可化為一元一次方程的分式方程 華師

1、173 可化為一元一次方程的分式方程【教材研學(xué)】 一、可化為一元一次方程的分式方程的解法 1數(shù)字系數(shù)分式方程的解法 解分式方程的關(guān)鍵是去分母，將分式方程化為整式方程求解去分母即在方程兩邊同乘以最簡公分母，若分母可以分解因式，應(yīng)首先分解由整式方程得到的解，需代人最簡公分母中檢驗，使最簡公分母不為零的解，才是原方程的解；使最簡公分母為零的解，是原方程的增根，應(yīng)舍掉2含有字母系數(shù)的分式方程的解法 此類方程與數(shù)字系數(shù)分式方程的解法基本相同，只是在系數(shù)化為1時要討論系數(shù)是否為零3增根增根的產(chǎn)生是由于在去分母時，方程兩邊同乘的整式恰好為零所致是方程變形造成的，不是解題錯誤方程的增根不是分式方程的根但是增根

2、是變形后所得到的整式方程的根4分式方程有增根與無解的關(guān)系不仔細(xì)推敲，會認(rèn)為分式方程無解和分式方程有增根是同一回事事實上并非如此分式方程有增根，指的是解分分式方程求出的根是原分式方程變形后所得整式方程的根，但不是原分式方程的根，即這個根使最簡公分母為0比如：方程，可解得：x=3，而x=3是原方程的增根，此方程無解本題中，分式方程有增根，方程無解，但并不是說只要有增根方程就無解，等大家進(jìn)入高年級，學(xué)習(xí)了更多的知識，會發(fā)現(xiàn)有增根的分式方程并不全是無解的問題：若關(guān)于x的方程無解，求m的值。探究：（1）將分式方程去分母，整理為：（1一m）x一4 m 當(dāng)1一m=0，而4m0時方程無解此時，m=l （依據(jù)是

3、形如ax=b的方程在a=0，b0時無解）（2）如果方程的解恰好是原分式方程的增根，原分式方程無解根據(jù)這種思路，可先確定增根后，再求m的值原方程若有增根，增根為x3，把x3代入方程中，求出m一3綜上所述，m1或m一3時，原分式方程無解而此分式方程有增根時，m一3結(jié)論：通過本例可以發(fā)現(xiàn)，（1）現(xiàn)階段學(xué)習(xí)的分式方程有增根時，一定無解；（2）分式方程無解，可能是因為有增根，也可能是由分式方程轉(zhuǎn)化所得的整式方程ax=b中的a=0、b0造成的三分式方程的應(yīng)用1列分式方程客觀世界中存在大量的問題需要用分式方程去解決，當(dāng)我們掌握好相關(guān)的知識和方法后，就可以運用它們分析和解決實際問題 此類題目接近生活，取材廣泛

4、，做題時，要注意題目的情境，弄清是行程問題、增長率問題等中的哪一類，當(dāng)然也有一些跨學(xué)科的綜合題，比如：杠桿問題等，無論哪一類都要根據(jù)相關(guān)的基本量尋找關(guān)系2列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟： 弄清題意；設(shè)未知數(shù)，列出有關(guān)的代數(shù)式；依題意找等量關(guān)系，列出分式方程；解方程；檢驗：一方面要檢驗所求出的解是否為原方程的根，另一方面還要檢驗所求的解是否符合實際意義；答。3編寫符合一定條件的分式方程(開放型題目)這類開放型的題目，能很好地反映學(xué)生水平的高低，不同層次的學(xué)生都能解答此類題，這是對學(xué)生綜合能力的考查【點石成金】例1解方程 分析：此類題目考查的是分式方程的解法，只需按照解分式方程的步驟求解解：方程兩邊

5、同乘以(x+1)(x1)，去分母得，63(x+1)=2(x一1)，解這個方程得，x=1檢驗：當(dāng)x=1時，x一1=0，所以，x=1是原方程的增根，原方程無解。名師點金：分式方程的解法步驟：同乘最簡公分母，化成整式寫清楚，求得解后須驗根，原（根）留、增（根）舍別含糊 例2在公式l中，求x（m、n為常量，且m2n）分析：在此題中x是未知量，m、n為常量，方程本身有意義，題目中隱含著x+n0與x0的條件，本題實際上是一個以x為未知量的、含有字母系數(shù)的分式方程 解：方程兩邊同乘以(x+n)x得，(xm)x一(x+n)n=(x+n)x， 整理，得n2+mx一nx一n2x2nx，(m一2n)x=n2 m2n

6、m一2n0 。名師點金：做這類題最容易犯的錯誤是在系數(shù)化為1時，不進(jìn)行討論例3已知：分式方程有增根，求a的值分析：本題考查了對增根的理解，根據(jù)增根的意義，x1雖不是的根，但x1是由原方程得到的ax1x1的根解：去分母，原方程可化為ax+1=x一1 原分式方程有增根， x=1是方程ax+1xl的根，把x=l代入ax+1x一1中，解得，a一1名師點金：做此類題首先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，然后找出使公分母為零的未知數(shù)的值即為增根，最后將增根代入轉(zhuǎn)化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值例4任意寫出一個以x3為根，且可以化為一元一次方程的分式方程分析：此題不僅考查了分式方程、整式方程和解方程的知

7、識，而且還考查了學(xué)生的逆向思維能力答案有無數(shù)個，只需寫出一個符合條件的答案即可 解：名師點金：解這類題除直接寫出最簡單的答案外，還可以先寫出一個整式方程，然后再將方程兩邊同時倒過來，如：由2x3x，得，例5要想富，先修路某市要修筑一條4 000米長的公路，為了使廣大市民盡快用上這條路，實際施工時_，設(shè)原計劃每天修路x米，則可得方程根據(jù)此情境，題中用空白處缺少的條件是什么? 解析：x+10表示每天比原計劃多修10米，表示實際施工的天數(shù)，方程左邊表示原計劃所需天數(shù)與實際施工天數(shù)的差，故可得出結(jié)論 答案：要填的條件是：每天比原計劃多修10米，結(jié)果提前20天完成任務(wù)名師點金：本題除考查工程問題中的基本

8、量外，更主要的是考查學(xué)生的創(chuàng)新、分析、綜合問題的能力要解決這類問題，首先認(rèn)閱讀題目，分析除缺失的條件以外的其他條件與結(jié)論之間的關(guān)系，采取“兩頭湊”的方法，達(dá)到目的例6：某中學(xué)庫存960套舊桌凳修理后捐助貧困山區(qū)學(xué)?，F(xiàn)有甲，乙兩個木工小組都想承攬這項業(yè)務(wù)經(jīng)協(xié)商后得知：甲小組單獨修理這批桌凳比乙小組多用20天；乙小組每天比甲小組多修8套；學(xué)校每天需付給甲小組修理費80元，付給乙小組120元。 （1）求甲、乙兩個木工小組每天各修桌凳多少套? （2）在修理桌凳過程中，學(xué)校要委派一名維修工進(jìn)行質(zhì)量監(jiān)督，并由學(xué)校負(fù)擔(dān)他每天10元的生活補助現(xiàn)有以下三種修理方案供選擇： 由甲單獨修理；由乙單獨修理；由甲、乙共

9、同合作修理，你認(rèn)為哪種方案既省時又省錢?試比較說明 分析：等量關(guān)系有：乙小組每天比甲小組多修8套：甲小組單獨修理這批桌凳比乙小組多用20天如果設(shè)甲小組每天修x套，那么乙小組每天修(x+8)套，利用等量關(guān)系甲小組單獨修理這批桌凳比乙小組多用20天就能列出方程 解：（1）設(shè)甲小組每天修理桌凳x套。則乙小組每天修理(x+8)套，依題意得， 解這個分式方程得，x=16 經(jīng)檢驗，x=16是原方程的根并且符合題意。 x+8=16+8=24 所以，甲小組每天修理桌凳16套乙小組每天修理24套 （2）若甲小組單獨修理則需9601660（天） 總費用：6080+6010=5 400 （元）。 若乙小組單獨修理，

10、則需96024=40天 總費用：40120+40105200（元）： 若甲、乙兩小組合作：則需960（2416）24（天）， 總費用：（80+120）2424105040（元） 所以，第種方案既省時又省錢。名師點金：選擇最佳方案的問題有兩種常用的方法：(1)計算法，通過對所有方案的計算，找出每一種方案所需要的條件，比較得出最好的方案（2）推理法，通過邏輯椎理，分析判斷選出最好方案。【基礎(chǔ)練習(xí)】1看下面的問題：某市今年1月1日起調(diào)整居民用水價格，每立方米水費上漲25小勇家去年12月份的水費為18元，今年5月份的水費為36元已知小勇家去年12月份的用水量比今年5月份的用水量少6立方米，問去年該市居

11、民用水的價格（1）根據(jù)題目中的等量關(guān)系設(shè)出未知數(shù)列出方程；（2）指出此方程是整式方程還是分式方程 2分式方程作為一種新方程，如何求出分式方程的解是一個必須解決的問題因為整式方程的解法已經(jīng)熟悉，你能想出辦法把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，再借助于整式方程求出分式方程的解嗎?比如：，這個方程如何求解？ 3方程有增根，試寫出它的增根 4自從上次賽跑烏龜大勝兔子后，烏龜便成了體育界的名人，又是廣告，又是講演，活動不斷可螞蟻偏偏不服氣，向烏龜下了挑戰(zhàn)書，我們來看：比賽結(jié)束后，螞蟻并沒有取勝已知烏龜每分鐘比螞蟻多跑02米，提前1分鐘跑到，請你算算它們各自的速度答案：1（1）設(shè)去年該市居民用水的價格為x元，則今年該市居民用水的價格為（1+25）x元，則： （2）此方程是分式方程2因為分式方程與整式方程的不同是分母中含有未知數(shù)，所以去掉分式方程的分母是解決問題的關(guān)縫對于本題的方程兩邊同乘(x+1)(x+3)，得3(x+3)5（x1）。解這個方程得：x=2 檢