主元法破解極值點(diǎn)偏移問題

1、主元法破解極值點(diǎn)偏移問題 2016年全國(guó)I卷的第21題是一道導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題，呈現(xiàn)的形式非常簡(jiǎn)潔，考查了函數(shù)的雙零點(diǎn)的問題，也是典型的極值點(diǎn)偏移的問題, 是考生實(shí)力與潛力的綜合演練場(chǎng)雖然大多學(xué)生理解其題意，但對(duì)于極值點(diǎn)偏移的本質(zhì)理解的深度欠佳，面對(duì)此類問題大多感到“似懂非懂”或“云里霧里”所謂主元法就是在一個(gè)多元數(shù)學(xué)問題中以其中一個(gè)為“主元”，將問題化歸為該主元的函數(shù)、方程或不等式等問題，其本質(zhì)是函數(shù)與方程思想的應(yīng)用作為一線的教育教學(xué)工作者，筆者嘗試用主元法破解函數(shù)的極值點(diǎn)偏移問題，理性的對(duì)此類進(jìn)行剖析、探究，旨在為今后的高考命題和高考復(fù)習(xí)教學(xué)提供一點(diǎn)參考.一、試題再現(xiàn)及解析（一）題目（2016年

2、全國(guó)I卷）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)(1)求的取值范圍；(2)設(shè)是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：本題第（1）小題含有參數(shù)的函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，自然想到研究其單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理求得的取值范圍是第（2）小題是典型的極值點(diǎn)偏移的問題，如何證明呢？（二）官方解析 (2)不妨設(shè)，由（1）知，在上單調(diào)遞減，所以等價(jià)于，即由于，而，所以令，則，所以當(dāng)時(shí)，而，故當(dāng)時(shí)，從而，故二、對(duì)解析的分析本問待證是兩個(gè)變量的不等式，官方解析的變形是，借助于函數(shù)的特性及其單調(diào)性，構(gòu)造以為主元的函數(shù)由于兩個(gè)變量的地位相同，當(dāng)然也可調(diào)整主元變形為，同理構(gòu)造以為主元的函數(shù)來處理此法與官方解析正是極值點(diǎn)偏移問題的處理的通法不妨設(shè)，由（1）知，在上單

3、調(diào)遞增，所以等價(jià)于，即令，則，所以，即，所以；所以，即.三、例談主元法破解極值點(diǎn)偏移問題對(duì)文獻(xiàn)1的四道例題，筆者都能運(yùn)用主元法順利破解，驗(yàn)證主元法破解極值點(diǎn)偏移問題的可行性例1 （2014年江蘇省南通市二模第20題）設(shè)函數(shù)，其圖象與軸交于，兩點(diǎn)，且(1)求的取值范圍；(2)證明：（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）；解：(1) ，且，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；(2) 要證明，只需證，即，因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以只需證，亦即，只要證明即可；令，則，所以在上單調(diào)遞減，得證例2 （2010年天津理科21題）已知函數(shù).(1) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)(略)(3)如果，且，證明解：(1) 在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，；

4、(3)證明：，亦即，且，欲證明，即，只需證，即令，則，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，故，得證例3 （2011年遼寧理科21題）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，；（3）若函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：解：（1）若，在上單調(diào)增加；若，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）（略）（3）由（1）可得，在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，則，欲證明，即，只需證明，即，只需證明由（2）得，得證例4 （2013年湖南文科第21題）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)證明:當(dāng)時(shí)，.解： (1) 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2)由(1)知當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，因?yàn)?，即，則，要證明，即，只需證明，即而等價(jià)

5、于，令，則，令，則，所以單調(diào)遞減，即，所以單調(diào)遞減，所以，得證對(duì)文獻(xiàn)3的例1，朱老師提供了3種方法，筆者也可運(yùn)用主元法順利破解，請(qǐng)看以下解析，豈不更為簡(jiǎn)捷？例5 函數(shù)與直線交于，證明：.解：函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且；（1）若，要證明，即，只需證明，即令，則在上單調(diào)遞增，故； （2）若，同理可證，得證四、通法提煉一般地，主元法破解極值點(diǎn)偏移問題思路是：第一步：根據(jù)建立等量關(guān)系，并結(jié)合的單調(diào)性，確定的取值范圍；第二步：不妨設(shè)，將待證不等式進(jìn)行變形，進(jìn)而結(jié)合原函數(shù)或?qū)Ш瘮?shù)的單調(diào)性等價(jià)轉(zhuǎn)化如例1、例3中的待證是導(dǎo)函數(shù)的值的不等式，因此應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性等價(jià)轉(zhuǎn)化，例2、例4中的待證是應(yīng)用原

6、函數(shù)的單調(diào)性等價(jià)轉(zhuǎn)化；第三步：構(gòu)造關(guān)于（或）的一元函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，并借助于單調(diào)性，達(dá)到待證不等式的證明五、通性通法的感悟極值點(diǎn)偏移問題在高考中幾乎年年可見，深受高考命題專家的青睞，年年歲歲意相似，歲歲年年題不同，屬于高考高頻題型對(duì)于此類問題的研究，多位方家已經(jīng)作了探討文1從高等數(shù)學(xué)的視角闡述了問題的背景，指明并提煉出極值點(diǎn)偏移問題的解題策略：若的極值點(diǎn)為，則根據(jù)對(duì)稱性構(gòu)造一元差函數(shù)，巧借的單調(diào)性以及，借助于與，比較與的大小，即比較與的大小有了這種解題策略，我們師生就克服了解題的盲目性，細(xì)細(xì)咀嚼不得不為其絕妙的想法喝彩，但是，此解法并不利于學(xué)生思維的提升，比較突兀，有“模式化”的曲高

7、和寡之嫌疑，顯然不是自然的想法，“想說愛你不容易”教師的自然想法卻讓學(xué)生屢屢想不到、想不通、學(xué)不會(huì)，加重其自卑感；順應(yīng)學(xué)生的思維，才能對(duì)接學(xué)生的認(rèn)知，貼近學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”，化用于無痕，活用于無間，妙用于無限，神用于無形，走有限之路，飲不竭之泉文2結(jié)合文1的四個(gè)例題驗(yàn)證了轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)平均的求解的可行性，提煉出極值點(diǎn)偏移問題的又一解題策略：根據(jù)建立等式，通過消參、恒等變形轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)平均，捆綁構(gòu)造函數(shù)，利用對(duì)數(shù)平均不等式鏈求解這種解題策略，師生都感到運(yùn)算量繁雜，有一定的技巧要求，而且對(duì)數(shù)平均數(shù)的不等式鏈也有超綱的嫌疑，在解答過程中存在能否直接運(yùn)用的疑問4，“想你，但，我不會(huì)愛你！”其實(shí)，解決極值點(diǎn)偏移問題的上兩種方法，實(shí)質(zhì)上都是把雙變量的等式或不等式轉(zhuǎn)化為一元變量問題求解，途徑都是構(gòu)造一元函數(shù)，因此，主元法才是破解極值點(diǎn)偏移問題的通法，親切自然，美感靈氣這一點(diǎn)也可以從官方答案得到印證對(duì)于官方提供的參考答案，是命題專家經(jīng)過反復(fù)考量的，承載著新課程改革的理念和導(dǎo)向，滲透著創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)著高考改革的發(fā)展趨向，同時(shí)也蘊(yùn)含著命題者解題的思維歷程，蘊(yùn)含著其問題的本質(zhì)我們多一份敬畏，將參考答案激活，用“冰冷的美麗”促進(jìn)學(xué)生“火熱的思考”，多一份收獲. 六、質(zhì)疑文1中提到“利用極