k(k>0)的直線(xiàn)交E于A,M兩點(diǎn),點(diǎn)N在E上,MANA.()當(dāng)t=4,|AM|=|AN|時(shí),求AMN的面積;()

12、當(dāng)2|AM|=|AN|時(shí),求k的取值范圍.()設(shè)M(x1,y1),則由題意知y1>0.當(dāng)t=4時(shí),E的方程為x24+y23=1,A(-2,0).(1分)由已知及橢圓的對(duì)稱(chēng)性知,直線(xiàn)AM的傾斜角為4.因此直線(xiàn)AM的方程為y=x+2.(2分)將x=y-2代入x24+y23=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=127,所以y1=127.(4分)因此AMN的面積SAMN=2×12×127×127=14449.(5分)()由題意,t>3,k>0,A(-t,0).將直線(xiàn)AM的方程y=k(x+t) 代入x2t+y23=1得(3+tk2)x2+2t·

13、;tk2x+t2k2-3t=0.(7分)由x1·(-t)=t2k2-3t3+tk2得x1=t(3-tk2)3+tk2,故|AM|=|x1+ t|1+k2=6t(1+k2)3+tk2.(8分)由題設(shè),直線(xiàn)AN的方程為y=-1k(x+t),故同理可得|AN|=6kt(1+k2)3k2+t.(9分)由2|AM|=|AN|得23+tk2=k3k2+t,即(k3-2)t=3k(2k-1).當(dāng)k=32時(shí)上式不成立,因此t=3k(2k-1)k3-2.(10分)t>3等價(jià)于k3-2k2+k-2k3-2=(k-2)(k2+1)k3-2<0,即k-2k3-2<0.(11分)由此得k-2

14、>0,k3-2<0或k-2<0,k3-2>0,解得32<k<2.因此k的取值范圍是(32,2).(12分)最值問(wèn)題1、（14理卷一）已知點(diǎn)A(0,-2),橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32,F是橢圓E的右焦點(diǎn),直線(xiàn)AF的斜率為233,O為坐標(biāo)原點(diǎn).()求E的方程;()設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線(xiàn)l與E相交于P,Q兩點(diǎn).當(dāng)OPQ的面積最大時(shí),求l的方程.()設(shè)F(c,0),由條件知,2c=233,得c=3.又ca=32,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程為x24+y2=1.()當(dāng)lx軸時(shí)不合題意,故設(shè)l:y=kx-2,P(x1

15、,y1),Q(x2,y2).將y=kx-2代入x24+y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0.當(dāng)=16(4k2-3)>0,即k2>34時(shí),x1,2=8k±24k2-34k2+1.從而|PQ|=k2+1|x1-x2|=4k2+1·4k2-34k2+1.又點(diǎn)O到直線(xiàn)PQ的距離d=2k2+1,所以O(shè)PQ的面積SOPQ=12d·|PQ|=44k2-34k2+1.設(shè)4k2-3=t,則t>0,SOPQ=4tt2+4=4t+4t.因?yàn)閠+4t4,當(dāng)且僅當(dāng)t=2,即k=±72時(shí)等號(hào)成立,且滿(mǎn)足>0,所以,當(dāng)OPQ的面積最大時(shí),l的方程為

16、y=72x-2或y=-72x-2.2、（14文卷一）已知點(diǎn)P(2,2),圓C:x2+y2-8y=0,過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線(xiàn)l與圓C交于A,B兩點(diǎn),線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn).()求M的軌跡方程;()當(dāng)|OP|=|OM|時(shí),求l的方程及POM的面積.()圓C的方程可化為x2+(y-4)2=16,所以圓心為C(0,4),半徑為4.設(shè)M(x,y),則CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y).由題設(shè)知CM·MP=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部,所以M的軌跡方程是(x-1)2+(y-3)2=2.()由()可知M的軌跡是以

17、點(diǎn)N(1,3)為圓心,2為半徑的圓.由于|OP|=|OM|,故O在線(xiàn)段PM的垂直平分線(xiàn)上,又P在圓N上,從而ONPM.因?yàn)镺N的斜率為3,所以l的斜率為-13,故l的方程為y=-13x+83.又|OM|=|OP|=22,O到l的距離為4105,|PM|=4105,所以POM的面積為165.3、（13理卷二）平面直角坐標(biāo)系xOy中,過(guò)橢圓M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)x+y-3=0交M于A,B兩點(diǎn),P為AB的中點(diǎn),且OP的斜率為12.()求M的方程;()C,D為M上兩點(diǎn),若四邊形ACBD的對(duì)角線(xiàn)CDAB,求四邊形ACBD面積的最大值.()設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),則x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,y2-y1x2-x1=-1,由此可得b2(x2+x1)a2(y2+y1)=-y2-y1x2-x1=1.因?yàn)閤1+x2=2x0,y1+y2=2y0,y0x0=12,所以a2=2b2.又由題意知,M的右焦點(diǎn)為(3,0),故a2-b2=3.因此a2=6,b2=3.所以M的方程為x26+y23=1.()由