找準(zhǔn)切入口解法自然生

1、找準(zhǔn)切入口 解法自然生從一道數(shù)學(xué)題的解法引發(fā)的思考浙江省寧波市奉化區(qū)剡溪中學(xué)王祥表求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵是思路，其要害是切入口，找準(zhǔn)了切入口，解法也就自然生成了。這需要在分析題目的已知條件和所求問(wèn)題特征的基礎(chǔ)上，正確尋找已知條件與所求問(wèn)題特征之間的隱含關(guān)系是作為解題的一個(gè)切入口，成為成功解題的關(guān)鍵。OCBAyx圖1數(shù)學(xué)題目的條件與所要求的問(wèn)題之間必然存在某種聯(lián)系，對(duì)已知條件及所求問(wèn)題的特征進(jìn)行全面分析，多角度思考，瞻前顧后，從中管窺到他們之間的隱含聯(lián)系，并以此為切入口尋找已知與未知之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而自然生成解題的思路和方法1。以下筆者通過(guò)具體題目來(lái)進(jìn)一步分析和嘗試在幾何解題中如何找準(zhǔn)切入口。1

2、試題呈現(xiàn)如圖，等邊OAB的邊AB與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A是反比例函數(shù)的圖像上一點(diǎn)，且BC=2AC，則等邊OAB的邊長(zhǎng)為 。2 解法展示CODBAyxE圖22.1 以“等邊OAB”自身的特殊性為切入口構(gòu)造相似三角形解法1：如圖2，過(guò)點(diǎn)A作ADy軸，垂足為D, 過(guò)點(diǎn)C作CEAO,垂足為E。設(shè)A ，AE=a。因?yàn)镺AB為等邊三角形，所以BAO=60，可得 AC=2a,CE=。又因?yàn)锽C=2AC,所以BC=4a,即AO=AB=6a,故可得OE=6a-a=5a。顯然RtAODRtCOE,所以即，解得。所以A,從而求得AO=。FOBAyxDECG圖4解法2：如圖3，過(guò)點(diǎn)B作BEy軸，垂足為E,再把RtBOE繞

3、著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，得到RtAOH, 分別過(guò)點(diǎn)A和H作ADy軸, HGx軸,并將它們反向延長(zhǎng)，交于點(diǎn)F。設(shè)A ，因?yàn)锽C=2AC,所以BE=2x,AH= BE=2x,因?yàn)镋OH=60,CFGODBAyxEH圖3所以HOG=30, 即AHF=HOG=30,AF=，,從而得OG=AD+AF=,GH=。故FG=FH+GH=，F(xiàn)OBAyxDECG圖4可列得，解得。所以A,從而求得AO=。2.2 以“三垂直”模型為切入口構(gòu)造相似三角形 解法3：如圖4，過(guò)點(diǎn)O作ODAB,垂足為D, 再過(guò)點(diǎn)D作DEx軸，垂足為E，并過(guò)點(diǎn)A作AFED,垂足為F，交y軸于點(diǎn)G。設(shè)A ，因?yàn)锽C=2AC,而D為AB的中點(diǎn)，所以

4、可得FG=a,AF=3a,0E=a。再根據(jù)RtAFDRtDEO,可得,即從而得，所以EF= 所以，解得，最后又得A,AO=。EICDHOFBAyxG圖5解法4：如圖5,作BDO=AEO=AOB=60, 過(guò)點(diǎn)B分別作BGy軸,BHx軸,過(guò)點(diǎn)A分別作AFy軸,AIx軸。 設(shè)A ，則有AF=OI= ,AI= ,所以IE= ,AE= 。再通過(guò)證明BODOEA,可得BD=OE=，所以DH=,又因?yàn)镺H=BG=2AF=2,所以O(shè)D=DH+OH=+,根據(jù)BODOEA,OD=AE=,所以可列得方程+=，解得。所以A,從而求得AO=。CODBAyxFE圖62.3 以“等邊OAB”和“BC=2AC”同時(shí)切入構(gòu)造相

5、似三角形解法5：如圖6，過(guò)點(diǎn)A作ADy軸, 過(guò)點(diǎn)A再作AEBO交y軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EFOA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F。設(shè)AO=6, 根據(jù)BC=2AC, ACEBCO可得AC=2,AE= =3,因?yàn)镋AF=60 ,所以AF= ,EF=。再得OF=，所以O(shè)E=。再在ACE中通過(guò)面積法得到AD=,ED=。所以O(shè)D=OE-DE=，即A(,),并帶入反比例函數(shù)，解得，即A,從而求得AO=。如果在解法5的基礎(chǔ)上，再用到解法1或許就方便多了，我們暫且定為解法6。解法6：設(shè)A()，根據(jù)解法5，得EF=。 OF= ，所以又因?yàn)橛蒖tEOFRtAOD,所以,即，解得。所以A,從而求得AO=。 3 對(duì)于找準(zhǔn)切入口的思考3.1

6、 基于對(duì)原有知識(shí)的深刻理解從知識(shí)轉(zhuǎn)化角度看，數(shù)學(xué)習(xí)題一般都要運(yùn)用所學(xué)過(guò)的知識(shí)加以解決。在通讀題目，理順條件和結(jié)論之后，最自然的想法就是“觀察未知量，并盡量想出一道你所熟悉的且具有相同的或相似未知量的題目”“這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問(wèn)題有聯(lián)系且早已解決的問(wèn)題。你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用他的方法嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？”（波利亞語(yǔ)）換言之，該題給定一個(gè)已知條件“等邊OAB”，你能聯(lián)想到多少相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)呢？除了最基本的邊角關(guān)系，你是否還能想到等邊三角形非常適合局部圖形旋轉(zhuǎn)（解法2）？其實(shí)除了等邊三角形，等腰直角三角形、正方形等一些特殊圖形也有這一特性。再如解法2-

7、3，如果出現(xiàn)直角，你是否能聯(lián)想到了“三垂直”模型呢？而對(duì)于解法4，可以說(shuō)是“三垂直”模型的“升級(jí)版”了。能想到此法，對(duì)于該模型已是熟練掌握，并能靈活加以應(yīng)用了。因此，要想找到解題的切入口，歸根結(jié)底是對(duì)原有知識(shí)的深刻理解，并不斷運(yùn)用。3.2 精于對(duì)問(wèn)題解決的習(xí)慣反思反思是人們對(duì)自己認(rèn)知過(guò)程的再認(rèn)識(shí)，而解題反思則是對(duì)解題活動(dòng)的再認(rèn)識(shí)，屬于解題活動(dòng)的“元認(rèn)知”，它是對(duì)解題活動(dòng)的深層次再思考。它不僅是對(duì)數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)的一般性回顧和重復(fù)，而且更是探究數(shù)學(xué)解題活動(dòng)中所涉及的知識(shí)、方法、思路、策略等，具有探究性、批判性、自主性。同時(shí)，解題反思不僅有助于對(duì)知識(shí)的深刻理解，提高對(duì)知識(shí)理解的層次，而且還能幫助學(xué)生提

8、高數(shù)學(xué)思維的“變通”性，從而提高學(xué)生的解題能力。因此，在解題之后，要加強(qiáng)反思意識(shí)，提高學(xué)生的反思力。就如上述的6種不同解法，或許當(dāng)時(shí)學(xué)生的思路會(huì)定位在哪一種完全是取決于解題時(shí)的隨機(jī)選擇，但是它們也有優(yōu)劣之分，學(xué)生是否能想到最佳解法，這就需要平時(shí)解題時(shí)的養(yǎng)成良好的思維優(yōu)化習(xí)慣。通過(guò)這樣的一題多解去習(xí)慣性地進(jìn)行反思，來(lái)開(kāi)拓思路、訓(xùn)練發(fā)散性思維、強(qiáng)化優(yōu)化意識(shí)，在更高層次更富有創(chuàng)造性地去學(xué)習(xí)、摸索、總結(jié)，從而使自己的解題能力更勝一籌，更有效的找準(zhǔn)切入口。3.3 成于對(duì)解題教學(xué)的高效指導(dǎo) 學(xué)生在解題時(shí)能否找到“切入口”，除了深刻理解和不斷運(yùn)用所學(xué)知識(shí)外，教師在解題教學(xué)中的學(xué)法指導(dǎo)也尤為重要。通過(guò)分析，我們不難發(fā)現(xiàn)對(duì)上述6種解法的“切入口”找尋，主要是取決于兩點(diǎn)：（1）通過(guò)知識(shí)的“追本溯源”明確解決問(wèn)題的方向。即教師在平時(shí)的解題教學(xué)中，要不斷喚起學(xué)生對(duì)新舊知識(shí)的聯(lián)系，聯(lián)想到該題的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)在哪，可以運(yùn)用以前學(xué)過(guò)的什么數(shù)學(xué)模型等；（2）借助于基本模型和轉(zhuǎn)換技巧調(diào)控受阻思維，拓寬解題通道。因此，在解題教學(xué)中教師不妨以“追本溯源”為切入口，以于思路剖析為著力點(diǎn)2。教會(huì)學(xué)生“怎么做”，更要教會(huì)他們“怎么想”，把學(xué)法指導(dǎo)真正落到實(shí)處，全面提升學(xué)生分析