專題橢圓的極點(diǎn)和極線相關(guān)問題的研究與拓展

1、專題7.12：橢圓的極點(diǎn)和極線相關(guān)問題的研究與拓展【問題提出】橢圓極點(diǎn)和極線的定義與作圖：已知橢圓（ab0），則稱點(diǎn)和直線為橢圓的一對極點(diǎn)和極線.極點(diǎn)和極線是成對出現(xiàn)的.從定義我們共同思考和討論幾個問題并寫下你的思考:（1）若點(diǎn)在橢圓上，則其對應(yīng)的極線是什么?（2）橢圓的兩個焦點(diǎn)對應(yīng)的極線分別是什么?（3）過橢圓外（上、內(nèi)）任意一點(diǎn)，如何作出相應(yīng)的極線？【探究拓展】探究1：在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F. 設(shè)過點(diǎn)T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M、，其中m>0,.（1）設(shè)動點(diǎn)P滿足,求點(diǎn)P的軌跡；（2）設(shè)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；（3）設(shè),求證：直線MN必

2、過x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無關(guān)）解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得 化簡得。故所求點(diǎn)P的軌跡為直線（2）將分別代入橢圓方程，以及得：M（2，）、N（，）直線MTA方程為：，即，直線NTB 方程為：，即聯(lián)立方程組，解得：，所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為（3）點(diǎn)T的坐標(biāo)為直線MTA方程為：，即，直線NTB 方程為：，即分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時考慮到，解得：、（方法1）當(dāng)時，直線MN方程為： 令，解得：。此時必過點(diǎn)D（1，0）；當(dāng)時，直線MN方程為：，與x軸交點(diǎn)為D（1，0）。所以直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)D（1，0）。（方法2）若，則由及，得，此時直線MN的方

3、程為，過點(diǎn)D（1，0）若，則，直線MD的斜率，直線ND的斜率，得，所以直線MN過D點(diǎn)。因此，直線MN必過軸上的點(diǎn)（1，0）.探索解析幾何問題中的兩個技巧(1) 用“法”求直線方程已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，求經(jīng)過這兩點(diǎn)的直線方程通常采取的方法是，或者“點(diǎn)斜式”，或者“兩點(diǎn)式”其實(shí)采用下面介紹的“法”，運(yùn)算將更加迅速簡潔現(xiàn)介紹如下：若A（，），B（，），求直線AB的方程先將兩個點(diǎn)的坐標(biāo)上下對齊書寫，假設(shè)最終求出的直線方程為AxByC0，則，這種方法既形象直觀，又運(yùn)算簡潔，更重要的是避免了許多情況下，因?yàn)樽帜高\(yùn)算時需要分類討論的繁瑣大家不妨以“若A（2,1），B（3，1），求直線AB的方程”為例試試看.（2）巧

4、妙分解因式通常由直線方程與二次曲線方程聯(lián)立方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)，這種運(yùn)算是可怕的，尤其是含有大量字母運(yùn)算時，但當(dāng)直線與二次曲線有一個已知公共點(diǎn)時，則可以借助分解因式的技巧，很方便地求出另一個公共點(diǎn)的坐標(biāo)下面以橢圓為例講解這種運(yùn)算技巧：若公共點(diǎn)為，橢圓方程為，設(shè)直線方程為，則由得，將代入上式得，顯然有公因式，從而很方便地求出另一個交點(diǎn)坐標(biāo)下面運(yùn)用前面介紹的兩個技巧解答2010江蘇省高考數(shù)學(xué)第18題的第問先求點(diǎn)M的坐標(biāo)：由 得將直線TA：代入上式得顯然x30時，即為點(diǎn)A要求點(diǎn)M，則約去（x3）得代入直線TA：得點(diǎn)M的坐標(biāo)為同理，可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)為用“法”寫出直線MN的方程，并及時令y0得由于m0，化簡

5、得，則x1即直線MN必過x軸上的定點(diǎn)（1，0）探究2：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2+y2r2和直線l：xa（其中r和a均為常數(shù)，且0 < r < a），M為l上一動點(diǎn)，A1，A2為圓C與x軸的兩個交點(diǎn)，直線MA1，MA2與圓C的另一個交點(diǎn)分別為P、Q（1）若r2，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，2)，求直線PQ方程；（2）求證：直線PQ過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo)解：（1）當(dāng)r2，M(4，2)，則A1(2，0)，A2(2，0).直線MA1的方程：x3y+2=0，解得直線MA2的方程：xy2=0，解得由兩點(diǎn)式，得直線PQ方程為：2xy2=0另解：(1)當(dāng)r2，M(4，2)，則A1(2，0)，

6、A2(2，0).直線MA1的方程：x3y+2=0，直線MA2的方程：x+y2=0，所以P、Q在曲線(x3y+2)( xy2)+t(x2+y24)=0上，當(dāng)t=1時，2x2y2=0為直線PQ的方程. （2）證法一：由題設(shè)得A1(r，0)，A2(r，0) .設(shè)M(a，t)，直線MA1的方程是：y = (x+r)，直線MA1的方程是：y = (xr) 解得解得于是直線PQ的斜率kPQ，直線PQ的方程為上式中令y = 0，得x，是一個與t無關(guān)的常數(shù).故直線PQ過定點(diǎn)證法二：由題設(shè)得A1(r，0)，A2(r，0) .設(shè)M(a，t)，直線MA1的方程是：y=(x+r)，與圓C的交點(diǎn)P設(shè)為P(x1，y1)

7、直線MA2的方程是：y=(xr)；與圓C的交點(diǎn)Q設(shè)為Q(x2，y2) 則點(diǎn)P(x1，y1) ，Q(x2，y2)在曲線(a+r)yt(x+r)(ar)yt(xr)=0上，化簡得 (a2r2)y22ty(axr2)+t2(x2r2)0 又有P(x1，y1) ，Q(x2，y2)在圓C上，圓C：x2+y2r20t2×得 (a2r2)y22ty(axr2)t2(x2r2) t2( x2+y2r2)0，化簡得：(a2r2)y2t(axr2) t2 y0所以直線PQ的方程為(a2r2)y2t(axr2)-t2 y0 在中令y = 0得 x = ，故直線PQ過定點(diǎn)變式：已知橢圓的離心率，長軸的左右端點(diǎn)分別為，.（1）求