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文檔簡介
1、圓的輔助線作法 在平面幾何中,與圓有關(guān)的許多題目需要添加輔助線來解決。百思不得其解的題目,添上合適的輔助線,問題就會迎刃而解,思路暢通,從而有效地培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維。添加輔助線的方法有很多,本文只通過分析探索歸納幾種圓中常見的輔助線的作法。下面以幾道題目為例加以說明。1.有弦,可作弦心距在解決與弦、弧有關(guān)的問題時,常常需要作出弦心距、半徑等輔助線,以便應(yīng)用于垂徑定理和勾股定理解決問題。例1 如圖1, O的弦AB、CD相交于點P,且AC=BD。求證:PO平分APD。分析1:由等弦AC=BD可得出等弧 =進一步得出 = ,從而可證等弦AB=CD,由同圓中等弦上的弦心距相等且分別垂直于它們所對應(yīng)的
2、弦,因此可作輔助線OEAB,OFCD,易證OPEOPF,得出PO平分APD。證法1:作OEAB于E,OFCD于F AC=BD => = => = => AB=CD=> OE=OFOEP=OFP=90° => OPEOPF0OP=OP=>OPE=OPF => PO平分APD分析2:如圖1-1,欲證PO平分APD,即證OPA=OPD,可把OPA與OPD構(gòu)造在兩個三角形中,證三角形全等,于是不妨作輔助線即半徑OA,OD,因此易證ACPDBP,得AP=DP,從而易證OPAOPD。證法2:連結(jié)OA,OD。 CAP=BDP APC=DPB =>AC
3、PDBP AC=BD=>AP=DPOA=OD =>OPAOPD =>OPA=OPD =>PO平分APDOP=OP2.有直徑,可作直徑上的圓周角對于關(guān)系到直徑的有關(guān)問題時,可作直徑上的圓周角,以便利用直徑所對的圓周角是直角這個性質(zhì)。例2 如圖2,在ABC中,AB=AC,以AB為直徑作O交BC于點D ,過D作O的切線DM交AC于M。求證 DMAC。分析:由AB是直徑,很自然想到其所對的圓周角是直角。于是可連結(jié)AD,得ADB=Rt,又由等腰三角形性質(zhì)可得1=2,再由弦切角的性質(zhì)可得ADM=B,故易證AMD=ADB=90°,從而DMAC。證明 連結(jié)AD。=>1=
4、2 AB為O的直徑 =>ADB=Rt AB=ACDM切O于D => ADM=B => 1+B=2+ADM =>AMD=ADB= Rt => DMAC說明,由直徑及等腰三角形想到作直徑上的圓周角。3. 當圓中有切線常連結(jié)過切點的半徑或過切點的弦例3 如圖3,AB是O的直徑,點D在AB的延長線上,BD=OB,DC切O于C點。求A的度數(shù)。分析:由過切點的半徑垂直于切線,于是可作輔助線即半徑OC,得Rt,再由解直角三角形可得COB的度數(shù),從而可求A的度數(shù)。解:連結(jié)OC。=> COSCOD=OC/OD=1/2 =>COB=60°DC切O于C =>
5、OCD=90°OC=OB=BD=> A=1/2COB=30°說明,由過切點的半徑垂直于切線想到連結(jié)半徑。例4 如圖4,已知ABC中,1=2,圓O過A、D兩點,且與BC切于D點。求證 EF/BC。圖 4分析:欲證EF/BC,可找同位角或內(nèi)錯角是否相等,顯然同位角相等不易證,于是可連結(jié)DE,得一對內(nèi)錯角BDE與DEF,由圓的性質(zhì)可知這兩個角分別等于1和2,故易證EF/BC。證明 連結(jié)DE。BC切O于D =>BDE= 1 2= DEF =>BDE= DEF =>EF/BC 1= 2說明,由有切線且在同圓中等弧所對的圓周角相等想到連結(jié)弦。4.當兩圓相切,可作
6、公切線或連心線例5 已知:如圖5,O1與O2外切于點P,過P點作兩條直線分別交O1與O2于點A、B、C、D。求證 PBPC=PAPD。分析:欲證PBPC=PAPD,即證PAPB=PCPD,由此可作輔助線AC、BD,并證AC/DB,要證平行,需證一對內(nèi)錯角相等,如C=D,然后考慮到這兩個角分別與弦切角有關(guān),進而再作輔助線即兩圓公切線MN,從而問題迎刃而解。證明 連結(jié)AC、BD,過P點作兩圓的內(nèi)公切線MN=> C=D=>APM=C,BPN=DAPM=BPN=> AC/DB => PAPB=PCPD => PBPC=PAPD說明,由需證弦平行且弦切角等于其所夾弧對的圓周
7、角想到作公切線和作弦。例6 已知:如圖6,O1與O2內(nèi)切于點T,經(jīng)過切點T的直線與O1與O2分別相交于點A和B。求證 TATB=O1AO2B。分析:欲證TATB=O1AO2B,可考慮證這四條線段所在的三角形相似,即證TO1ATO2B,于是只需連結(jié)O2O1,并延長,必過切點,則產(chǎn)生TO1A和TO2B,由1= 2=T,則O1A/ O2B,易證線段比相等。=> O2O1必過切點T證明 連結(jié)并延長O2O1 O1 和 O2內(nèi)切于點T=> 1= 2 => O1A/ O2B O1A=O1T =>1= T O2T= O2B =>2= T =>TO1ATO2B => T
8、ATB=O1AO2B說明,由連心線必過切點可構(gòu)造三角形證全等想到作連心線。5當兩圓相交,可作公共弦或連心線。例7 如圖7,O1與O2相交于A、B兩點,過A點作O2的切線交O1于點C,直線CB交O2于點D,DA延長線交O1于點E,連結(jié)CE。求證 CA=CE。分析:欲證CA=CE,考慮在三角形中證它們所對的角相等,即E=CAE,又由DAF=CAE,想到弦切角DAF與所夾弧對的圓周角相等,故需作輔助線:公共弦AB,得E=DBA,易證CA=CE。證明 連結(jié)AB。 CA切O2于A =>DAF=DBA 四邊形ABCE內(nèi)接于O1 =>E=DBA DAF=CAE=>E=CAE => C
9、A=CE說明,由兩圓相交及用到弦切角和圓內(nèi)接四邊形想到作公共弦。圖 8例8 如圖8,在梯形ABCD中,以兩腰AD、BC分別為直徑的兩個圓相交于M、N兩點,過M、N的直線與梯形上、下底交于E、F。求證: MNAB。分析:因為MN是公共弦,若作輔助線O1O2,必有MNO1O2,再由O1O2是梯形的中位線,得O1O2/AB,從而易證MNAB。證明 連結(jié)O1O2交EF于G => MNO1O2。 DO1=O1A,CO2=O2B => O1O2是梯形ABCD的中位線 => O1O2/AB =>EFA=EGO1=Rt => MNAB說明,由兩圓相交連心線垂直于公共弦想到作連心線
10、。6有半圓,可作整圓例9 如圖9,BC為O的直徑,ADBC于D, = , AD交BF于E。求證 AE=BE分析:欲證AE=BE,可考慮在三角形中證這兩邊所對角相等。即ABF=BAE,再考慮證這兩個圓周角所對的弧相等,故需補全O,可證 = ,故有 = 易證AE=BE.證明 補全O,延長AD交O于H,( 直徑BCAD => = => = =>ABF=BAH => AE=BE說明,由平分弦的直徑必平分弦所對的弧想到補全圓。7相交兩圓中至少有一個圓經(jīng)過另一個圓的圓心,遇到這類問題,常用的輔助線是連結(jié)過交點的半徑例10 如圖10,O1與O2相交于A、B兩點,且O2在O1上,點P在O1上,點Q在O2上,若APB=40°,求AQB的度數(shù)。分析 連結(jié)O2A、O2B,在O1中利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)求得AO2B=140°,在O2中,AQB=1/2AO2B=70°。證明過程略。說明,由同圓內(nèi)同弧所對的圓周角等于所對圓心角的一半想到連結(jié)過交點的半徑。幾何輔
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