專題六尖子四邊形中的相似問題專題答案

1、四邊形中的相似問題專題題型一：平行四邊形中的相似問題例14（2006威海）已知：如圖，在ABCD中，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)過O的直線MN交直線AB于點(diǎn)M，交直線CD于點(diǎn)N；過O的另一條直線PQ交直線AD于點(diǎn)P，交直線BC于點(diǎn)Q，連接PN、MQ（1）試證明PON與QOM全等；（2）若點(diǎn)O為直線BD上任意一點(diǎn)，其他條件不變，則PON與QOM又有怎樣的關(guān)系？試就點(diǎn)O在圖所示的位置，畫出圖形，證明你的猜想；（3）若點(diǎn)O為直線BD上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、D重合），設(shè)OD：OB=k，PN=x，MQ=y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)3056

2、60 專題：綜合題分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)容易得到全等條件證明DOPBOQ，PONQOM，然后利用全等三角形的性質(zhì)得到PO=QO，MO=NO，然后再證明PONQOM就可以解決問題；（2）點(diǎn)O為直線BD上任意一點(diǎn)，則MOQNOP根據(jù)APBQ，BMCN可以得到比例線段，而NOP=MOQ，可以證明MOQNOP了；（3）根據(jù)（2）和已知可以得到，根據(jù)這個(gè)等式可以求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式解答：（1）證明：在平行四邊形ABCD中，ADBC，PDO=QBODOP=BOQ，DO=BO，DOPBOQPO=QO（2分）同理MO=NOPON=QOM，PONQOM（4分）（2）解：畫圖（5分）MOQNOP（

3、6分）APBQ，BMCN，OD：OB=OP：OQ，OD：OB=ON：OMOP：OQ=ON：OM（7分）NOP=MOQMOQNOP（8分）（3）解：根據(jù)（2）和已知可以得到，y=（10分）點(diǎn)評(píng)：此題綜合性比較強(qiáng)，把全等三角形，相似三角形放在平行四邊形的背景下，綜合利用這些知識(shí)來解題15（2010成都）已知：在菱形ABCD中，O是對(duì)角線BD上的一動(dòng)點(diǎn)（1）如圖甲，P為線段BC上一點(diǎn)，連接PO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)Q，當(dāng)O是BD的中點(diǎn)時(shí)，求證：OP=OQ；（2）如圖乙，連接AO并延長(zhǎng)，與DC交于點(diǎn)R，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)S若AD=4，DCB=60°，BS=10，求AS和OR的長(zhǎng)考點(diǎn)：全等三角形的

4、判定與性質(zhì)；勾股定理；菱形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)305660 專題：綜合題分析：（1）求簡(jiǎn)單的線段相等，可證線段所在的三角形全等，即證ODQOBP（2）首先求AS的長(zhǎng)，要通過構(gòu)建直角三角形求解；過A作BC的垂線，設(shè)垂足為T，在RtABT中，易證得ABT=DCB=60°，又已知了斜邊AB的長(zhǎng)，通過解直角三角形可求出AT、BT的長(zhǎng)；進(jìn)而可在RtATS中，由勾股定理求出斜邊AS的值；由于四邊形ABCD是菱形，則ADBC，易證得ADOSBO，已知了AD、BS的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例線段可得出OA、OS的比例關(guān)系式，即可求出OA、OS的長(zhǎng)；同理，可通過相似三角形ADR和SCR

5、求得AR、RS的值；由OR=OSRS即可求出OR的長(zhǎng)解答：（1）證明：ABCD為菱形，ADBCOBP=ODQO是BD的中點(diǎn)，OB=OD在BOP和DOQ中，OBP=ODQ，OB=OD，BOP=DOQBOPDOQ（ASA）OP=OQ（2）解：如圖，過A作ATBC，與CB的延長(zhǎng)線交于TABCD是菱形，DCB=60°AB=AD=4，ABT=60°AT=ABsin60°=TB=ABcos60°=2BS=10，TS=TB+BS=12，AS=ADBS，AODSOB，則，AS=，OS=AS=同理可得ARDSRC，則，OR=OSRS=（12分）點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的性質(zhì)、

6、全等三角形及相似三角形的判定和性質(zhì)；（2）中能夠正確的構(gòu)建出直角三角形，求出AS的長(zhǎng)是解答此題的關(guān)鍵17（2010寧波）如圖1在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)E為線段AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)E的直線l與x軸交于點(diǎn)F，與射線DC交于點(diǎn)G（1）求DCB的度數(shù)；（2）連接OE，以O(shè)E所在直線為對(duì)稱軸，OEF經(jīng)軸對(duì)稱變換后得到OEF'，記直線EF'與射線DC的交點(diǎn)為H如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)H的左側(cè)時(shí)，求證：DEGDHE；若EHG的面積為3，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定；平行四

7、邊形的性質(zhì)；軸對(duì)稱的性質(zhì)305660 專題：綜合題；壓軸題；數(shù)形結(jié)合；分類討論分析：（1）由于平行四邊形的對(duì)角相等，只需求得DAO的度數(shù)即可，在RtOAD中，根據(jù)A、D的坐標(biāo)，可得到OA、OD的長(zhǎng)，那么DAO的度數(shù)就不難求得了（2）根據(jù)A、D的坐標(biāo)，易求得E點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到AE、OE的長(zhǎng)，由此可判定AOE是等邊三角形，那么OEA=AOE=EOF=60°，由此可推出OFAE，即DEH=OFE，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)知OFE=EFA，通過等量代換可得EFA=DGE=DEH，由此可證得所求的三角形相似過E作CD的垂線，設(shè)垂足為M，則EM為EGH中GH邊上的高，根據(jù)EGH的面積即可求得GH的長(zhǎng)，在

8、題已經(jīng)證得DEGDHE，可得DE2=DGDH，可設(shè)出DG的長(zhǎng)，然后表示出DH的值，代入上面的等量關(guān)系式中，即可求得DG的長(zhǎng)，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)知：DG=AF，由此得到AF的長(zhǎng)，進(jìn)而可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)，需注意的是，在表示DH的長(zhǎng)時(shí)，要分兩種情況考慮：一、點(diǎn)H在G的右側(cè)，二、點(diǎn)H在G的左側(cè)解答：解：（1）在直角OAD中，tanOAD=OD：OA=，A=60°，四邊形ABCD是平行四邊形，C=A=60°；（2）證明：A（2，0），D（0，2），且E是AD的中點(diǎn)，E（1，），AE=DE=2，OE=OA=2，OAE是等邊三角形，則AOE=AEO=60°；根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)知：AO

9、E=EOF，故EOF=AEO=60°，即OFAE，OFE=DEH；OFE=OFE=DGE，DGE=DEH，又GDE=EDH，DGEDEH過點(diǎn)E作EM直線CD于點(diǎn)M，CDAB，EDM=DAB=60°，EM=DEsin60°=2×=，SEGH=GHME=GH=3，GH=6；DHEDEG，=即DE2=DGDH，當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)G的右側(cè)時(shí)，設(shè)DG=x，DH=x+6，4=x（x+6），解得：x1=3+，x2=3（舍），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0）；當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)G的左側(cè)時(shí)，設(shè)DG=x，DH=x6，4=x（x6），解得：x1=3+，x2=3（舍），DEGAEF，AF=DG=3+，O

10、F=AO+AF=3+2=+5，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（5，0），綜上可知，點(diǎn)F的坐標(biāo)有兩個(gè)，分別是F1（1，0），F(xiàn)2（5，0）點(diǎn)評(píng)：此題涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，主要有：平行四邊形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、全等三角形以及相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，難度較大題型二：梯形中的相似問題21（2000朝陽(yáng)區(qū)）已知：在梯形ABCD中，ADBC，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在DC上，且AD=a，BC=b（1）如果點(diǎn)E、F分別為AB、DC的中點(diǎn)，如圖求證：EFBC，且EF=；（2）如果，如圖，判斷EF和BC是否平等，并用a、b、m、n的代數(shù)式表示EF請(qǐng)證明你的結(jié)論考點(diǎn)：梯形中位線定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行線分線段成比例30

11、5660 分析：（1）連接AF并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于M，利用ASA可證ADFMCF，那么，AF=MF，AD=CM，于是EF就轉(zhuǎn)化為ABM的中位線，那么EF=BM，而CM=AD，所以EF=BM=（BC+CM）=（BC+AD）；（2）證法和（1）相同，只是換成求線段的長(zhǎng)先利用平行線分線段成比例定理的推論，可得AF：FM=AD：CM=DF：FC=m：n，從而在ABM中，AE：BE=AF：FM，再利用比例線段的性質(zhì)，就有AE：AB=AF：AM，再加上一個(gè)公共角，可證AEFABM，則AEF=ABM，那么EFBM，從而有EF：BM=AE：AB=m：（m+n），而AD：CM=m：n，可求CM，那么BM可求

12、，把BM代入上式即可求EF解答：（1）證明：連接AF并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，（1分）ADBM，D=1，點(diǎn)F為DC的中點(diǎn)，DF=FC，又2=3，ADFMCF，AF=FM，AD=CM，（3分）點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，EF是ABM的中位線，EFBC，EF=BM，BM=BC+CM=BC+AD，EF=（AD+BC），即EF=（a+b）；（5分）（2）答：EFBC，EF=，證明：連接AF并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，ADBM，又，在ABM中，有=EFBC，（9分）=，EF=BM=，（10分）而，CM=，（11分）EF=（b+），EF=點(diǎn)評(píng)：本題利用了平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例

13、定理的推論、比例線段的性質(zhì)等知識(shí)10（2007岳陽(yáng)）已知：等腰RtABC中，A=90°，（1）如圖1，E為AB上任意一點(diǎn)，以CE為斜邊作等腰RtCDE，連接AD，則有ADBC；（2）若將等腰RtABC改為正ABC，如圖2所示，E為AB邊上任一點(diǎn)，CDE為正三角形，連接AD，上述結(jié)論還成立嗎？答成立；（3）若ABC為任意等腰三角形，AB=AC，如圖3，E為AB上任一點(diǎn)，DECABC，連接AD，請(qǐng)問AD與BC的位置關(guān)系怎樣？答：ADBC請(qǐng)你在上述3個(gè)結(jié)論中，任選一個(gè)結(jié)論進(jìn)行證明考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；等腰直角三角形305660 專題：幾何綜合題分析：欲證ADBC，

14、可以根據(jù)等腰直角三角形，正三角形，等腰三角形的性質(zhì)，證明ACDBCE，再證明AD與BC的內(nèi)錯(cuò)角相等，得出結(jié)論解答：解：（1）ABC和DEC是等腰直角三角形，ABCDEC，ACB=DCE=45°=，DCA=ECBACDBCEDAC=EBC=45°DAC=ACBADBC（2）ABC和DEC是正三角形，ABCDEC，ACB=DCE=60°=，DCA=ECBACDBCEDAC=EBC=60°DAC=ACBADBC成立（3）ABC和DEC是等腰直角三角形，ABCDEC，ACB=DCE=，DCA=ECBACDBCEDAC=EBCDAC=ACBADBC點(diǎn)評(píng)：觀察測(cè)量，

15、然后進(jìn)行推理證明，是數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)現(xiàn)的基本規(guī)律本題考查了等腰直角三角形，正三角形，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定注意證明方式相同8（2008安徽）如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點(diǎn)R為DE的中點(diǎn)，BR分別交AC、CD于點(diǎn)P、Q（1）請(qǐng)寫出圖中各對(duì)相似三角形（相似比為1除外）；（2）求BP：PQ：QR考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)305660 專題：幾何綜合題分析：此題的圖形比較復(fù)雜，需要仔細(xì)分析圖形（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得到角相等BPC=BRE，BCP=E，可得BCPBER；（2）根據(jù)ABCD、ACDE，可得出PCQPAB，PCQ

16、RDQ，PABRDQ根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出所求線段的比例關(guān)系解答：解：（1）四邊形ACED是平行四邊形，BPC=BRE，BCP=E，BCPBER；同理可得CDE=ACD，PQC=DQR，PCQRDQ；四邊形ABCD是平行四邊形，BAP=PCQ，APB=CPQ，PCQPAB；PCQRDQ，PCQPAB，PABRDQ（2）四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，BC=AD=CE，ACDE，BC：CE=BP：PR，BP=PR，PC是BER的中位線，BP=PR，又PCDR，PCQRDQ又點(diǎn)R是DE中點(diǎn)，DR=RE，QR=2PQ又BP=PR=PQ+QR=3PQ，BP：PQ：QR

17、=3：1：2點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)：如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；如果兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似題型三：矩形中的相似問題12（2008廈門）已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD（ADAB），將紙片折疊一次，使點(diǎn)A與C重合，再展開，折痕EF交AD邊于E，交BC邊于F，分別連接AF和CE（1）求證：四邊形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，ABF的面積為24cm2，求ABF的周長(zhǎng)；（3）在線段AC上是否存在一點(diǎn)P，使得2AE2=ACAP？若存在，請(qǐng)說明點(diǎn)P的位

18、置，并予以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由考點(diǎn)：菱形的判定；勾股定理；矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)305660 專題：開放型；存在型分析：（1）因?yàn)槭菍?duì)折所以AO=CO，利用三角形全等證明EO=FO，四邊形便是菱形；（2）因?yàn)槊娣e是24，也就是AB、BF的積可以求出，所以求周長(zhǎng)只要求出AB、BF的和就可以，而結(jié)合勾股定理它們和的平方減去乘積二倍就是AF的平方；（3）因?yàn)锳C=AO所以可以從與AOE相似的角度考慮，即過E作EPAD解答：（1）證明：連接EF交AC于O，當(dāng)頂點(diǎn)A與C重合時(shí)，折痕EF垂直平分AC，OA=OC，AOE=COF=90°（1分）在矩形ABCD中，ADBC，EAO=

19、FCO，AOECOF（ASA）OE=OF（2分）四邊形AFCE是菱形（3分）（2）解：四邊形AFCE是菱形，AF=AE=10設(shè)AB=x，BF=y，B=90，（x+y）22xy=100又SABF=24，xy=24，則xy=48（5分）由、得：（x+y）2=196（6分）x+y=14，x+y=14（不合題意舍去）ABF的周長(zhǎng)為x+y+AF=14+10=24（7分）（3）解：過E作EPAD交AC于P，則P就是所求的點(diǎn)（9分）證明：由作法，AEP=90°，由（1）得：AOE=90°，又EAO=EAP，AOEAEP（AA），=，則AE2=AOAP（10分）四邊形AFCE是菱形，AO=

20、AC，AE2=ACAP（11分）2AE2=ACAP（12分）即P的位置是：過E作EPAD交AC于P點(diǎn)評(píng)：本題主要考查（1）菱形的判定方法“對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形”，（2）相似三角形的判定和性質(zhì)30（2006成都）已知：如圖，在正方形ABCD中，AD=12，點(diǎn)E是邊CD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與端點(diǎn)C，D重合），AE的垂直平分線FP分別交AD，AE，BC于點(diǎn)F，H，G，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P（1）設(shè)DE=m（0m12），試用含m的代數(shù)式表示的值；（2）在（1）的條件下，當(dāng)時(shí)，求BP的長(zhǎng)考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)305660 專題：幾何綜合題分析：（1）通過構(gòu)建相似三角形

21、來求解，過點(diǎn)H作MNAB，分別交AD，BC于M，N兩點(diǎn)那么MH就是三角形ADE的中位線，MH=m，那么HN=12m，只要證出兩三角形相似，就可表示出FH：HG的值，已知了一組對(duì)頂角，一組直角，那么兩三角形就相似，F(xiàn)H：HG=MH：NH，也就能得到所求的值（2）可通過構(gòu)建相似三角形求解，過點(diǎn)H作HKAB于點(diǎn)K，那么HN=KB，MH=AK，根據(jù)FH：HG=1：2，就能求出m的值，也就求出了MH，HN的長(zhǎng)，又知道了HK的長(zhǎng)，那么通過三角形AKH和HKP相似我們可得出關(guān)于AK，KH，KP的比例關(guān)系，就可求出KP的長(zhǎng)，然后BP=KPKB就能求出BP的長(zhǎng)了解答：解：（1）過點(diǎn)H作MNAB，分別交AD，BC

22、于M，N兩點(diǎn)，F(xiàn)P是線段AE的垂直平分線，AH=EH，MHDE，RtAHMRtAED，=1，AM=MD，即點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，AM=MD=6，MH是ADE的中位線，MH=DE=m，四邊形ABCD是正方形，四邊形ABNM是矩形，MN=AD=12，HN=MNMH=12m，ADBC，RtFMHRtGNH，即（0m12）；（2）過點(diǎn)H作HKAB于點(diǎn)K，則四邊形AKHM和四邊形KBNH都是矩形，解得m=8，MH=AK=m=8=4，HN=KB=12m=128=8，KH=AM=6，RtAKHRtHKP，即KH2=AKKP，又AK=4，KH=6，62=4KP，解得KP=9，BP=KPKB=98=1點(diǎn)評(píng)：本題主要

23、考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，要充分利用好正方形的性質(zhì)，通過已知和所求的條件構(gòu)建出相似三角形來求解是解題的關(guān)鍵13（2009寧波）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，0），直線BC經(jīng)過點(diǎn)B（8，6），C（0，6），將四邊形OABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)度得到四邊形OABC，此時(shí)OA、BC分別與直線BC相交于P、Q（1）四邊形OABC的形狀是矩形，當(dāng)=90°時(shí)，的值是；（2）如圖2，當(dāng)四邊形OABC的頂點(diǎn)B落在y軸正半軸上時(shí)，求的值；如圖3，當(dāng)四邊形OABC的頂點(diǎn)B落在直線BC上時(shí)，求OPB的面積；（3）在四邊形OABC旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)0°180°時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使BP=BQ？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明