華師大版一元二次方程的解法

1、一元二次方程的解法 【學習目標】1理解配方法的意義，會用直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法解簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程2理解一元二次方程解法的基本思想及其與一元一次方程的聯(lián)系，體會兩者之間相互比較和轉(zhuǎn)化的思想方法3會根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出一元二次方程并求解，能根據(jù)問題的實際意義，檢驗所得的結(jié)果是否合理 【基礎知識精講】1一元二次方程的解法(1)直接開平方法：根據(jù)平方根的意義，用此法可解出形如(a0)，(b0)類的一元二次方程，則；，對有些一元二次方程，本身不是上述兩種形式，但可以化為或的形式，也可以用此法解(2)因式分解法：當一元二次方程的一邊為零，而另一邊易

2、分解成兩個一次因式的積時，就可用此法來解要清楚使乘積ab0的條件是a0或b0，使方程x(x3)0的條件是x0或x30x的兩個值都可以使方程成立，所以方程x(x3)0有兩個根，而不是一個根(3)配方法：任何一個形如的二次式，都可以通過加一次項系數(shù)一半的平方的方法配成一個二項式的完全平方，把方程歸結(jié)為能用直接開平方法來解的方程如解時，可把方程化為，即，從而得解注意：(1)“方程兩邊各加上一次項系數(shù)一半平方”的前提是方程的二次項系數(shù)是1(2)解一元二次方程時，一般不用此法，掌握這種配方法是重點(3)公式法：一元二次方程(a0)的根是由方程的系數(shù)a、b、c確定的在的前提下，用公式法解一元二次方程的一般

3、步驟：先把方程化為一般形式，即(a0)的形式；正確地確定方程各項的系數(shù)a、b、c的值(要注意它們的符號)； 計算時，方程沒有實數(shù)根，就不必解了(因負數(shù)開平方無意義)；將a、b、c的值代入求根公式，求出方程的兩個根說明：象直接開平方法、因式分解法只是適宜于特殊形式的方程，而公式法則是最普遍，最適用的方法解題時要根據(jù)方程的特征靈活選用方法2一元二次方程根的判別式一元二次方程的根有三種情況：有兩個不相等的實數(shù)根；有兩個相等的實數(shù)根；沒有實數(shù)根而根的情況，由的值來確定因此叫做一元二次方程的根的判別式>0方程有兩個不相等的實數(shù)根0方程有兩個相等的實數(shù)根<0方程沒有實數(shù)根判別式的應用(1)不解

4、方程判定方程根的情況；(2)根據(jù)參數(shù)系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；(3)解與根有關(guān)的證明題3韋達定理及其應用定理：如果方程(a0)的兩個根是，那么當a1時，應用：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；(2)已知方程，求含有兩根對稱式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知系數(shù)；(3)已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程；(4)已知兩數(shù)和與積求兩數(shù)4一元二次方程的應用(1)面積問題；(2)數(shù)字問題；(3)平均增長率問題步驟：分析題意，找到題中未知數(shù)和題給條件的相等關(guān)系(包括隱含的)；設未知數(shù)，并用所設的未知數(shù)的代數(shù)式表示其余的未知數(shù)；找出相等關(guān)系，并用它列出方程；解方程求出題中未知數(shù)的值

5、；檢驗所求的答數(shù)是否符合題意，并做答這里關(guān)鍵性的步驟是和注意：列一元二次方程應用題是一元一次方程解應用題的拓展，解題的方法是相同的，但因一元二次方程有兩解，要檢驗方程的解是否符合題意及實際問題的意義 【經(jīng)典例題精講】例1 解方程分析：解一元二次方程的方法有四種，而此題用直接開平方法較好解：，x±5 例2 解方程分析：如果把x3看作一個字母y，就變成解方程了解：， 例3 解方程分析：解此題雖然可用因式分解法、公式法來解，但還是用直接開平方法較好解：整理，注意：對可用直接開平方法來解的一元二次方程，一定注意方程有兩個解；若，則；若，則 例4 解方程

6、分析：此題不能用直接開平方法來解，可用因式分解法或用公式法來解解法一：，(x2)(x1)0，x20，x10，解法二：a1，b3，c2，注意：用公式法解方程時，要正確地確定方程各項的系數(shù)a、b、c的值，先計算“”的值，若<0，則方程無解，就不必解了 例5 解關(guān)于x的方程分析：先將原方程加以整理，化成一元二次方程的一般形式，注意此方程為關(guān)于x的方程，即x為未知數(shù)，m，n為已知數(shù)在確定的情況下，利用公式法求解解：把原方程左邊展開，整理，得a1，b3m，注意：解字母系數(shù)的一元二次方程與解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程一樣，都要先把方程化為一般形式，確定a、b、c和的值，然后求解但解字母系數(shù)方程

7、時要注意：(1)哪個字母代表未知數(shù)，也就是關(guān)于哪個未知數(shù)的方程；(2)不要把一元二次方程一般形式中的a、b、c與方程中字母系數(shù)的a、b、c相混淆；(3)在開平方時，可能會出現(xiàn)兩種情況，但根號前有正負號，已包括了這兩種可能，因此， 例6 用配方法解方程分析：解一元二次方程雖然一般不采用配方法來解，但配方法的方法本身重要，要記住解：，注意：用配方法解一元二次方程，要把二次項系數(shù)化為1，方程左邊只有二次項，一次項，右邊為常數(shù)項，然后方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，左邊就配成了一個二項式的完全平方 例7 不解方程，判別下列方程的根的情況：(1)；(2)；(3)分析：要判定上述方

8、程的根的情況，只要看根的判別式的值的符號就可以了解：(1)a2，b3，c4，方程有兩個不相等的實數(shù)根(2)a16，b24，c9，方程有兩個相等的實數(shù)解(3)將方程化為一般形式，a4，b7，c5，4910051<0方程無實數(shù)解注意：對有些方程要先將其整理成一般形式，再正確確定a、b、c的符號 例8 已知方程的一個根是2，求另一根及k的值分析：根據(jù)韋達定理易得另一根和k的值再是根據(jù)方程解的意義可知x2時方程成立，即把x2代入原方程，先求出k值，再求出方程的另一根但方法不如第一種解：設另一根為，則，k7即方程的另一根為，k的值為7注意：一元二次方程的兩根之和為，兩根之積為 

9、例9 利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程兩根的(1)平方和；(2)倒數(shù)和分析：已知要求(1)，(2)，關(guān)鍵是把、轉(zhuǎn)化為含有的式子因為兩數(shù)和的平方，等于兩數(shù)的平方和加上這兩數(shù)積的2倍，即，所以，由此可求出(1)同樣，可用兩數(shù)和與積表示兩數(shù)的倒數(shù)和解：(1)，；(2)3注意：利用兩根的和與積可求兩根的平方和、倒數(shù)和，其關(guān)鍵是把平方和、倒數(shù)和變成兩根的和與積，其變形的方法主要運用乘法公式 例10 已知方程的兩根平方和是34，求m的值分析：已知，求m就要在上面三個式子中設法用來表示，m便可求出解：設方程的兩根為，則，30，m30注意：解此題的關(guān)鍵是把式子變成含的式子，從而求得m的值 

10、;例11 求一個一元二次方程，使它的兩個根是2、10分析：因為任何一元二次方程都可化為(二次項系數(shù)為1)的形式如設其根為，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得將p、q的值代入方程中，即得所求方程解：設所求的方程為210p，2×10q，p12，q20所求的方程為注意：以為根的一元二次方程不止一個，但一般只寫出比較簡單的一個 例12 已知兩個數(shù)的和等于8，積等于9，求這兩個數(shù)分析：把這兩個數(shù)看作某個二次項系數(shù)為1的一元二次方程的兩個根，則這個方程的一次項系數(shù)就應該是8，常數(shù)項應該是9，有了這個方程，再求出它的根，即是這兩個數(shù)解：設這兩個數(shù)為，以這兩個數(shù)為根的一元二次方程為，方程為解這個方程得

11、，這兩個數(shù)為 例13 如圖22-2-1，在長為32m，寬為20m的長方形地面上，修筑兩條同樣寬而且互相垂直的道路，余下的部分作為綠化用草地，要使草地的面積為，那么道路的寬度應是多少？分析：設道路的寬度為x m，則兩條道路的面積和為題中的等量關(guān)系為：草地面積道路面積長方形面積解：設道路的寬度為x m，則，(x2)(x50)0，x20，x500，x50不合題意，取x2答：道路的寬度為2m注意：兩條道路重合了一部分，重合的面積為因此計算兩條道路的面積和時應減去重合面積 例14 某鋼鐵廠去年1月份鋼的產(chǎn)量為5000噸，3月份上升到7200噸，求這兩個月平均每月增長的百分率是多少？分

12、析：設平均每月增長的百分率為x，則增長一次后的產(chǎn)量為5000(1x)，增長兩次后的產(chǎn)量是，增長n次后的產(chǎn)量b是這就是重要的增長率公式解：設平均每月增長的百分率為x則，(不合題意，舍去)答：平均每月增長的百分率是20%注意：解方程時，由1x的值求x，并舍去負值 【中考考點】一元二次方程是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，因此，它是歷年來各地中考的必考內(nèi)容可單獨命題，也常與函數(shù)、四邊形、圓等知識點綜合在一起考查例15 (2003·濟南市)已知方程組的兩個解為，且是兩個不相等的實數(shù)，若，(1)求a的值；(2)不解方程組判斷方程組的兩個解能否都為正數(shù)，為什么？分析：是方程組中x的兩個解，故應首先

13、消去y，得到關(guān)于x的方程再根據(jù)根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系可得解解：(1)由得yx1，代入整理，得方程有兩個不相等的實數(shù)根，又，代入，得整理，得解得而，(2)，且，存在方程組的兩個解都是正數(shù)注意：數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想，本題就是將方程組的問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的問題 例16 (2003·深圳)已知一元二次方程有兩個實數(shù)根，直線l經(jīng)過點A(，0)，B(0，)，則直線l的解析式為( )Ay2x3By2x3Cy2x3Dy2x3分析：本題重點考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及用待定系數(shù)法求直線的解析式，先求與的值，再求直線解析式解：，B(0，3)將A、B代入ykxb中，得， 直線l的解析式為

14、y2x3故選A 【常見錯誤分析】例17 已知關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)根，則m的取值范圍是_錯解：要使方程有兩個實數(shù)根0，4m10，m的取值范圍是誤區(qū)分析：要保證方程為一元二次方程，即要考慮二次項系數(shù)m0，而上述解法只考慮0，而忽視了m0正解：要使方程有兩個實數(shù)根，需滿足，4m10，m的取值范圍是，且m0 例18 如果方程的兩個根和2和3，求p，q錯解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系2(3)p，2×(3)q，故p1，q6誤區(qū)分析：若方程的兩根為，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，而題中2(3)應為(p)，因題中的b為p，b就為(p)錯解原因是將兩根之和等于b了正解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系2(3)(

15、p)，2×(3)q，p1，q6 【學習方法指導】本節(jié)知識是初中數(shù)學的重要內(nèi)容，也是以后進一步學習和研究函數(shù)及四邊形、圓的基礎，要熟練掌握好要重視一元二次方程四種解法的探索過程其中的配方法雖然在解方程中很少直接用，但配方、比較、轉(zhuǎn)化等思想方法，及其所滲透的思維多向性都有助于我們思維能力的培養(yǎng)，不能因為解方程很少用而忽視它 【規(guī)律總結(jié)】1一元二次方程的解法(1)直接開平方法：根據(jù)平方根的意義，用此法可解出形如(a0)，(b0)類的一元二次方程，則；，對有些一元二次方程，本身不是上述兩種形式，但可以化為或的形式，也可以用此法解(2)因式分解法：當一元二次方程的一邊為零，

16、而另一邊易分解成兩個一次因式的積時，就可用此法來解要清楚使乘積ab0的條件是a0或b0，使方程x(x3)0的條件是x0或x30x的兩個值都可以使方程成立，所以方程x(x3)0有兩個根，而不是一個根(3)配方法：任何一個形如的二次式，都可以通過加一次項系數(shù)一半的平方的方法配成一個二項式的完全平方，把方程歸結(jié)為能用直接開平方法來解的方程如解時，可把方程化為，即，從而得解注意：(1)“方程兩邊各加上一次項系數(shù)一半平方”的前提是方程的二次項系數(shù)是1(2)解一元二次方程時，一般不用此法，掌握這種配方法是重點(3)公式法：一元二次方程(a0)的根是由方程的系數(shù)a、b、c確定的在的前提下，用公式法解一元二次

17、方程的一般步驟：先把方程化為一般形式，即(a0)的形式；正確地確定方程各項的系數(shù)a、b、c的值(要注意它們的符號)； 計算時，方程沒有實數(shù)根，就不必解了(因負數(shù)開平方無意義)；將a、b、c的值代入求根公式，求出方程的兩個根說明：象直接開平方法、因式分解法只是適宜于特殊形式的方程，而公式法則是最普遍，最適用的方法解題時要根據(jù)方程的特征靈活選用方法2一元二次方程根的判別式一元二次方程的根有三種情況：有兩個不相等的實數(shù)根；有兩個相等的實數(shù)根；沒有實數(shù)根而根的情況，由的值來確定因此叫做一元二次方程的根的判別式>0方程有兩個不相等的實數(shù)根0方程有兩個相等的實數(shù)根<0方程沒有實數(shù)根判別式的應用

18、(1)不解方程判定方程根的情況；(2)根據(jù)參數(shù)系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；(3)解與根有關(guān)的證明題3韋達定理及其應用定理：如果方程(a0)的兩個根是，那么當a1時，應用：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；(2)已知方程，求含有兩根對稱式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知系數(shù)；(3)已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程；(4)已知兩數(shù)和與積求兩數(shù)4一元二次方程的應用(1)面積問題；(2)數(shù)字問題；(3)平均增長率問題步驟：分析題意，找到題中未知數(shù)和題給條件的相等關(guān)系(包括隱含的)；設未知數(shù)，并用所設的未知數(shù)的代數(shù)式表示其余的未知數(shù)；找出相等關(guān)系，并用它列出方程；解方程求出題中

19、未知數(shù)的值；檢驗所求的答數(shù)是否符合題意，并做答這里關(guān)鍵性的步驟是和注意：列一元二次方程應用題是一元一次方程解應用題的拓展，解題的方法是相同的，但因一元二次方程有兩解，要檢驗方程的解是否符合題意及實際問題的意義 【同步達綱練習】一、填空題1方程的解是_2已知方程的一個根是2，那么a的值是_，方程的另一根是_3如果互為相反數(shù)，則x的值為_4已知5和2分別是方程的兩個根，則mn的值是_5方程的根的判別式_，它的根的情況是_6已知方程的判別式的值是16，則m_7方程有兩個相等的實數(shù)根，則k_8如果關(guān)于x的方程沒有實數(shù)根，則c的取值范圍是_9長方形的長比寬多2cm，面積為，則它的周長是_10某

20、小商店今年一月營業(yè)額為5000元，三月份上升到7200元，平均每月增長的百分率為_ 二、選擇題11方程的解是( )Ax±1Bx0CDx112關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是( )Ak>9Bk<9Ck9，且k0Dk<9，且k013把方程化成的形式得( )ABCD14用下列哪種方法解方程比較簡便( )A直接開平方法B配方法C公式法D因式分解法15已知方程(xy)(1xy)60，那么xy的值是( )A2B3C2或3D3或216下列關(guān)于x的方程中，沒有實數(shù)根的是( )ABCD17已知方程的兩根之和為4，兩根之積為3，則p和q的值為( )Ap8，q6Bp4，q3Cp3，q4Dp8，q618若是方程的一個根，則另一根和k的值為( )A，k6B，k6C，k6D，k619兩根均為負數(shù)的一元二次方程是( )ABCD20以3和2為根的一元二次方程是( )ABCD  三、解答題21用適當?shù)姆椒ń怅P(guān)于x的方程(1)；   (2)；  &#