人教版八級上冊數學講義

1、八年級數學講義第11章 三角形三角形的概念1.三角形的定義由不在同一直線上的三條線段首尾順次連結所組成的圖形叫做三角形要點：三條線段；不在同一直線上；首尾順次相接.2. 三角形的表示 ABC 中，邊：AB, BC, AC 或 c, a, b.頂點：A, B, C .內角：/ A ,Z B ,Z C.二、三角形的邊1.三角形的三邊關系：證明所有幾何不等式的唯一方法(1) 三角形任意兩邊之和大于第三邊 ：b+c>a(2)三角形任意兩邊之差小于第三邊：b-c<a1.1判斷三條線段 a、b、c能否組成三角形.當a最長，且有b+c>a時,就可構成三角形.1.2確定三角形第三邊的取值范圍

2、：兩邊之差 <第三邊 <兩邊之和.2. 三角形的主要線段 2.1三角形的咼線從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線 銳角三角形三條高線交于三角形內部一點； 直角三角形三條高線交于直角頂點； 鈍角三角形三條高線所在直線交于三角形外部一點2.2三角形的角平分線三角形一個角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線。三條角平分線交于三角形內部一點2.3三角形的中線B連結三角形一個 頂點與它對邊中點的線段叫做三角形的中線。三角形的三條中線交于三角形內部一點三、三角形的角1三角形內角和定理三角形中至少有 2個銳角三角形中

3、至多有1個鈍角結論： ABC中：/ A+Z B+Z C=180°結論2:在直角三角形中，兩個銳角互余.注意：在三角形中，兩個內角可以求出第三個內角如：在 ABC中，Z C=180° Z A+Z B 在三角形中，三個內角和的比或它們之間的關系，求各內角. 如： ABC 中，Z A：Z B：Z C=2: 3： 4,求Z AZ BZ C 2三角形外角和定理2.1外角：三角形一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的角.2.2性質： 三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和 三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角 三角形的一個外角與與之相鄰的內角互補2.3外角個數：過三角形

4、的一個頂點有兩個外角，這兩個角為對頂角相等 可見一個三角形共有 6個外角四、三角形的分類(1) 按角分：銳角三角形 直角三角形 鈍角三角形(2) 按邊分：不等邊三角形底與腰不等的等腰三角形等邊三角形五多邊形及其內角1、 多邊形的定義：在平面內，由一些線段 首尾順次 相接組成的圖形叫做多邊形2、正多邊形：各個角都相等、各個邊都相等的多邊形叫做正多邊形。3、多邊形的對角線(1) 從n邊形一個頂點可以引(n 3)條對角線，將多邊形分成(n 2)個三角形。k料 3)(2) n邊形共有' 條對角線。4、n邊形的內角和等于(n 2) 180° (n> 3, n是正整數)。任意凸形多

5、邊形的外角和等于 360多邊形外角和恒等于 360 °，與邊數的多少無關.多邊形最多有3個內角為銳角，最少沒有銳角如矩形 ；多邊形的外角中最多有3個鈍角，最少沒有鈍角.5、 實現鑲嵌的條件：拼接在同一點的各個角的和恰好等于360 °相鄰的多邊形有公共邊?！究键c三】判斷三角形的形狀&假設 ABC的三邊a、b、c滿足a-b b-cc-a=0,試判斷 ABC的形狀。9、a, b, c是厶ABC的三邊，且滿足a2+b2+c2=ab+bc+ca，試判斷 ABC的形狀。10、假設 ABC的三邊為a、b、c a與b不相等，且滿足a3-a2b+ab2-ac2+bc2-b3=0 ,試

6、判斷 ABC 的形狀。、三角形角有關計算1. 如圖 ABC中AD是高,AE、BF是角平分線，它們相交于點 解 AD> ABC的高，/ C = 70 ° / DAC =180-90° -70° =20°/ / BAC =50 / ABC =180-50° -70° =60° AE和BF是角平分線 / BAO =25 , / ABO =30O,/ A= 50° , / C = 70° 求/ DACZ AOB2.如圖， ABC中，D是 BC邊上一點，Z 1= / 2, / 3=/4,/ BAC= 63解設

7、1x012,2 x0312 2x0又-3442x0又-24BAC 1800x2x6301800x39°DAC630 0 03924,求/ DAC的度數3. ：P是厶ABC內任意一點.求證：/ BPC>/ A解:建也BP支AC于點DVZBPCAAPDC 的外角:.ZBPOZPDC同理可ZPDOZATBD是AC邊上的馬:.ZBPOZA4. 如圖，/ 1 = / 2,/ 3= / 4，/ A= 100° ,求 x 的值 / AOB =180-25° -30° =125°.:VZ1=Z2 Z>Z4AZABC<Z2 ZACB=1Z4奮

8、AABf 中 ZA+ZAB+ZACB=180c：(Z.V2(Z1+Z4H««°7 ZA= 100°AZ2+ZWO07Z2+Z4+x=l8r二 a-14«°5 ABC的/ B、/ C的平分線交于點 0。求證：/ BOC=90 +/ A 角平分線模型證明:VBO. <?O是ZB. ZC的平分線:.Z1=Z2Z3=Z4在R(>C中 ZB(H>Z2+Z3=1KO* AZ2+Z3-180* - Z1MX1在中 Z A+Z ABCZACB=180fiAZA+2(Z2+Z3)=18ttc,A ZA+2(180' -ZBOC

9、)=180"ZBK=90c + ZA6：BP、CP是厶ABC的外角的平分線，交于點 P。 求證：/ P=90°-證明：7BP. CP*#bJB平分線二 Z1=Z2VZEBC'JtAABCfiZEBC=Z4+ZA( B-ZA+(18O* -Z3-Z4)A ZEB(=Z1+Z1IZZA+ISO' -2Z3) 2Zl+2/J=/A+1NirAPBC沖NP+J十上3=1鈾° 二ZI+/HT -ZFA ZA+1804 =2(180a ZP)AZMfla - ZA/ A 角平分線模型7.AABC中，/ ABC的平分線 BD和厶ABC的外角平分線 CD交于D ,

10、求證：/ A=2 / D 角平分線 模型證明:7BD. CD是角平分線:.Z1=Z2Z3=Z4在BDC中 Z4-Z2+ZD:.Z3=Z2+Z1)在4BC 中 ZACE=ZA+ZABCA2Z3=ZA+2Z2A2(Z2+ZD)= ZA+2Z2:.ZA=2ZI)8AAOB中，/ AOB=90 °，/OAB的平分線和 ABC的外角/ OBD平分線交于 P,求/ P的度數frVAP. BPAA 平分茂:、Z1=Z2Z3=Z4AA.BPZ4Z2+ZP AZ3=Z2+ZP 在兒IW中 ZOBD=ZCHZOAB MZ3=ZO2Z2 2(Z2+ZP)= ZO+2Z2 :.ZO=2ZP:.ZP=45*9

11、如圖：求證：/ A+ / B+ / C= / ADC 飛鏢模型訕明:連揍BD并延枚到E、:Z AI>E=Z ABIHZAZCDB-ZCBIH-ZCV ZAIMZABIZC'BDZABC=ZABD+ZAA ZA+ZABC+ZC=Z AM第12章全等三角形一、全等三角形的概念與性質1、 概念：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。1表示方法：兩個三角形全等用符號“也來表示，記作ABC也 DEF2、性質：1對應邊相等2對應角相等3周長相等4面積相等、全等三角形的判定1全等三角形的判定方法:SAS ,(SSS), (ASA), (AAS),(HL)邊邊邊SSS邊角邊SAS角邊角ASA角

12、角邊AAS直角邊和斜邊HLA/AA1B"C三邊對應相等的 兩三角形全等有兩邊和它們的夾 角對應相等的兩個 三角形全等有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等兩角和及其中一 個角所對的邊對 應相等的兩個三 角形全等有一條斜邊和一條 直角邊對應相等的 兩個直角三角形全等HL2 全等三角形證題的思路:找夾角SAS兩邊找直角HL 找第三邊SSS假設邊為角的對邊，那么找任意角AAS一邊一角找角的另一邊SAS邊為角的鄰邊找邊的對角 AAS找夾邊的另一角ASA兩角找兩角的夾邊ASA 找任意一邊AAS3全等三角形的隱含條件：公共邊或公共角相等 對頂角相等 利用等邊等角加或減等邊等角，其和或差仍相等

13、 利用平行線的性質得出同位角、內錯角相等【知識要點】全等三角形SAS兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊角邊或SAS',幾何表示如圖，在 ABC和 DEF中,AB DEB EBC EF【典型例題】ABC 也 DEF (SAS)A BE=CD.角形。求證：BD+ CD=AD【例1】 ：如圖，AB=AC , AD=AE ,求證:BE=CD.證明：在厶ABE和厶ACD中,AB=AC ,/ BAE= / CADAD=AE ABE ACD【例2】 如圖，：點DE在BC上,且BD=CEAD=AE / 1 = / 2,由此你能得出哪些結論？給出證明【例4】如圖，點A F、C、D在同一

14、直線上， 點B和點E分別在直線 AD的兩側，AB/ DE 且 AB= DE, AF= DC。求證：BC/ EF。證屮】:V AB/7DEJ- N2NDV AF DC/,AF+FC = DC+FC AC-DF在 A ABC AD EF 申ABDE* NA = NDAC=DF代 A ABC A DEF (SAS)J, -DFE= ACS【例5】如圖， ABC BDE均為等邊三【例3】 如圖：AE=AF AB=AC / A=60° / B=24°,求/ BOE的度數.【知識要點】三邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊邊邊或“SSS,幾何表示【例1】如圖，在 ABC中，M在BC上

15、，D在【典型例題】例3.如圖：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求證:AM 上，AB=AC , DB=DC 求證：AM 是 ABC 的角平分線證明：在厶ABD和厶ACDAB=ACDB=DCAD=AD ABD ACD SSS / BAD= / CAD又 AB=AC MB=MC AM是 ABC的角平分線三線合一【例2】如圖：在厶ABC中，BA=BC , D是AC 的中點。求證：BD丄AC。例4.如圖，在ABC中，C 90 , D、E分求證：DE丄AB。解析畫VDAC申點己加AD-CDAAABD和厶GBD中BA=BC 弋 AD=CD 已證BDBD 公拱邊AABDSACBD CsssA N NCDB

16、 全存三甯形的時應廟相尋T NADB 卜 ZC0B=1B0* 平簡定義:.ZADBCDB-90"BD±AC企亙定 50別為 AC、AB 上的點，且 AD=BD,AE=BC,DE=DC.【知識要點】兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊角邊或“AAS,【典型例題】【例1】如圖，AD,AB DE, AB/DE，求證：BC=EF【例2】如圖，AB=AC BC，求證：AD=AE【例3】：如圖,AB=AC，BD AC，CE AB,垂足分另U為D、E, BD、CE相交于點F,求證:BE=CD.【例4】如圖， 12,34，點P在AB上，可以得出PC=PD嗎？試證明之.C【知

17、識要點】兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊角邊或'AAS',【典型例題】【例1】如圖， ABC中，AB AC， BE、CD分別是 ABC及 ACB平分線.求證： CD BE .證明1VAB=AC:* ABC= ACB*BE, CD分別赴N ABC和N ACB的平分線/. ZEBC = DCB& 血口和厶心葩中NDCB= ZEBCBC = 80ZABC= ZACB/. ABCDACBE(ASA)* gd BE【例2】如圖，在 MPN中，H是高 MQ和NR的交點，且 MQ = NQ .求證：HN = PM.證明： MQ 和 NR 是厶 MPN 的高，/ M

18、QN =Z MRN = 90°,又/ 1 + Z 3=Z 2+Z 4= 90°, / 3 =Z 41 = Z 21 2在厶MPQ和厶NHQ中，MQ NQMQP NQH MPQ NHQ ASA PM = HN【例3】：如圖 AC丄CD于C , BD丄CD于D , M是AB的中點 AC=BF .連結CM并延長交BD于點F。求證:全等三角形HL直角邊和斜邊對應相等的兩個直角三角形全等，簡寫成HL【典型例題】1、如圖，AB= CD DEI AC BF丄 AC E, F 是垂足,DE= BF 求證:AB / CD 鮮析:TOE丄AC BF丄ZAFB二NC印二9晏血宦義在 ACEDAA

19、FB 中DE=BF ZAFB=ZCED=907tL 證AB = CD二 AGED AAFBHL二ZAZC全等三角形的對應角相等 AAB/7CD內錨角相等兩直線平疔 例 2、：BE丄 CD , BE= DE, BC = DA求證：BECADAE :DF丄BC例3、如圖：在厶ABC中，/ C=90 , AC=BC ,過點C在厶ABC外作直線 MN , AM丄MN于M , BN丄MN于N。 1求證：MN=AM+BN。全等三角形常見輔助線的作法一倍長中線法倍長中線法：就是將三角形的中線延長一倍，以便構造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關知識來解決問 題的方法E D倍長中線法的過程：延長XX到某點，

20、使什么等于什么延長的那一條，用SAS證全等對頂角方法總結：遇中線，要倍長，倍長之后構造全等三角形_,轉移邊、轉移角，然后和條件重新組合解決問 題【例題精講】例1、如圖1,在厶ABC中, AD為BC邊上的中線.求證： AB +AC >2AD 分析：因為AD為中線，延長AD至點E,使DE=AD ,連接CE;進而利用全等三角形的判定 SASABDECD ；由全等可得_AB= EC證明：延長AD至E,使DE=AD，連接EC/ AD 是中線 DC=DB在厶CDE和厶BDA中DE=AD ,y/ CDE=Z BDA ,k DC=DB CDEA BDASAS CE=AB在厶 AEC 中 CE+AC>

21、;AE , CE=AB AB+AC>AE v DE=AD AE=2AD v AB+AC>AE AB+AC>2AD在"ADF和"BDC中AD=BD/ ADF= / BDCCD=DF"ADF 6 BDC證明：延長CD至，使DF=CD，連接BF,例2如圖CB, CD分別是鈍角 AEC和銳角 ABC的中線，且ACAB.求證：CE=2CD AF=BC ,AF / BC CAF+ / ACB=180° ,v / ACB= / ABC , / ABC+ / CBE=180 / CAF= / CBE 又因為 AC=BE , " CAF 6 C

22、BE CE=CF例3、 如圖，在 ABC中，AD交BC于點D，點E是BC中點，EF / AD交CA的延長線于點 F，交EF于點 G，假設BG CF，求證：AD為 ABC的角平分線.證明：延長FE到點H，使HE FE，連結BH 在CEF和 BEH中CE BECEF BEHFE HE CEF 也BEHEFCEHB ,CF BHBGEHBBGE ,而 BGEAGF AFGAGF又 T EF IIAD AFGCAD ,AGFBAD例4、如圖，在ABC中，AD是BC邊的中線，E是AD上一點，且 BE = AC，延長BE交AC于點F.求證:AF = EF連結BG . AD是BC邊的中線 DC=DB證明：延

23、長AD到點G,使AD=DG , 在厶ADC和厶GDB中rAD=DG/ ADC= / GDB DC=DB ADCGDB SSS / CAD= / BGD BG=AC又/ BE=AC , BE=BG ZBED= ZG/ ZBED= ZAEF, ZAEF= /CAD , 即：Z AEF= ZFAE , AF=EF .二截長補短法截長:1.過某一點作長邊的垂線2.在長邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另短邊相等。補短:1.延長短邊2.通過旋轉等方式使兩短邊拼合到一起。【例題精講】例 1.如圖， ABC 中，/ ACB = 2/ B,/ 1 = 7 2 求證：AB = AC + CDBD

24、C證法二：截長法證法一：補短法延長AC至點F,使得AF = AB在厶ABD和厶AFD中:Z1 二 Z2AD=AD ABD AFD SAS7 B=7 FvZ ACB = 27 B 7 ACB = 27 F而7 ACB = 7 F +7 FDC 7 F=7 FDC CD=CF而 AF = AC + CF AF = AC + CD AB = AC + CD在AB上截取AE = AC，連結DE在厶AED和厶ACD中AE = AC乂 Z1 二厶AD = AD AEDACDSAS.DE=DCt £AED= ZC':乙AED = ZE + 乙 EDE, AACB = 2-2Z3=:.SB

25、二 ED 二 X3 =刈£ + SB = AC + DC例2、 如圖，在 ABC中，AD為BC邊上的高，/ B=2 / C.求證：CD=AB+BD. 證明：在DC上截取DE=DB，連接 AE ,在厶 ADB 和 ADE.中 DE=DB，/ ADB= / ADE,AD=AD / ADEADB SAS AE=AB，/ AEB= / B ,/ / AEB= / C+Z CAE，/ B=2 / C, ED=BD , Z AEB=2 Z C.Z C= Z CAE，故 CE=AE=AB. CD=CE+ED=AE+ED=AB+BD.例3、如圖，AD/BC , BE、AE分別是Z ABC、Z BAD

26、的平分線，點 E在CD上，求證：AB=AD+BC證明：在AB上截取AF=AD，連接EF.v AE 平分 Z BAD , Z 1 = Z 2.在厶FAE和厶DAE中，:AF=AD< Z 仁 Z 2<AE=AE FAEDAE . Z AFE= Z D又 v AD/BC Z C+ Z D=180而 Z BFE+ Z AFE= 180° Z C= Z BFE在 BFE禾口 BCE中Z C=Z BFEZ 3= Z 4,BE=BE BFE BCE BF=BC AD+BC=ABsc例4、如圖，ABC中，AB >AC , AD是Z BAC的角平分線，P是線段AD上任一點除 A、D外

27、的任意一點。求證：AB AC > PB PC證明：在AB是截取AE = AC 在ACP與AAEP中，有:rAC = AE < Z EAP = Z CAP AD是Z BAC角平分線Lap = ap公共邊 AACP AEP SAS PC = PE 全等三角形對應邊相等v BE > PB PE 三角形兩邊差小于第三邊 BE > PB PC 等量代換BE = AB AEAC = AEBE > PB PCAB AC > PB PC學習文檔僅供參考角平分線具有兩條性質:三 與角平分線有關的輔助線a、對稱性；b、角平分線上的點到角兩邊的距離相等。解法1:在AC上截取AE使

28、AEAB，連結AE .BADDAE , AD AD， A ABDAED , Z BZ AED , BD DE .E又 ABBD AC ,/ CEBD DE ,CDB Z CZ EDC ,圖1 BAED 2 C , Z BZ C 2 1 .解法2:延長AB到F，使AFAC，連結DF .1截取構造全等例1如圖1，在 ABC中，AD平分/ BAC , AB BD AC，求:/FAD= / CAD , AD=AD CAD FAD(SAS) AC=AFB C的值.A又 AB BD ACAB+BF=AF BD=BF Z ABC=2 Z F=2 Z C2、“角平分線 +垂線構造全等三角形或等腰三角形例2如圖

29、3，在四邊形 ABCD中，BC BA , AD DC , BD平分Z ABC .求證：Z A Z C 180 .證明：過點D作DE丄AB，交BA延長線于點E，作DF丄BC，交BC于點F/ BD 平分 Z ABC , DE DF .又T AD CD , Rt EAD 如 Rt FCD , Z EAD Z C .A 90 , 2CE .證明：延長CE交BA的延長線于點F ,/ BE是Z ABC的平分線，BECF , Z BCF Z F , FBC是等腰三角形. CE FE . CF 2CE ./ AB AC , Z ABD Z ACF ,Z BAD Rt BAD 如 Rt CAF ./ Z EAD

30、 Z BAD 180 , C BAD 180 .例3如圖4，等腰三角形 ABC中， 作BD的垂線交BD的延長線于點 E .求證：BD BD CF 2CE .Z CAF90圖3Z B的平分線交AC于點D，過點C角平分線的性質1、角的平分線的性質角的平分線上的點到角的兩邊距離相等。例1，如圖，0C是/ AOB的角平分線，點 P是0C上一點，PD丄OA于點D, PE丄OB于E,求證：PD=PE。證明： PD丄OA , PE丄0B / ODP= / OEP=900垂直的定義 又 OC平分/ AOB/ AOC= / BOC角的平分線定義在 Rt DOP 和 Rt EOP 中AOC BOCODP OEPO

31、P OP Rt DOP也 Rt EOP AAS PD=PE全等三角形的對應邊相等2、角的平分線的逆應用角平分線的判定角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。PE丄OB于E,例2：如圖，點P在/ AOB內部的一條射線 OC上，并且PD丄OA于點 PD=PE。求證：射線 OC是/ AOB的平分線。/ ODP= / OEP=900垂直的定義證明： PD 丄 OA , PE丄 OB在 Rt DOP 和 Rt EOP 中,OP OPPD PE Rt DOP也 Rt EOP HL即射線OC平分/AOB/ DOP= / EOP全等三角形的對應角相等【典型例題】例3:如圖， OE平分/ AOB , B

32、C丄OA , AD丄OB。求證：EA=EB例4:如圖， CD丄AB于D, BE丄AC于E, CD , BE相交于點O, OB=OC求證：/仁/2AIXBC例5:如下列圖， 0D平分/ AOB，在 OA , OB邊上取PN 丄 AD。求證：PM=PN例6:如圖，AD是厶ABC中/ BAC的平分線，DE, DF分別是 ABD和厶ACD的高，那么 EF與 AD有何特殊的位置關系？試證明你的結論。例 7:如圖，在四邊形 ABCD 中，BC>BA , AD=DC , BD 平分/ ABC。求證：/ A+ / C=18O0。知識網絡結構圖軸對稱圖形軸對稱第13章軸對稱-(1)定義：如果一個圖形沿一條

33、直線折疊，直線兩旁的局部能夠互相重合, 這個圖形就叫做軸對稱圖形這條直線就是它的對稱軸兩個圖形成軸對稱(或一個圖形是軸對稱圖形)，那么對應線段性質(對折后重合的線段)相等；對應角(對折后重合的角)相等對稱軸垂直平分連接對應點的線段定義:經過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫 做這條線段的垂直平分線(3)垂直平分線性質:線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的判定:距離相等與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上廣軸對稱變換：由一個平面圖形得到它的軸對稱圖形，叫做軸對稱變換作軸對稱圖形1用坐標表示軸對稱P(x, y)關于x軸的對稱點的坐標為P' (x, yP(x, y)關于y軸的對稱點的坐標為P" ( x, y)等腰三角形&廣定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形(1) 等腰三角形的兩個底角相等(等邊對等角)(2) 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(三線合一)1、軸對稱及軸對稱圖形軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的局部能夠互相重合，這個圖形就叫做 軸對稱圖形。這條直線就是它的對稱軸。這時我們就說這個圖形關于這條直線或軸對稱。