圓錐曲線面面觀

1、圓錐曲線面面觀圓錐曲線是解析幾何的重點(diǎn)，也是高中數(shù)學(xué)高考的重點(diǎn)內(nèi)容.它體現(xiàn)了解析幾何數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，展示了解析幾何在計(jì)算方法上的特點(diǎn)和技巧，表現(xiàn)出辯證思維的豐富內(nèi)涵.高考中，有關(guān)圓錐曲線的試題約占全卷總分的15%.一般有兩道題，其中一道為選擇題或填空題，一道為解答題，這部分試題重在考查圓錐曲線中的基本知識(shí)和基本方法，有時(shí)也有一定的綜合性和靈活性，以圓錐曲線中有關(guān)的知識(shí)和方法為主，結(jié)合解析幾何中其它部分的知識(shí)，如平面向量、函數(shù)、不等式、數(shù)列和三角函數(shù)等有關(guān)的知識(shí)和方法的綜合問題逐漸成為高考命題人“心儀”的對(duì)象.（一）定義、標(biāo)準(zhǔn)方程 圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程反映了它們的基本特征，理解定義、認(rèn)識(shí)方

2、程是掌握其性質(zhì)的基礎(chǔ)；借助第一定義可以確定圓錐曲線的類型，利用第二定義可以處理一類焦半徑問題；例1：（1）（2010江西）點(diǎn)在雙曲線的右支上，若點(diǎn)A到右焦點(diǎn)的距離等于，則 （2）（2010天津）已知雙曲線的一條漸近線方程是,它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為（ ）（A）（B） （C） （D）分析：問題1利用雙曲線第二定義刻畫“焦半徑”，再簡單計(jì)算問題便可求解；問題2求雙曲線方程只需分別求出，根據(jù)已知條件列出間的等式關(guān)系，再加上雙曲線中問題可求解解答：（1）由已知條件可得：離心力，設(shè)右支上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離，到右準(zhǔn)線距離為，則根據(jù)雙曲線的第二定義，有，即（2）依題意知，所以雙曲線的方

3、程為點(diǎn)評(píng)：高考對(duì)圓錐曲線定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的考查主要有：（1）利用第一定義確定曲線類型，利用第二定義刻畫焦半徑（橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離）；（2）求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；屬簡單題，重在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解.（二）幾何性質(zhì)圓錐曲線的幾何性質(zhì)主要從：范圍、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、漸近線、離心率等來考查，解決問題的關(guān)鍵是：弄清圓錐曲線中各幾何元素的意義、位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系，特別是其中五個(gè)主要參數(shù)（為焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離即焦準(zhǔn)距）例2（1）（2010北京）已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)相同，那么雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ；漸近線方程為 （2）（2010遼寧）設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為,如果直線與該雙

4、曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為（ ）（A） （B） （C） （D）分析：求圓錐曲線的焦點(diǎn)、漸近線、離心率等主要是尋找?guī)缀瘟恐g的等式關(guān)系解答：（1）在橢圓中，所以，橢圓的焦點(diǎn)為，即雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為；在雙曲線中，所以，從而雙曲線的漸近線方程為，即（2）不妨設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)其方程為：，則一個(gè)焦點(diǎn)為，一條漸近線斜率為，直線的斜率為；，解得；所以選D點(diǎn)評(píng)：圓錐曲線的幾何性質(zhì)問題主要是抓住定義、幾何量關(guān)系來解.求離心率的值或范圍的題型，則主要尋找之間的等式、不等式關(guān)系.（三）直線與圓錐曲線 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有三種：相離、相交和相切；從代數(shù)角度看直線的方程與圓錐曲線的方程構(gòu)

5、成的方程組；解決過程中，常用的數(shù)學(xué)思想方法有方程的思想；數(shù)形結(jié)合思想；設(shè)而不求與整體代入的技巧與方法例3（2010上海）已知橢圓的方程為，、和為的三個(gè)頂點(diǎn)；設(shè)直線交橢圓于、兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn).若，證明：為的中點(diǎn)；分析：對(duì)于“直線交于”、“直線交于點(diǎn)”等相交條件，自然想到聯(lián)立方程組；消元后借助韋達(dá)定理來描述兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，而并非分別求出兩交點(diǎn)坐標(biāo)；證明：由方程組，消去得因?yàn)橹本€交橢圓于、兩點(diǎn)，所以，即，設(shè)，的中點(diǎn)坐標(biāo)為則，由方程組，消得方程，又因?yàn)?，所以，故為的中點(diǎn).點(diǎn)評(píng)：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系主要由聯(lián)立方程組后方程的根進(jìn)行判斷，二次方程判別式及根與系數(shù)的關(guān)系是解決此類問題最好的方法.此類問題的

6、解決過程體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想的靈活應(yīng)用.（四）圓錐曲線與向量由于平面向量具有代數(shù)（坐標(biāo)）表示和幾何表示的特點(diǎn)，這就使其成為表述圓錐曲線問題的重要載體.問題往往以圓錐曲線為主線，融向量、函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列等知識(shí)于一體，具有知識(shí)點(diǎn)多、覆蓋面廣、綜合性強(qiáng)的特點(diǎn)，重在考查考生的思維水平和綜合能力例4（2010全國卷2）已知橢圓的離心率為，過右焦點(diǎn)且斜率為的直線于相交于兩點(diǎn)，若，則 （A）1 （B） （C） （D）2分析：將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解解答：設(shè)（1），設(shè)，（2）設(shè)直線方程為，代入（2）式消去得 結(jié)合（1）式，有，解得，因?yàn)椋瑥亩?，選D點(diǎn)評(píng)：圓錐曲線與

7、向量的綜合，主要的解題方法是將向量轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，借助于代數(shù)運(yùn)算方法來處理；解題過程體現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化思想.（五）范圍與最值 圓錐曲線的最值問題主要有兩種求法：（1）利用定義，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想；（2）轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；關(guān)鍵是尋找不等式關(guān)系，一般可依據(jù)（1）圓錐曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）判別式；（3）已知條件中的不等關(guān)系來解例5（2010福建）若點(diǎn)和點(diǎn)分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為（ ）（A）2 （B）3 （C）6 （D）8分析：對(duì)于的最值問題，需先借助于某個(gè)變量將表示為函數(shù)表達(dá)式，再求函數(shù)的最值解析：由題意，設(shè)點(diǎn)，則有,解得，

8、因?yàn)?，所?，此二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的拋物線的對(duì)稱軸為，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值，選C點(diǎn)評(píng)：借助點(diǎn)坐標(biāo)可直接表示出兩向量的數(shù)量積，接下來的整體代入、二次函數(shù)在定義域下的最值是解決此題的關(guān)鍵.（六）探索性問題探索性問題是一種具有開放性和發(fā)散性的問題，要求解答者自己去探索，結(jié)合已有條件，進(jìn)行觀察、分析、比較和概括一類“是否存在型”圓錐曲線的探索性問題逐漸成為近幾年高考的熱點(diǎn)問題之一例6（2010山東）如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的周長為，一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線上異于項(xiàng)點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D.（1）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線、的斜率分別為、，證明：；（3）是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.分析：前兩個(gè)小問題可利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的關(guān)系來求解；問題（3）是一類“是否存在”型的探索性問題，可先假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)，再利用條件，如果求出實(shí)數(shù)則說明存在，若產(chǎn)生矛盾或無法求出，即不存在解答：（1）（略解）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)，則因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線上，所以因此，即（3）由于的方程為，代入橢圓方程得由韋達(dá)定理有，所以同理可得則又所以故因此存在，使恒成立.