大學物理習題答案第八章

1、    習題解答8-2 在一個容器內盛有理想氣體，而容器的兩側分別與沸水和冰相接觸(熱接觸)。顯然，當沸水和冰的溫度都保持不變時，容器內理想氣體的狀態(tài)也不隨時間變化。問這時容器內理想氣體的狀態(tài)是否是平衡態(tài)？為什么？解 不是平衡態(tài)，因為平衡態(tài)的條件有二：一是系統(tǒng)的宏觀性質不隨時間變化，二是沒有外界的影響和作用。題目所說的情況不滿足第二條。8-3 氧氣瓶的容積是32 dm3 ，壓強為130 atm，規(guī)定瓶內氧氣的壓強降至10 atm時，應停止使用并必須充氣，以免混入其他氣體。今有一病房每天需用1.0 atm的氧氣400 dm3 ，問一瓶氧氣可用幾天？解 當壓

2、強為 、體積為 時，瓶內氧氣的質量M1為 .當壓強降至 、體積仍為 時，瓶內氧氣的質量M2為.病房每天用壓強為 、體積為 的氧氣質量Dm為.以瓶氧氣可用n天： .8-4 在一個容積為10 dm3 的容器中貯有氫氣，當溫度為7時，壓強為50 atm。由于容器漏氣，當溫度升至17時，壓強仍為50 atm，求漏掉氫氣的質量。解 漏氣前氫氣的質量為M1 , 壓強為 , 體積為 , 溫度為 ，于是M1可以表示為.漏氣后氫氣的質量為M2, 壓強為 , 體積為 , 溫度為 , 于是M2可以表示為.所以漏掉氫氣的質量為 .計算中用到了氫氣的摩爾質量 。8-5 氣缸中盛有可視為理想

3、氣體的某種氣體，當溫度為T1 = 200 K時，壓強和摩爾體積分別為p1 和Vm1 。如果將氣缸加熱，使系統(tǒng)中氣體的壓強和體積同時增大，在此過程中，氣體的壓強p和摩爾體積Vm滿足關系p = aVm，其中a為常量。(1)求常量a；(2)當摩爾體積增大到2Vm1 時，求系統(tǒng)的溫度。解 (1)  1 mol理想氣體的物態(tài)方程可以表示為,當溫度為T1 (= 200 K)、壓強為p1 和摩爾體積為Vm1時，上式應寫為 .  (1)升溫過程滿足,在溫度為T1 時，上式應寫為,  (2)將式(2)代入式(1)，得 . (3)由上式可以解得或 .(2

4、)根據式(3)可以得到,取 ，代入上式，得, (4)將式(4)與式(3)聯(lián)立，可以求得.8-8 證明式(8-9)。解 的平均值 定義為 .在以下的證明中用到上面的關系。下面的關系顯然是成立的：,.將以上N個式子相加并除以粒子總數N，得,即 .證畢。8-9 容器內貯有氧氣，如果壓強為1.0 atm，溫度為27，求：(1)單位體積內的分子數n；(2)分子間的平均距離 ；(3)容器中氧氣的密度r；(4)分子的平均平動動能 。解 (1)單位體積內的分子數n .(2)分子間的平均距離.(3)容器中氧氣的密度r.(4)分子的平均平動動能 .8-10 容器內盛有1.50 mol

5、氮氣，其分子熱運動動能的總和為9.63´103 J，求容器內氮氣的溫度。解 設系統(tǒng)內氣體的溫度為T，分子熱運動動能的總和，就是3個平動、2個轉動和1個振動自由度上平均動能之和，即,所以.8-11 在一個容積為10.0 dm3 的密封容器內盛有50.0 g氬氣，溫度為180，容器以200 m×s-1 的速率作勻速直線運動，如果容器突然停止，分子定向運動的動能全部轉化為熱運動動能。問當系統(tǒng)達到平衡態(tài)時，容器內氬氣的溫度和壓強各增大多少？解 整體作定向運動的動能，就是全部氬分子共同作定向運動的動能：.全部轉變?yōu)闅宸肿訜徇\動動能，氣體的溫度將升高DT，于是.氬分子是單原子分子，只有

6、3個平動自由度，即i = 3 。代入上式就可以求得DT.根據物態(tài)方程,可得.由上式可解得系統(tǒng)壓強的增加Dp .8-12 分別計算在300 K時1.00 mol氫氣和1.00 mol氦氣的內能。解 1.00 mol氣體的內能可以表示為.氫氣是雙原子分子氣體，理論上有6個自由度(t = 3, r =2, s = 1)，內能為.而實驗表明在室溫下氫分子的振動自由度不被激發(fā)，所以內能應為.氦氣分子是單原子分子，i = t = 3, r = 0, s = 0, 代入內能表達式，得.8-13 將10 g氧氣(看作理想氣體)從20加熱到50，內能增大多少？解 氧氣分子是雙原子分子，t = 3, r

7、 = 2, s = 1, 內能的增加為.8-14 某種三原子分子氣體被看作理想氣體，試寫出分子平均平動動能、平均轉動動能和平均振動動能的表達式。解 對于三原子分子，平動自由度t = 3，轉動自由度r = 3，振動自由度s = 3。分子的平均平動動能為,分子的平均轉動動能為,分子的平均振動動能為.8-16 說明以下各式的物理意義： ； ； ； ； ； 。解 (1)  表示在dv范圍內的分子數占分子總數N的比率；(2)  = dN 表示在dv范圍內的分子數；(3)  表示在v1 v2 速率間隔內的分子數占分子總數N的比率；(4)  表示在v1 v2 速率間隔

8、內的分子數；(5)  表示在v1 v2 速率間隔內的分子對平均速率的貢獻；(6)  表示在v1 v2 速率間隔內分子對速率平方平均值的貢獻。8-17 求溫度為300 K時氧分子的最概然速率、平均速率和方均根速率，并分別闡明這三種速率的物理意義。解 最概然速率 ,表示系統(tǒng)中在此值附近的速率間隔內的分子所占比率為最大。平均速率,表示系統(tǒng)中分子速率的平均值。方均根速率,表示系統(tǒng)中分子速率平方的平均值的大小。8-18 求速率處于vp與1.01vp之間的氣體分子數占總分子數的百分比。解 速率分布函數可以具體寫為.將 、 和 代入上式，得,并且.由上式得,所以. (1)當 、

9、 時，,將以上兩式代入式(1)，得.8-19 求在標準狀態(tài)下1.00 cm3 氮氣中速率在500 m×s-1 到501 m×s-1 之間的分子數(可將dv近似地取為1 m×s-1 )。解 先求在0時1.00 cm3 中氮氣氮氣的分子數N：.將 , , 以及 代入上式，得8-20 系統(tǒng)中總共有N個分子，分別求速率高于最概然速率和低于最概然速率的分子數占總分子數的百分數。解 根據題8-18的結果,其中 ,  .分子速率低于最概然速率vp ，對應于 ，所以，速率低于最概然速率的分子數占總分子數的比率可以表示為.為求解上式，令 , ，代入上式，得.上式

10、可用分部積分法求解，為此令 , , 則上式變?yōu)?查表得,于是得.即速率低于最概然速率的分子數占總分子數的比率為42.8%，而速率高于最概然速率的分子數占總分子數的比率為1 - 42.8% = 57.2% 。8-21 已知氧的范德瓦耳斯常量b = 31.83´10-6 m3 ×mol-1 ，試估計氧分子的半徑。解 我們已經知道范德瓦耳斯常量b大約等于1 mol氣體分子自身體積總和的4倍，所以.由上式可以解得氧分子的直徑，為.8-22 二氧化碳和氫的范德瓦耳斯常量a分別為3.59´10-6 atm×m6×mol-2 和0.244´10-6

11、 atm×m6×mol-2，求體積為22.4 dm3 的兩種氣體的內壓強pi。解 22.4 dm3正好是在標準狀態(tài)下的摩爾體積，氣體的內壓強應表示為.對于二氧化碳： .對于氫：.8-23 已知氧的范德瓦耳斯常量a = 1.36´10-6 atm×m6×mol-2，b = 31.8 ´ 10-6 m3 ×mol-1 ，求(1)壓強為100 atm、密度為100 g×dm-3 的氧氣系統(tǒng)的溫度；(2)氧的臨界壓強pK 和臨界溫度TK 。解 (1)范德瓦爾斯方程為,用體積V除以上式，得,其中 是氣體的密度，為已

12、知量，代入上式得.由上式解出T，得.(2)范德瓦爾斯常量可以表示為, (1). (2)由式(2)得 , (3)將式(3)代入式(1)，得.由上式可以解得臨界溫度.將TK的表達式代入式(3)，得.8-24 一定量的理想氣體，分別在體積不變和壓強不變的條件下升溫，分子的碰撞頻率和平均自由程將怎樣變化？解 當體積不變時：,由上式可見，在N和V一定的情況下， ，碰撞頻率隨溫度上升而增大。平均自由程可以表示為,可見，在N和V一定的情況下，平均自由程與溫度無關。當壓強不變時：,上式表明，在壓強不變的情況下， ，碰撞頻率隨溫度上升而減小。 平均自由程可以表示為,所以，在壓強不變時， ，平均自由程隨

13、溫度上升而增大。8-25 設氮分子的有效直徑為3.8´10-10 m，求：(1)在標準狀態(tài)下的碰撞頻率和平均自由程；(2)在溫度不變而壓強降為2.0´10-4 Pa時，碰撞頻率和平均自由程。解 (1)標準狀態(tài) 、 ，代入碰撞頻率和平均自由程的表達式，分別得到,.(2)將 、 代入以上兩式，可以分別求得 ,.也可以這樣來處理：,即.將已知各量代入上式，可以求得 。對于平均自由程也可以作同樣的處理，即,所以.8-26 當溫度為27時，電子管內的真空度為1.0´10-5 mmHg，殘余氣體分子的有效直徑為3.0´10-10 m，求：(1)單位體積中的

14、分子數；(2)平均自由程和碰撞頻率。解 (1)單位體積中的分子數.(2)平均自由程.碰撞頻率為.8-28 由實驗測得在標準狀態(tài)下氦氣的黏度為h = 1.89´10-5Pa×s，求：(1)平均自由程度；(2)氦原子的有效直徑。解 (1)根據公式,只要求出其中的 和 ，代入上式就可以算出平均自由程。,.所以.(2)氦原子的有效直徑：根據,可以求得氦原子的有效直徑為.8-29 已知氦和氬的原子量分別為4.00和39.95，它們在標準狀態(tài)下的黏度分別為hHe =1.89´10-5Pa×s和hAr =2.10´10-5Pa×s，求：(1)氦和氬

15、的熱導率之比 k(He)/k(Ar)；(2)氦和氬的擴散系數之比 D(He)/D(Ar)。解 (1)因為,所以.式中 是比熱， 是摩爾熱容，m是摩爾質量，它們之間有如下關系.He和Ar都是單原子氣體，所以.故有.(2)擴散系數可以表示為.于是有.8-33 組成晶體的原子之間的相互作用勢能u(r)可以用式(8-66)表示，并可以描繪成圖8-24所示的圖線，試證明此式中m > n，并說明此結果的物理涵義。解 題目要求證明在下式(1)中，。由書中圖8-24(a)可以看到，u (r)存在極小值，此極小值對應于 。也就是說在 處滿足下面兩個關系：, (2).  (3)將式(1)代入式(2

16、)，得,由此解得.(4)由式(3)得,可化為.將式(4)代入上式，得,即.要求上式左邊大于零，就必須有 .這表明，隨原子間距的增大，斥力勢要比引力勢衰減的更快，也就是說斥力作用與引力作用相比更具有短程性。8-36 在深為h = 2.0 m的水池底部有一個直徑為d = 5.0´10-5 m的氣泡，當它等溫上升到接近水面時,直徑變?yōu)槎啻螅恳阎谋砻鎻埩ο禂祍 = 7.3´10-2 N×m-1 。解 設水泡到達水面時的半徑為R1，在等溫的情況下，應滿足,或 .式中p1、V1分別是氣泡在池底時的內部的壓強和體積，p2、V2分別是氣泡接近水面時的內部的

17、壓強和體積。于是可以列出下面的方程式,簡化為.由上式可以解出氣泡接近水面時的直徑，為.8-37 當把毛細管插入水杯時，毛細管中的水面要上升。若對于某一直徑的毛細管，水面上升的高度為h，問當毛細管本身高出杯中水面的高度小于h時，水是否會從毛細管中溢出？為什么？解 不會溢出，因為此時水在毛細管上端雖然仍形成凹球面，不過其曲率半徑比原來毛細管本身高出杯中水面的高度大于h時的曲率半徑要大一些，因而所產生的附加壓強比原來要小一些，只能使水達到毛細管的上端。圖8-78-38 如圖8-7所示，在半徑為r = 3.0´10-4 m的毛細管中注水，一部分水在管的下部形成一水柱，水柱的下端面的形狀可以認為是半徑為R = 3.0´10-3 m的球面的一部分。求管中水柱的高度h。已知水的表面張力系數s = 7.3´10-2 N×m-1 。解 水柱不會落下來，是由于水柱上、下兩端形成兩個球面，從而產生了附加壓強的緣故。水柱下端面施于水柱向上的力FA與水柱上端面施于水柱向下的力FB和水柱自身重量mg相平衡，即, (1)式中的每一項都包含毛細管截面積這個因子，可以約去，于是式(1)變成下面的形式,  (2