全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試

1、2005年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題二此題總分值50分如圖，在 ABC中，設(shè)ABAC，過A作厶ABC的外接圓的切線I，又以A為圓心，AC為半徑作圓分別交線段AB于D ;交直線1于E、F。證明：直線DE、DF分別通過厶ABC的內(nèi)心與一個旁心。注：與三角形的一邊及另兩邊的延長線均相切的圓稱為三角形的旁切圓，旁切圓的圓心稱為 旁心。此題總分值50分設(shè)正數(shù) a、b、c、x、y、z滿足cybz a, az ex b;bxay c.2 x 求函數(shù)f (x, y,z)1 x-的最小值.z三、此題總分值50分對每個正整數(shù)n,定義函數(shù)f(n)當n為平方數(shù),1 - 1當n不為平方數(shù)、n240其中x表示不超過x的最大整數(shù)

2、，x x x.試求： fk的值.k 12005年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題二參考答案此題總分值50分如圖，在 ABC中，設(shè)ABAC，過A作厶ABC的外接圓的切線I，又以A為圓心，AC為半徑作圓分別交線段 AB于D ;交直線I于E、F。證明：直線DE、DF分別通過厶ABC的內(nèi)心與一個旁心。注：與三角形的一邊及另兩邊的延長線均相切的圓稱為三角形的旁切圓，旁切圓的圓心稱為 旁心。證明：1先證DE過厶ABC的內(nèi)心。如圖，連 DE、DC,作/ BAC的平分線分別交 DC于G、DE于I，連IC,那么由AD=AC , 得，AG 丄 DC , ID=IC.又D、C、E在O A上，1/ IAC= / DAC= / I

3、EC,. A、I、C、E 四點共圓，2/ CIE= / CAE= / ABC，而/ CIE=2 / ICD ,1./ ICD= / ABC.211AIC= / IGC+ / ICG=90 + / ABC ,/ ACI=/ ACB , I ABC 的內(nèi)心。2 22再證DF過厶ABC的一個旁心.連FD并延長交/ ABC的外角平分線于11,連111、B 11、B I，由1知，I為內(nèi)心，/ IBI 1=90 =/EDI1 , D、B、11、I 四點共圓，/ BI I1 = / BDI 1=90 -Z ADI 111=Z BAC+ Z ADG -Z ADI= Z BAC+ Z IDG , A、I、I1

4、共線22I1是厶ABC的BC邊外的旁心此題總分值50分設(shè)正數(shù) a、b、c、x、y、z滿足cybza, az cx b; bx ay c.的最小值.求函數(shù)f(x, y,z)解：由條件得,b(az cx b)c(bx ay c) a(cy bz a)即 2bcxa2b2c20，b2x2c2bc2，同理，得y2 2 . 2a c b,z2ac2 . 2 2a b c2aba、 b、c、x、y、z為正數(shù)，據(jù)以上三式知,b2c2a2, a2c2 b2,a2 b2 c2，故以a、b、c為邊長，可構(gòu)成一個銳角三角形ABC，cos A, y cos B, zcosC，問題轉(zhuǎn)化為:在銳角ABC 中,求函數(shù)f (

5、cos A、cosB、2 Acos AcosC)=1 cos Acos2 B1 cosBcos C的取小值.cosCcot A, vcot B,wcotC,那么 u,v,wR ,uvvwwu1,且u21 (u2v)(u w), v 1 (u v)(vw), w2(uw)(v w).2 Acos A1cos A2uu21uu21.u22u1( u21 u)u2( . u21 u)lu2 1同理,2cos1cosBv2w2+ (v2vww2)(u2c, x3uu2(u v)(u w)3v-(),2 cos1 cosC2 (uuw w2)w),丄).v wv w1 (uv212vw3w)wuw)v2

6、w2如2uv v2)取等號當且僅當此時,三、此題總分值50分對每個正整數(shù)n,定義函數(shù)fn0當n為平方數(shù)240其中X表示不超過x的最大整數(shù)，x x X.試求： f k的值.* 2 2 2 解：對任意 a,k N，假設(shè) k a (k 1)，那么 1 a k 2k,設(shè).a k ,01,那么1a1. a k2k2ka k a k2a k2a k22k務(wù)2 2 1讓a跑遍區(qū)間(k2,(k 1)2)中的所有整數(shù)，貝Uk2 a (k 1)2 ai 1(n 1)2n 2kF是f(a)當a 1i 1 i 1 i2k 2kF面計算,畫一張2k 2k的表，第i行中，但凡i行中的位數(shù)處填寫“ * 號，那么這行的i 1

7、 i2k“* 號共竺個，全表的“i2k 2k* 號共個；另一方面，按列收集i 1 i*號數(shù)，第j列中，假設(shè)j有T (j)個正因數(shù)，那么該列使有T (j)個“*號，故全表的“ *號個數(shù)共2k2kT(j)個，因此2k=i2kT(j).j 1i 1j 1T(2 n 1) T(2 n)nn 2k那么 f(a)T(j) n T(1) T(2) (n 1)T (3) T(4)i 1i 1 j 115256由此,f (k)k 1(16 k)T(2k 1) T(k)k 1記ak T(2k 1) T(2k), k 1,2,15,易得ak的取值情況如下:k123456789101112131415ak356678

8、6988810710101615因此,f(k)(16 k)akk 1783據(jù)定義f (256)2f(16 )0 ,又當k241,242,255,設(shè)k152 *(16 r 30),15215,15r2 r 15r31r152 r 15r30，1 30r31 .152 r那么1,k241,242,2 ,255240從那么i 1f(k) 783256f(k)i 1783 15768.2005年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試第2題的探討本文對2005年的全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試第2題的解法及來歷作以探討，供感興趣的讀者參考。題目：設(shè)正數(shù) a、b、c、x、y、z 滿足 cy bz a ； az cx b; bx ay

9、 c，求函數(shù)2 2 2f(x, y,z) - y的最小值。1 x 1 y 1 z一幾種迷茫思路的分析這道題目初看起來比擬平易，給人一種立刻想到直接使用Cauchy不等式的通暢思路的驚喜，殊不知，這是一個極大的誤區(qū)，此題的難度和技巧正好在這里設(shè)置了較好的陷阱。思路一：由Cauchy不等式知f (x,y,z)(x y z)2z) u到此，在u0的情況下，力圖使用函數(shù)思路二：考慮到題目的條件是x、y、z用a、b、c表達的式子：6個變量的1的性質(zhì)無法得到最小值。x3個等量關(guān)系，于是，可根據(jù)三個條件等式容易求出f(x)b2c2a2x c2a2 - b2a2 b2 - c22bc2ca2ab因為a、b、c

10、; x、y、z都是正數(shù)，所以,a2 b2 c2 0； b2 cu(記u3 x y z 3 u - a2 0; c2 a2-b2 0cosC,從而，結(jié)即以a、b、c為對應(yīng)邊可以構(gòu)成一個銳角ABC令x cosA, y cosB, z合Cauchy不等式有2 A cos A心山1 cosA2fcos B2cos C2(cos A cosB cosC)1 cosB1 cosC3 cos AcosB cosC令 u cosA cosBcosC,那么cos2 Afx，y，Z1 cosAcos2 Bcos2 Cu21 cosB1 cosC因為 u cosA cosBcosC4sin -sin2u cos A

11、 cos B cosC -，2Csin2 23 ?2到此，似乎勝利的曙光就在眼前,立刻想到在區(qū)間4,9內(nèi)使用函數(shù)fx2x丄的性質(zhì)，但x也無法得到最小值，而此的最大值正好與題目的最小值1-由于函數(shù)22 Af(x,y,z) cos2 f cos B1 cosA 1 cosB1的對稱性，可以猜測其最小值在A=B=C=60時到達一1 cosC22cos C吻合，實際上，這是一條無用的信息說明使用Cauchy不等式過當！，它是答題人再次陷入不能自拔的困境。俗話說得好，失敗是成功之母，上面的思路也昭示我們，對原式不能直接使用Cauchy不等式,需要再對原式做更好的更有用的恒等變形，可能是正確的途徑。二賽題

12、的解答為證明本賽題，我們先證明如下一個引理。引理：在厶ABC中，求證：2 A 2 B 2 CABCtan tan tan 2 8si n sin sin2 2 2 2 2 2等號成立的條件是 ABC為等邊三角形。證明：用向量方法證明如下設(shè)i,j,k是平面上的單位向量，且j與k成角為n -A, k與i成角為n -B, i與j成角為n -C,ABC那么，i tan j tank tan 20 ,所以2 2 2tan2 A tan2B tan2 C2 2c丄 A丄 B小2ta n tan cosC2 2C八 _ C丄 A c2ta n tan cos A 2ta n tan cosB 2 22ta

13、nA tan B(12 22si n2C) 2ta n-ta nC(12 2 22sinC A2tan尹忖12sin2B2)c A B2 tan tan2 2B C tan tan2 2C A tan tan 2.AsinA . B . C /24si n sin sin(222 B Ccos cos2 2.Bsin2CAcos cos22.Csin2 ) A B丿 cos cos22 4sinsinsinC2 2 2sin A sinB sinC2 8sinAsinBsinC.2 2 2注意到，在 ABC中有熟知的等式:Atan tan2 2B Ctan tan 2C Adtan tan 1

14、. 2b、 c為對應(yīng)邊可以構(gòu)成一個銳角ABC令 x cos A, y cos B,cosC,從而f (x, y, z)cos2 Acos2 Bcos2 C1 sin2 A1 sin2 B1 sin2 C1 cos AcosB1 cosC1 4si n2A 2 A cos 2 2 c 2 A2 cos 2B 2 Bcos -2 2c 2 B2 cos 24 si n22 A2 cos 22 C14 si n cos2 22 Co 2 B2 cos 22C2cos2C22 cos2 A 2A / .2A 2 A sin cos 4 sin cos 2 2 2 2A.2sin2B 2 B cos 2

15、2 cos/ 2 B4 sin cos2 2c 2 B2 cos -2從而得證。有了上面的引理，此題的解答就容易多了，下面看此題的解法。 解：同思路二得到，以 a、2 C 2 C sin cos 一 2 22 C 2 C4sin cos 2 2o 2C2cos A2A232323212等號成立的條件顯然是 A=B=C=601 2(ta n2!(ta n221 ABC (2 8sin sin sin )2 2 2 2+ 2 Btan 2 + 2 Btan2BEC) 2(sinC、所以，f(x, y,z)顯然，在 A2 A . 2 B . 2 C. sin sin ) 2 2 22 cABCtan

16、 )2(12 sin sin sin )2 2 2A . B . C、2(12 sin sin sin )2 2 20時到達，最后一個不等式是根據(jù)引理而得到的。 的最小值為1.1 z2A600時，等號成立，所以f (x, y, z)的最小值為一2三.背景探索早在1994年，華東交大劉健先生就提出了如下猜測命題:22rcos Acos B在厶ABC中，是否有：2222 -sin B sin C sin C sin A2cos C2 2sin A sin B后來，湖南師大附中黃軍華(現(xiàn)為深圳中學(xué)教師) 請看證明：分兩種情況先生在文1曾證明了這一猜測。(1)當厶ABC為鈍角三角形時，此時不妨設(shè)A 9

17、00, 于是a2b2所以 sin2 A sin2 B sin2C 2 cos2 Bcos2 C22小cos B cos C21 cos A再據(jù) si nA sin B , si nA sin C，所以,2 Acos Asin2 B sin2Ccos2 A2 2 cos Bcos C2 2 2 2 sin C sin A sin A sin Bcos2 C2 2 2 2 sin B sin C sin A sin Bcos所以, Asin2 A sin2Ccos2 Csin2 A sin2 Bcos B cos2 C 1A 一 2 A 一一 2 A 2 A2典cos A2 2cos A 1 si

18、 nAcos 2sin -24 si ncos 2 22 sinBsin2 C2cos2 A2 cos2 2 cos2 A2 22112 Atan2 -2 sin2 -2222從而cos Acos Bcos C.: sin2 2B sinCsi n2C si n2Asin A sin2 B2 -2cos AcosBcos C2 A c 22 C2 cos 2 cos 2 cos 22231 2 (ta nA+2 Btan tan2C)2(sin2 A.2 sinB . 2 sinC2222222231A . B.C“c A.B.C、1(28sinsinsin)2(1 2si nsinsin )222 222222即三角形為非鈍角三角形時結(jié)論也成立，綜上結(jié)論得證。比照之后的表達與今年的這道競賽加試第 2題的解法，不難知道，今年的這道賽題無非是在 的第2種情況的根底上增加了一個解方程組的程序并由此判斷ABC為銳角三角形罷了，即今年的這道加試題可以看作是由解方程組初中知識的要求，判斷三角形種類、與求最值高中知識的要求三個問題的簡單合成串聯(lián) 。順便指出，的證明曾經(jīng)是上世紀1990年前后在文2等刊物上討論過幾年的一個結(jié)論。四條件等式的幾何解釋比照條件等式cy bz a ; az cx b;bx ay c 注意 a、b、c、x、y、z 為正數(shù)與厶ABC中的斜射影