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1、基于M/M/C/模型擁塞概率的仿真一、M/M/C/模型的建立Erlang B公式將丟失呼叫清除系統(tǒng)的服務(wù)等級(jí)(GOS)定義為任意一個(gè)用戶遇到呼叫擁塞的概率。.Erlang B模型基于以下假定:1) 呼叫請(qǐng)求無記憶,即所有用戶,包括擁塞用戶可以在任何時(shí)間請(qǐng)求分配一個(gè)信道。2) 在所有信道都被占用之前,任何空閑信道都能用來服務(wù)一個(gè)呼叫。3) 用戶占用一個(gè)信道間隔(稱為服務(wù)時(shí)間)的概率是指數(shù)分布。指數(shù)分布中較長時(shí)間的呼叫發(fā)生的概率較小。4) 在中繼資源中可用信道是有限的。5) 業(yè)務(wù)請(qǐng)求是Poisson過程,即呼叫間隔時(shí)間是指數(shù)分布的。6) 呼叫請(qǐng)求到達(dá)時(shí)間間隔彼此獨(dú)立。7) 忙信道數(shù)等于服務(wù)中的用戶
2、數(shù),擁塞概率為: 其中,C是中繼信道數(shù),A是中繼系統(tǒng)的負(fù)荷。Erlang B 公式表示的中繼系統(tǒng)稱為M/M/C/排隊(duì)系統(tǒng)。第一個(gè)M表示呼叫到達(dá)是非記憶Poisson過程,第二個(gè)M表示用戶服務(wù)時(shí)間指數(shù)分布,C表示可用中繼信道數(shù),表示對(duì)同時(shí)服務(wù)用戶數(shù)沒有嚴(yán)格限制。其模型如下圖1所示,用戶到達(dá)的速率為,用戶被服務(wù)的速率為,系統(tǒng)中有C個(gè)信道。ServiceUser C圖1:M/M/C/排隊(duì)模型基于Erlang B的模型根據(jù)丟失呼叫清除設(shè)計(jì),當(dāng)用戶發(fā)起呼叫時(shí)發(fā)現(xiàn)任何一個(gè)信道是空閑的,既可獲得服務(wù),否則被擁塞。Markov鏈的性質(zhì)可以用來導(dǎo)出Erlang公式??紤]一個(gè)離散時(shí)間隨機(jī)過程,從正整數(shù)集中取值,這
3、樣該過程狀態(tài)是。如果該過程從當(dāng)前狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到下一狀態(tài)i1,并只依賴狀態(tài)i而與前面狀態(tài)無關(guān),則該過程稱為Markov鏈。利用離散時(shí)間Markov鏈,我們可以在持定業(yè)務(wù)條件下,在分離觀察點(diǎn)觀察業(yè)務(wù)情況。一個(gè)實(shí)際中繼系統(tǒng)的運(yùn)作在時(shí)間上是連續(xù)的,但可以在小時(shí)間間隔內(nèi)分析,是一個(gè)很小的正數(shù)。如是時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)中的呼叫(占用信道)數(shù)目,可以表示為: 其中,N是一個(gè)離散隨機(jī)過程,表示在離散時(shí)間上被占用信道的數(shù)量。 轉(zhuǎn)移概率為: 讓,可得: Markov鏈的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖由圖2表示。圖2:Erlang B中用Markov鏈狀態(tài)圖表示的轉(zhuǎn)移概率圖2中具有C個(gè)信道的中繼系統(tǒng)可表示為一個(gè)Markov鏈。在該Markov鏈狀
4、態(tài)圖中,假定系統(tǒng)中0個(gè)信道被占用,即無用戶。在一個(gè)小的時(shí)間間隔后,系統(tǒng)繼續(xù)保持0信道占用的概率為。從占用0信道變?yōu)檎加?信道的概率為。另一方面,從占用一個(gè)信道變成占用0信道的概率為。類似的,系統(tǒng)保持為占用1信道狀態(tài)的概率為。所有從一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)出的概率和為1。在一段長時(shí)間后,系統(tǒng)到達(dá)平穩(wěn)狀態(tài),具有n信道占用。在平穩(wěn)狀態(tài),占用n信道的概率與占用n-1信道的概率相等,并且是轉(zhuǎn)移概率的倍數(shù)。這樣在平穩(wěn)狀態(tài)條件下, 對(duì)不同的n值可得:, 利用不同n值對(duì)上面的方程式求值: 且 可得C中繼信道擁塞率為: 總負(fù)荷。代入方程式擁塞率為: 即為Erlang B公式。二、M/M/C模型的仿真此仿真是在MATLAB(R
5、2009b)的平臺(tái)下進(jìn)行的。利用MATLAB仿真呼叫接入信道過程,得出在不同呼叫速率下的擁塞率,然后用畫出仿真得到的擁塞率數(shù)據(jù)和ErlangB公式理論擁塞率曲線進(jìn)行對(duì)比。仿真步驟如下:1) 業(yè)務(wù)請(qǐng)求是Poisson分布,即到達(dá)間隔時(shí)間是指數(shù)分布。程序設(shè)計(jì)產(chǎn)生以為均值的指數(shù)分布的隨機(jī)數(shù),作為一個(gè)服務(wù)的顧客到達(dá)間隔。2) 顧客服務(wù)時(shí)間是指數(shù)分布。程序設(shè)計(jì)產(chǎn)生以為均值的指數(shù)分布的隨機(jī)數(shù),作為一個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間。3) 以0為起點(diǎn),由顧客的到達(dá)間隔可以求出到達(dá)時(shí)刻arrive,從而進(jìn)一步求出顧客離開時(shí)刻leave。4) 檢查是否有空閑信道,若有則接入并占用信道,若無則擁塞5) 統(tǒng)計(jì)總共被擁塞掉的顧客數(shù),
6、并除以到達(dá)的顧客數(shù),即為擁塞率。6) 增大呼叫到達(dá)率,轉(zhuǎn)至步驟1)三、仿真結(jié)果仿真參數(shù):信道數(shù)為20,平均服務(wù)時(shí)間為20分鐘,用戶數(shù)為2000,總共進(jìn)行了1000次仿真,呼叫到達(dá)率lamda從0開始每次增加0.01。擁塞概率曲線和理論擁塞概率曲線如下圖所示: 圖3:呼叫過程擁塞概率曲線四、結(jié)果分析從圖3中可以看出,仿真曲線和理論曲線整體趨勢(shì)基本吻合。所以所建立的模型是正確的。同時(shí)隨著用戶到達(dá)率的增加,而用戶的服務(wù)率不變和信道的總數(shù)不變的情況下,呼叫的擁塞率逐漸增加,并且逐漸趨于平穩(wěn)。附程序%M/M/C模型的呼叫過程阻塞概率的仿真clcN = 2000; %用戶數(shù)H = 30; %平均服務(wù)時(shí)間為
7、30分,平均服務(wù)時(shí)間 lamda = 0; %泊松到達(dá)過程的參數(shù),到達(dá)速率mu = 1/H; %指數(shù)分布的參數(shù)C = 30; %信道數(shù)for i = 1 : 1 : C %channel記錄接入的呼叫的離開時(shí)間 leave(i) = 0;end%以話務(wù)量為變量進(jìn)行呼叫過程阻塞概率的仿真%LOSS(1) = 0;for k = 1:N; lamda = lamda+0.01; for i = 1 : 1: C leave(i) = 0; endn=0; %被阻塞的用戶數(shù)%產(chǎn)生服從Poisson到達(dá)過程的用戶到達(dá)時(shí)間 U1 = rand(N,1); %產(chǎn)生N個(gè)均勻分布的隨機(jī)數(shù) temp = 0;
8、for i = 1:1:N arrive(i) = temp - log(U1(i)/lamda; temp = arrive(i); end%產(chǎn)生服從指數(shù)分布的用戶服務(wù)時(shí)間 U2 = rand(N,1); for i = 1:1:N service(i) = -log(U2(i)/mu; end%產(chǎn)生用戶離開時(shí)間 for i = 1:1:N depart(i) = arrive(i)+service(i); end%計(jì)算阻塞概率 for i = 1 : 1 : N flag = 0; %標(biāo)志信道是否被阻塞 for j = 1 : 1 : C if leave(j) arrive(i) % 若
9、果第i個(gè)用戶到達(dá)的時(shí)間小于某一個(gè)用戶在j個(gè)信道中離開的時(shí)間,則說明該信道空閑,可接入第i個(gè)用戶。 leave(j) = depart(i);%則此時(shí)第j個(gè)信道中用戶的離開時(shí)間記為depart(i)。 flag = 1; break; end end if flag = 0 % 阻塞 n = n + 1; end end LOSS(k) = n / N;endlamda_temp = 0.01 : 0.01 : N*0.01; A = lamda_temp * H;%呼叫強(qiáng)度*保持時(shí)間=業(yè)務(wù)量plot(A,LOSS,g);%繪制呼損率的圖形hold on;%計(jì)算阻塞概率的理論值A(chǔ) = lamda_temp * H;for j = 1 : length(A) sum=0.0; for i=1:1:C temp = (A(j)i) /factorial(i); sum = sum +
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