機(jī)器人學(xué)第二章(數(shù)學(xué)基礎(chǔ))

1、第二章 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.1 引言機(jī)器人操作手的研究涉及物體之間以及物體與操作手之間的關(guān)系。在這一章中，我們將研究描述這些關(guān)系所需的表示方法。在同樣必須描述物體之間關(guān)系的計(jì)算機(jī)制圖學(xué)領(lǐng)域中，已經(jīng)解決了類似的表示方法問題。在該領(lǐng)域以及計(jì)算機(jī)視覺方面使用了齊次變換。這些變換以前Denavit用來描述連桿機(jī)構(gòu)。而現(xiàn)在我們用這些變換來描述操作手。我們將首先建立向量和平面的符號，再在這些符號基礎(chǔ)上引入變換。這些變換主要由移動和轉(zhuǎn)動所組成。接著將表明，這些變換也可以作為表示包括操作手在內(nèi)的物體的坐標(biāo)架。然后將引入逆變換。后一節(jié)敘述繞任一向量旋轉(zhuǎn)的一般旋轉(zhuǎn)變換。再介紹一種算法，以用來找出用任何已知變換表示的等效旋

2、轉(zhuǎn)軸和等效旋轉(zhuǎn)角。伸張和縮放變換的一小節(jié)，連同透視變換一節(jié)也包含在本章中。這一章用一節(jié)關(guān)于變換方程的內(nèi)容來作為結(jié)尾。2.2 符號在描述物體間關(guān)系時，我們將利用點(diǎn)向量、平面和坐標(biāo)架。點(diǎn)向量用小寫黑體印刷符號表示，平面用手寫體印刷符號表示，坐標(biāo)架則用大寫黑體印刷符號表示。例如：向量 v, xl, x平面 P， Q 坐標(biāo)架 I, A, CONV我們將把點(diǎn)向量、平面和坐標(biāo)架作為具有關(guān)聯(lián)數(shù)值的變量使用。例如，一個點(diǎn)向量就具有三個笛卡爾坐標(biāo)分量。如果希望相對于坐標(biāo)架E來描述空間一個稱為p的點(diǎn)我們將用一個稱為的向量，并將這一向量寫成前置的上標(biāo)表示所定義的坐標(biāo)架。我們也可以利用向量w相對于例如H這樣的不同坐標(biāo)

3、架，來描述相同的點(diǎn)p為v和w是兩個很可能具有不同分量的向量，雖然兩個向量描述相同的點(diǎn)p，但vw。也可能存在這種情況，用一個向量a來描述在任一坐標(biāo)架上面3英寸地方的一個點(diǎn) 在這一情況中，向量是完全相同的，但是描述了不同的點(diǎn)，通常文中定義的坐標(biāo)架是明顯的，這時上標(biāo)就不用。在許多情況中，向量的名稱將與被描述的物體的名稱相同，例如，銷的末端可以用相對于坐標(biāo)架BASE的向量tip來描述如果文中相對于BASE描述向量是明顯的，則我們可以簡單地寫為tip如果還希望相對于另一坐標(biāo)架HAND來描述這一點(diǎn)，則我們必須用另一向量來描述這一關(guān)系，例如和tip兩者描述相同的物件，但有著不同的值。為了涉及到坐標(biāo)架、向量或

4、平面的每一分量，我們添加下標(biāo)來表示特定分量。例如，矢量 有分量，。2.3 向量在n維空間中物體的齊次坐標(biāo)表達(dá)式是一個（n+1）維空間實(shí)體，這樣一個特定的透視投影即重新建立了該n維空間。這也可以被視為對每個向量加上一個外加坐標(biāo)（比例因子）。這樣，如果包括比例因子的每個分量乘以一常數(shù)，向量含義不變。一個點(diǎn)向量 （2-1）式中i，j和k分別是沿x，y 和z 坐標(biāo)軸的單位向量。在齊次坐標(biāo)中用一列矩陣來表示點(diǎn)向量 （2-2）式中 （2-3）于是能夠把向量寫成,或者，或者再寫成為等等。上標(biāo)T指明行向量轉(zhuǎn)置為列向量。在原點(diǎn)處的向量（零向量）被寫成,式中n是任意非零比例因子，是非限定向量。形式為的向量表示無限

5、大向量，并被用來表示方向：加上其它任一有限向量，都不會改變它的大小。我們也將使用向量的點(diǎn)乘和叉乘，給出二個向量 （2-4）我們規(guī)定向量點(diǎn)乘用“”表示為 （2-5）二向量的點(diǎn)乘是一個標(biāo)量。用“”標(biāo)明的叉乘，是垂直于兩相乘向量所形成平面的另一向量，用下式表示 （2-6）這一定義作為行列式展開更易于記憶 （2-7）2.4 平面一個平面可以用一個行矩陣來表示 （2-8） 這樣，如果點(diǎn)v位于P平面中，矩陣乘積 （2-9）或展開為 （2-10）如果我們定義一常數(shù) （2-11）將方程2-10除以得 （2-12）方程2-12左邊是和兩向量的點(diǎn)乘，表示點(diǎn)沿向量的指向的距離。向量可被理解為是在法線方向上離原點(diǎn)距離

6、為的平面的一條外指法線。于是平行于平面，沿一個單位的平面可表示為 （2-13）或 （2-14）或 （2-15）點(diǎn)將落在這一平面中 （2-16）或 （2-17）點(diǎn)位于平面上面 （2-18）實(shí)際是正數(shù)，表明點(diǎn)在平面之外，而在外指法線方向上。點(diǎn)位于平面之下 （2-19）平面是非限定的。2.5 變換空間變換是一個44矩陣，能夠用來表示移動，轉(zhuǎn)動。伸展和透視變換。給出一點(diǎn)u，它的變換v矩陣乘積表示為 （2-20）從P到 Q 的相應(yīng)平面變換為 （2-21）這是因?yàn)槲覀円髼l件 （2-22）在所有變換中不變。為了證實(shí)這一點(diǎn)，我們將公式2.20和2.21代入公式2.22的左邊。由于為單位矩陣I，故得 （2-2

7、3）2.6 移動變換相應(yīng)于用向量表示的移動變換是 （2-24）給出向量,則得變換后的向量為 （2-25） （2-26）移動也可以解釋為兩個向量與之和。如同點(diǎn)和平面一樣，變換矩陣的每個元素，可乘以一非零常數(shù)而變換不變。現(xiàn)考慮將矢量移動，或是與相加 （2-27）如果把變換矩陣元素乘以，而將向量元素乘以2，我們得到 （2-28）這和上述向量一致。點(diǎn)落在平面中 （2-29）正如我們已得到的一樣，變換點(diǎn)是?，F(xiàn)在我們來計(jì)算變換后的平面。逆變換是而變換后的平面是 （2-30）變換后的點(diǎn)再次落在變換后的平面中 （2-31）2.7 轉(zhuǎn)動變換相應(yīng)于繞或軸轉(zhuǎn)過角度的變換是 （2-32） （2-33） （2-34）y

8、xzuv圖2-1 Rot(z ,90)讓我們用例子來解釋這些轉(zhuǎn)動。給出一點(diǎn)，將它繞軸轉(zhuǎn)至，其結(jié)果如何？將和代入公式2-34，得到變換為 （2-35）始點(diǎn)和終點(diǎn)如圖2-1所示，點(diǎn)確實(shí)繞軸轉(zhuǎn)過?，F(xiàn)在讓我們將繞軸轉(zhuǎn)到。我們可從公式2-33得到變換，有 （2-36）yxzuv圖2-2 Rot(y,90)w這一結(jié)果如圖2-2所示。如果將兩個變換結(jié)合起來，我們有 （2-37）和 （2-38）將公式2-37的代入公式2-38得 （2-39） （2-40） （2-41）于是 （2-42）這與我們在前面所得到的一致。如果我們顛倒轉(zhuǎn)動的次序，首先繞軸轉(zhuǎn)，再繞軸轉(zhuǎn)，我們得到一不同位置 （2-43）且點(diǎn)變換至為 （2

9、-44）我們應(yīng)該預(yù)料到這一點(diǎn)，因?yàn)榫仃囅喑耸遣荒芙粨Q的。 （2-45） 這一變換結(jié)果如圖2-3所示.yxzu圖2-3 Rot(z,90)Rot(y,90)vwyxzuv圖2-4 Trans(4,3,7)Rot(y,90)Rot(z,90)wx現(xiàn)在我們將原先的轉(zhuǎn)動與移動結(jié)合起來。我們從公式2-27得到移動，從公式2.41得到轉(zhuǎn)動。矩陣表達(dá)式是 （2-46）且點(diǎn)變換至為 （2-47）其結(jié)果如圖2-4所示。2.8 坐標(biāo)架我們可以把齊次變換的元素理解為描述另一坐標(biāo)架的四個向量。向量位于另一坐標(biāo)架的原點(diǎn)。它的變換是和變換矩陣右邊那一列相對應(yīng)。考慮公式2.47中的變換 （2-48）可見零向量的變換是,即變

10、換矩陣右邊那一列。如果我們對沿和軸的單位向量進(jìn)行變換，可分別得到,和。這四個向量繪在圖2-5上，并行成一個坐標(biāo)架。yxzzzyxxyTrans(4,-3,7)Rot(y,90)Rot(z,90)圖2-5 作為坐標(biāo)架解釋變換yxzzyx圖2-6 向量的變換x6,4,10,1Tu7,3,2,1T減去可以表示這一坐標(biāo)架原點(diǎn)的向量，利用把它的比例因子降低至零使向量延長至無窮遠(yuǎn)，就形成了這些單位向量的方向。這一坐標(biāo)架和軸的方向，分別是，和。這些方向向量相應(yīng)于變換矩陣的前三列。于是變換矩陣完全描述了坐標(biāo)架經(jīng)轉(zhuǎn)動和移動而離開參考坐標(biāo)架后的原點(diǎn)位置和三坐標(biāo)軸方向（見圖2-5）。當(dāng)一向量如在公式2.47中進(jìn)行變

11、換時，原向量可作為坐標(biāo)架中所描述的向量，變換后的向量則是在參考坐標(biāo)架中所描述的同一向量（見圖2-6）。2.9 相對變換我們所描述的轉(zhuǎn)動和移動，都是相對于固定參考坐標(biāo)架得到的。因而在給出的例子中 （2-49）坐標(biāo)架首先繞參考軸旋轉(zhuǎn)，然后繞參考軸旋轉(zhuǎn)，最后移動，如圖2-5所示。我們也可以按從左到右的相反順序來解釋過程如下：物體首先移動，然后將它繞著（當(dāng)前）坐標(biāo)軸（在這一情況下同于參考軸）旋轉(zhuǎn)，再將它繞新旋轉(zhuǎn)的（當(dāng)zyxzyxRot(y,90)圖2-7 相對變換zyxxyzRot(z,90)Trans(4,-3,7)原點(diǎn)均重合前）坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)（見圖2-7）。zRot(z,90)Rot(z,90)yzY

12、xyxyTrans(10,0,0)Xzxzyx圖2-8 相對于基礎(chǔ)坐標(biāo)和架坐標(biāo)的變換Trans(10,0,0)通常，如果在一個表示坐標(biāo)架的變換后面，乘上描述移動和（或）轉(zhuǎn)動的第二個變換，我們得到相對于用第一個變換所描述的坐標(biāo)架進(jìn)行的移動和（或）轉(zhuǎn)動。如果在坐標(biāo)變換前面，乘以一個表示移動和（或）轉(zhuǎn)動的變換，則得到相對于基礎(chǔ)參考坐標(biāo)架的移動和（或）轉(zhuǎn)動。因此，給出坐標(biāo)架以及相應(yīng)于繞軸轉(zhuǎn)和沿方向移10個單位的變換，當(dāng)變換在基礎(chǔ)坐標(biāo)中發(fā)生時，我們得到一新的位置, （2-50）而當(dāng)變換相對于坐標(biāo)架而發(fā)生時，則得到新的位置, （2-51）變換結(jié)果如圖2-8所示。2.10 物體1,0,0,11,4,0,11

13、,0,2,1-1,4,0,1-1,0,0,1yxz圖2-9 物體-1,0,2,1變換可用來描述物體的位置和方位（姿態(tài)）。如圖2-9所示的物體，借助相對于固定在物體中的坐標(biāo)架的六個點(diǎn)來描述。如果將物體繞軸轉(zhuǎn)，然后繞軸轉(zhuǎn)，再在軸方向?qū)⑺苿?個單位，我們可以將該變換描述為 （2-52）變換矩陣表示原先與參考坐標(biāo)架重合的坐標(biāo)架所作的轉(zhuǎn)動和移動，物體六個點(diǎn)將變換為 （2-53）xyzyxz圖2-10 變換后的契塊變換的結(jié)果如圖2-10所示。可以看到，圖中所描述的物體，與其上借助變換描述的位置和方位的坐標(biāo)架，具有恒定的關(guān)系。給出一個用圖2-9中的參考坐標(biāo)架來描述的物體，以及表示物體軸線位置和方位的變換，

14、我們僅需要標(biāo)記物體相對于坐標(biāo)軸的關(guān)鍵外廓的方向和方位，就能夠簡單地重新構(gòu)造物體的形象，而無需變換所有點(diǎn)。利用畫出經(jīng)變換了的坐標(biāo)架，物體能夠與新的軸線方向建立起聯(lián)系。在給出的例子中，楔塊的長軸沿著坐標(biāo)架的軸放置，因?yàn)橐炎儞Q了的軸是在方向，長軸將在變換后的狀態(tài)中直立起來，等等。2.11 逆變換我們現(xiàn)在能夠研究一種把已變換了的坐標(biāo)架搬回原坐標(biāo)架的逆變換。這是參考坐標(biāo)架相對于變換后坐標(biāo)架的簡單描述?？紤]在圖2-10中所給出的例子，對于變換后的坐標(biāo)架，參考坐標(biāo)架軸的方向是,軸和軸分別是和，而原點(diǎn)的位置是，于是逆變換是 （2-54）通過將它乘以變換得到一恒等變換,很容易證實(shí)變換的轉(zhuǎn)置是正確的 （2-55）

15、通常給出一帶有元素的變換 （2-56）則其逆變換是 (2-57)式中，和是四個列向量，而“”表示向量點(diǎn)乘。將公式2-56后乘以公式2-57，很容易證實(shí)這一結(jié)果。2.12 一般轉(zhuǎn)動變換我們以說明了繞，和軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動變換（公式2-32，2-33和2-34）。這些變換都有一個簡單的幾何解釋。例如，在繞軸轉(zhuǎn)動的情況中，表示軸的那一列將保持不變，而表示和軸的列元素將如圖2-11所示變化。現(xiàn)在我們將研究繞過原點(diǎn)的任意向量轉(zhuǎn)動的變換矩陣。對這一問題的完整討論見Hamilton。為此，我們設(shè)想是坐標(biāo)架的軸單位向量 （2-58） （2-59）則繞向量的轉(zhuǎn)動相當(dāng)于繞坐標(biāo)架的軸的轉(zhuǎn)動。yxz圖2-11 繞Z軸轉(zhuǎn)動y

16、 （2-60）如果我們給出用參考坐標(biāo)架描述的坐標(biāo)架，我們就能夠找到一坐標(biāo)架以描述相對于坐標(biāo)架的同一坐標(biāo)架，即 （2-61）式中描述相對于坐標(biāo)架的位置。對求解得 （2-62）繞轉(zhuǎn)動即相當(dāng)于繞坐標(biāo)架中軸而轉(zhuǎn)動 （2-63） （2-64）于是 （2-65）但我們僅知道，坐標(biāo)架的軸。展開公式2-65，我們將發(fā)現(xiàn)僅僅是的函數(shù)。在右乘上，我們得到 （2-66）前面乘以 （2-67）我們可以得到 （2-68）利用下列關(guān)系進(jìn)行簡化：的任何行或列和任何其它行或列的點(diǎn)乘等于零、因?yàn)橄蛄渴钦坏?；的任一行或列與其本身的點(diǎn)乘是，因?yàn)楦飨蛄康膯挝恢凳?；單位向量是和向量的叉乘?（2-69）它的分量是簡寫成的，被定義為，

17、又。我們得到 (2-70)這是一個重要的結(jié)果，在往后的進(jìn)行之前，應(yīng)徹底理解。從這個一般轉(zhuǎn)動變換中，我們能夠得到每一個基本轉(zhuǎn)動變換，例如是當(dāng)，和時的將這些值代入公式2.70，我們得到 （2-71）這與前述一致。2.13 等效的旋轉(zhuǎn)角和旋轉(zhuǎn)軸給出任一個轉(zhuǎn)動變換，我們利用公式2-70求出一根軸，繞著它可如下述求出一等效轉(zhuǎn)動的旋轉(zhuǎn)角。給出這一轉(zhuǎn)動變換 （2-72）我們可以令等于 （2-73）將公式2-73對角線各項(xiàng)總加，我們得到 （2-74） （2-75）旋轉(zhuǎn)角的余弦是 （2-76）將公式2-73對角線兩邊的各對稱項(xiàng)相減，我們得到 （2-77） （2-78） （2-79）將公式2-772-79平方相加

18、，我們得到的表達(dá)式 (2.80) 旋轉(zhuǎn)的正弦是 （2-81）我們規(guī)定繞向量的轉(zhuǎn)動是正的，因而，在這種情況中，公式2-81應(yīng)取號，且由此旋轉(zhuǎn)角可唯一地確定為 （2-82）的分量可以從公式2-772-79中得到 （2-83） （2-84） （2-85）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角非常小時，由于公式2-832-85中分子和分母兩者的值小，旋轉(zhuǎn)軸不能確切地定出。如果得到的角很小，向量應(yīng)當(dāng)再標(biāo)準(zhǔn)化，以保證。當(dāng)旋轉(zhuǎn)角接近時，因?yàn)檎业闹低瑯幼兊煤苄。蛄恳膊荒苡霉?-832-85來很好確定Klump。但是在這種情況中，轉(zhuǎn)動軸實(shí)際上是意義明確的。當(dāng)時，公式2-832-85的分母小于1。當(dāng)角度增加至?xí)r，分母和分子的值迅速減少，

19、導(dǎo)致在確定時，存在相當(dāng)大誤差。在時，公式2-832-85出現(xiàn)了的形式，從而對實(shí)際上意義明確的向量得不到任何信息。如果轉(zhuǎn)動角大于，則 在確定時我們必須遵守另一不同的方法。由公式2-73的對角線元素相等，我們得到 （2-86） （2-87） （2-88）將和用公式2-76代入，并對的元素求解，我們進(jìn)一步得到 （2-89） （2-90） （2-91）由公式2-892-91所定出的最大分量系與和中的最大正值相對應(yīng)。對于這一最大元素，其根的符號可以從公式2-772-79得到。因?yàn)樾D(zhuǎn)角正弦的符號必須是正的，故由公式2-772-79所定的分量符號，必須與這些公式左邊的符號相同。于是我們可以將公式2-892

20、-91與包含在公式2-772-79中的信息結(jié)合如下 （2-92） （2-93） （2-94）式中，如果，如果，。僅有的最大元素是由相應(yīng)于和中的最大正值，用公式2-922-94來確定。其余元素則由公式2-73中對角線兩邊相對稱的元素相加所形成的下列公式來更精確地確定。 （2-95） （2-96） （2-97）如果最大，則由公式2-95得 （2-98）由公式2-97得 （2-99）如果最大，則由公式2-95得 （2-100）由公式2-96得 （2-101）如果最大，則由公式2-97得 （2-102）由公式2-96得 （2-103）（對這一問題的另一處理方法見Whitney） 例2.1確定在公式2-

21、41中給出的矩陣的等效旋轉(zhuǎn)軸和等效旋轉(zhuǎn)角。 （2-104）我們首先由公式2-76確定 （2-105）在由公式2-81確定 （2-106）于是 （2-107）因?yàn)?，我們確定相應(yīng)于對角線中最大元素的最大分量。因?yàn)樵谶@一例中所有對角線元素均相等，我們可以任取一個。我們將取由公式2-92給出的 （2-108）因?yàn)槲覀円呀?jīng)確定了，現(xiàn)在我們可以分別用公式2-98和2-99確定和 （2-109） （2-110）概括起來，則 （2-111）式中 （見圖2-12） （2-112）kyxzyx圖2-12 繞K軸轉(zhuǎn)動120z任何一組復(fù)合轉(zhuǎn)動，總是等效于繞某一軸旋轉(zhuǎn)的單一轉(zhuǎn)動，我們將在后面應(yīng)用這一重要結(jié)果。2.14

22、伸展和縮放雖然我們在操作中將不使用這些變形的變換，這里將它們包括進(jìn)來，則是為了變換主題更為完整。一變換 （2-113）表示沿軸用因子，沿軸用因子，沿軸用因子均勻地伸展物體。對物體上任一點(diǎn)，它的變換是 （2-114）此式說明了上述的伸展。于是用這樣的變換，能夠使立方體變成長方體。下一變換將通過因子縮放任一物體 （2-115）xfz圖2-13 透視變換y2.15 透視變換考慮如圖2-13所示物體用簡單透鏡形成的影像。為了敘述方便，透鏡的軸線沿軸給出，如果透鏡的焦距為（被視為正值），物體上的點(diǎn)成像在上，表示成像的距離，并隨著物體的距離而變化。如果我們將各點(diǎn)繪在垂直于軸且距離為的平面上（攝影機(jī)的膠片平

23、面），則形成了透視影像。我們將首先求出和的值，然后引入透視變換，并表明由此可以得到相同的值?；谏渚€穿過透視中心不偏斜的事實(shí)，我們可以寫出 （2-116）和 （2-117）再基于平行于透鏡軸的射線穿過焦點(diǎn)的事實(shí)，我們可以寫出 （2-118）和 （2-119）要注意和是負(fù)值而是正值。消去公式2-116和2-118中的，我們得到 （2-120）對求解，得到結(jié)果 （2-121）通過公式2-117和2-119的運(yùn)算，可以類似地得到 （2-122）為了得到成像距離，我們將公式2-116和2-118改寫為 （2-123）和 （2-124）于是 （2-125）對求解我們得到結(jié)果 （2-126）產(chǎn)生同一結(jié)果的

24、齊次變換是 （2-127）對任一點(diǎn)其變換為 （2-128）通過除以全因子得到的像點(diǎn)為 （2-129）這和我們上面所得到的結(jié)果相同。一種與相似，但在第一列底部為的變換，產(chǎn)生一沿軸的透視變換。如果項(xiàng)在第三列，則投影沿著軸2.16 變換方程我們將要經(jīng)常處理用兩種或更多種方式來描述坐標(biāo)架的變換方程。考慮圖2-14所描述的情況。操作手相對于基座坐標(biāo)用變換來定位，操作手末端用變換描述，而末端夾持器用來描述；一物體相對于基座坐標(biāo)用變換來定位，而操作手末端夾持器相對于物體則用來定位。這樣對末端夾持器的定位我們有兩種描述方式，一種相對于物體，而另一種相對于操作手。因?yàn)閮蓚€位置是相同的，我們可以令兩種描述相等 （

25、2-130）圖2-14 物體和操作手圖2-15 指向變換圖這一等式可以用指向變換圖來表示（見圖2-15）。圖的每條線段表示一個變換，它的指向是從所用定義坐標(biāo)架出發(fā)的。如果我們要由方程(2-130)來解釋操作手的變換，我們必須在它前面乘以和在它后面乘上，從而得到 （2-131）在變換圖中，我們從線段的尾部開始按次序沿圖線移動，并列出變換直至線段的頭部，就可得到這一結(jié)果。如果當(dāng)我們在列寫變換時，從頭到尾移動（指向線段的相反方向），則可寫出該變換的逆變換。于是，我們用變換圖得到同前面一樣的結(jié)果 （2-132）作為深入一步的例子，我們將物體位置看成未知，令操作手運(yùn)動。使其末端夾持器恰好對物體的正確定位

26、。于是我們可以在方程2-130后面乘上來解，或者直接按圖從的尾部開始，由反繞回到線段的頭部所經(jīng)的路線來得到相同的結(jié)果： （2-133）我們也可以利用變換圖，解除連在一起的一組變換，例如 （2-134）圖2-16 圖2-15的替換形式利用變換圖可以直接寫出結(jié)果，這就使解變換方程變得簡單。為了避免畫圖，我們將如圖2-16所示表示變換圖。在這里用破折線來表明兩結(jié)點(diǎn)被聯(lián)在一起。中間垂線表示各坐標(biāo)架。2.17 總結(jié)齊次變換可以很方便地用來描述坐標(biāo)架的空間位置和方位（姿態(tài)）。如果在物體上固聯(lián)一坐標(biāo)架，則它的位置和方位也很容易得到描述。借助于齊次變換，基于物體而對物體的描述，可被反過來求得基于物體而對物體的

27、描述。這和一物體相對于另一物體相對位移的簡單向量描述性質(zhì)不一樣。變換可以被解釋為轉(zhuǎn)動和移動變換的乘積。如果它們從左至右地解釋，則各轉(zhuǎn)動和移動是按當(dāng)前坐標(biāo)架來定義。如果它們是反過來從右至左地解釋，則各轉(zhuǎn)動和移動是相對于參考坐標(biāo)架的描述。齊次變換用正交分量來描述坐標(biāo)架的，這些分量是角度的正弦和余弦。這一描述與用向量和旋轉(zhuǎn)角所描述的旋轉(zhuǎn)有關(guān)。本章參考文獻(xiàn)1. Denavit,J.& Hartenberg，R.S.A Kinematic Notation for Lower-Pair Mechanisms Based on Matrices,ASME Journal of Applied Mechan

28、ics(June 1955),215-223.2. Duda,R.O.& Hart,P.E.Pattern Classification and Scene Analysis,Wiley,New York,1972.3. Hamilton,W.R.Elements of Quaternions,Chelsea Publishing CO.,New York,1969.4. Klumpp,A.R.Singularity-Free Extraction of a Quaternion from a Direction Cosine Matrix,Journal of Spacecraft 13,12(Doc